2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二章 二次函數(shù) 2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用 名師教案4 浙教版.doc

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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二章 二次函數(shù) 2.4 二次函數(shù)的應(yīng)用 名師教案4 浙教版 ◆目標(biāo)指引 1．運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，并在運(yùn)用中體會(huì)二次函數(shù)的實(shí)際意義． 2．體會(huì)利用二次函數(shù)的最值方面的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題． 3．經(jīng)歷把實(shí)際問(wèn)題的解決轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決的過(guò)程，學(xué)會(huì)運(yùn)用這種“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法． ◆要點(diǎn)講解 1．在具體問(wèn)題中經(jīng)歷數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律的過(guò)程，運(yùn)用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)二次函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型． 2．運(yùn)用函數(shù)思想求最值和數(shù)形結(jié)合的思想方法研究問(wèn)題． ◆學(xué)法指導(dǎo) 1．當(dāng)涉及最值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)選取合適的變量，建立目標(biāo)函數(shù)，再求該目標(biāo)函數(shù)的最值，求最值時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：（1）變量的取值范圍；（2）求最值時(shí)，宜用配方法． 2．有關(guān)最大值或最小值的應(yīng)用題，關(guān)鍵是列出函數(shù)解析式，再利用函數(shù)最值的知識(shí)求函數(shù)值，并根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況作答． ◆例題分析 【例1】如圖，在△ABC中，∠B=90，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始，沿著AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)P，Q同時(shí)出發(fā)，問(wèn)： （1）經(jīng)過(guò)幾秒后P，Q的距離最短？ （2）經(jīng)過(guò)幾秒后△PBQ的面積最大？最大面積是多少？ 【分析】這是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，也是一個(gè)最值問(wèn)題，設(shè)經(jīng)過(guò)ts，顯然AP和BQ的長(zhǎng)度分別為AP=t，BQ=2t（0≤t≤6）．PQ的距離PQ==．因此，只需求出被開(kāi)方式5t2－12t+36的最小值，就可以求P，Q的最短距離． 【解】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)ts后P，Q的距離最短，則： ∵PQ==== ∴經(jīng)過(guò)s后，P，Q的距離最短． （2）設(shè)△PBQ的面積為S， 則S=BPBQ=（6－t）2t=6t－t2=9－（t－3）2 ∴當(dāng)t=3時(shí)，S取得最大值，最大值為9． 即經(jīng)過(guò)3s后，△PBQ的面積最大，最大面積為9cm2． 【注意】對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，一般采用“以靜制動(dòng)”的方法，抓住某個(gè)靜止?fàn)顟B(tài)，尋找等量關(guān)系．在求最值時(shí)，可用配方法或公式法，同時(shí)取值時(shí)要注意自變量的取值范圍． 【例2】某高科技發(fā)展公司投資1500萬(wàn)元，成功研制出一種市場(chǎng)需求較大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金500萬(wàn)元進(jìn)行批量生產(chǎn)．已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為40元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí)，年銷售量為20萬(wàn)件；銷售單價(jià)若增加10元，年銷售量將減少1萬(wàn)件．設(shè)銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬(wàn)件），年獲利額（年獲利額=年銷售額－生產(chǎn)成本－投資）為z（萬(wàn)元）． （1）試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出x的取值范圍）； （2）試寫(xiě)出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出x的取值范圍）； （3）計(jì)算銷售單價(jià)為160元時(shí)的年獲利額，并說(shuō)明：得到同樣的年獲利額，銷售單價(jià)還可以定為多少元？相應(yīng)的年銷量分別為多少萬(wàn)件？ （4）公司計(jì)劃：在第一年按年獲利額最大時(shí)確定的銷售單價(jià)進(jìn)行銷售；第二年的年獲利額不低于1130萬(wàn)元，請(qǐng)你借助函數(shù)的大致圖象說(shuō)明，第二年的銷售單價(jià)x（元）應(yīng)確定在什么范圍？ 【分析】本題以傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的利潤(rùn)、銷售決策問(wèn)題為背景，設(shè)計(jì)成數(shù)學(xué)應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)關(guān)心和參與日常生活中的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)和方程知識(shí)來(lái)解題． 【解】（1）依題意知：當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年銷量減少（x－100）萬(wàn)件． ∴y=20－（x－100）=－x+30． 即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=－x+30． （2）由題意可得： z=（30－x）（x－40）－500－1500=－x2+34x－3200． 即z與x之間的函數(shù)關(guān)系式為z=－x2+34x－3200． （3）∵當(dāng)x=160時(shí)， z=－1602+34160－3200=－320， ∴－320=－x2+34x－3200， 即x2－340x+28800=0． 由x1+x2=－得，160+x=340，∴x=180． 即得到同樣的年獲利額，銷售單價(jià)還可以定為180元． 當(dāng)x=160時(shí)，y=－160+30=14， 當(dāng)x=180時(shí)，y=－180+30=12． 所以相應(yīng)的年銷售量分別為14萬(wàn)件和12萬(wàn)件． （4）∵z=－x2+34x－3200=－（x－170）2－310， ∴當(dāng)x=170時(shí)，z取得最大值為－310． 即當(dāng)銷售單價(jià)為170元時(shí)，年獲利額最大，并且到第一年底公司還差310萬(wàn)元就可以收回全部投資． 第二年的銷售單價(jià)定為x元時(shí)，則年獲利額為： z′=（30－x）（x－40）－310=－x2+34x－1510． 當(dāng)z′=1130時(shí)，即1130=－x2+34x－1510， 解得x1=120，x2=220． ∴函數(shù)z′=－x2+34x－1510的大致圖象如圖所示． 由圖象可看出： 當(dāng)120≤x≤220時(shí)，z≥1130． ∴第二年的銷售單價(jià)應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi)．