2019版九年級數(shù)學(xué)下冊 第二十八章 銳角三角函數(shù)試題 （新版）新人教版.doc

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第二十八章　銳角三角函數(shù) 　　1.解直角三角形的方法: 　　(1)直接利用定義求值法 　?、佟螦的正弦sinA=∠A的對邊斜邊=ac; 　?、凇螦的余弦cosA=∠A的鄰邊斜邊=bc; 　?、邸螦的正切tanA=∠A的對邊∠A的鄰邊=ab. 　　概念是解直角三角形的基礎(chǔ),要結(jié)合圖形記憶理解,它同勾股定理相結(jié)合,使得在直角三角形中求邊長和銳角度數(shù)更加靈活. 【例1】在Rt△ABC中,∠C=90,AC=3,BC=4,則AB=　　　,sinA=　　　. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】如圖,∵∠C=90,AC=3,BC=4, ∴AB=AC2+BC2=32+42=5, ∴sinA=BCAB=45. 答案:5　45 　　(2)設(shè)參數(shù)求值法 　　當(dāng)條件為已知某兩條線段比或某一銳角的三角函數(shù)值(非特殊角的三角函數(shù)值),求圖形中其他角的三角函數(shù)值時,通常設(shè)參數(shù)求值,注意參數(shù)只是解題的橋梁,不參與最后結(jié)果. 【例2】在△ABC中,∠C=90,sinA=36,求sinB的值. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】∵sinA=36, ∴設(shè)BC=3k,AB=6k. 又∠C=90, 故AC=(6k)2-(3k)2=33k, ∴sinB=ACAB=33k6k=336. 　　(3)構(gòu)造直角三角形求值法 　　在某些問題的圖形中根本看不到直角三角形,這時需要根據(jù)條件通過作輔助線構(gòu)造直角三角形,然后利用直角三角形的相關(guān)知識解決問題.當(dāng)兩個直角三角形擁有公共邊時,先求出這條公共邊是解答此類題的一般思路. 【例3】如圖,在△ABC中,∠B=45,cosC=35,AC=5a,則△ABC的面積用含a的式子表示是　　　　. 【標(biāo)準(zhǔn)解答】過A作AD⊥BC于D. 在Rt△ACD中,AC=5a,cosC=35, ∴CD=ACcosC=3a, AD=AC2-CD2=4a. 在Rt△ABD中,AD=4a,∠B=45, ∴BD=AD=4a. ∴BC=BD+CD=4a+3a=7a. 故S△ABC=12BCAD=127a4a=14a2. 答案:14a2 【例4】如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點,若EF=2,BC=5,CD=3,則tanC等于　(　　) A.34 B.43 C.35 D.45 【標(biāo)準(zhǔn)解答】選B.連接BD. ∵E,F分別是AB,AD的中點. ∴BD=2EF=4, ∵BC=5,CD=3, ∴△BCD是直角三角形. ∴tanC=43. 　　(4)構(gòu)造方程求值法 　　這類題型中的有些條件,不能直接代入直角三角形中邊與邊、邊與角、角與角之間的公式進行求解,這時可以引入未知數(shù),讓未知數(shù)參與運算,最后列方程求解. 【例5】周末,身高都為1.6米的小芳、小麗來到溪江公園,準(zhǔn)備用她們所學(xué)的知識測算南塔的高度.如圖,小芳站在A處測得她看塔頂?shù)难鼋铅翞?5,小麗站在B處(A,B與塔的軸心共線)測得她看塔頂?shù)难鼋铅聻?0.她們又測出A,B兩點的距離為30米.假設(shè)她們的眼睛離頭頂都為10cm,則可計算出塔高約為(結(jié)果精確到0.01,參考數(shù)據(jù):2≈1.414,3≈1.732)　(　　) A.36.21米 B.37.71米　 C.40.98米 D.42.48米 【標(biāo)準(zhǔn)解答】選D.已知小芳站在A處測得她看塔頂?shù)难鼋铅翞?5,小麗站在B處(A,B與塔的軸心共線)測得她看塔頂?shù)难鼋铅聻?0,A,B兩點的距離為30米.假設(shè)她們的眼睛離頭頂都為10cm, 所以設(shè)塔高為x米則得: x-1.6+0.1x-1.6+0.1+30=tan 30=33, 解得:x≈42.48. 1.在△ABC中,AB=122,AC=13,cos∠B=22,則BC邊長為　(　　) A.7 B.8 C.8或17 D.7或17 2.如圖,BD是菱形ABCD的對角線,CE⊥AB于點E,交BD于點F,且點E是AB中點,則tan∠BFE的值是　(　　) A.12 B.2 C.33 D.3 3.如圖,已知△ABC的三個頂點均在格點上,則cosA的值為　(　　) A.33 B.55 C.233 D.255 4.如圖,菱形ABCD的邊長為15,sin∠BAC=35,則對角線AC的長為　　　　. 5.如圖,在△ABC中,∠C=90,∠A=30,BD是∠ABC的平分線.若AB=6,則點D到AB的距離是　　　　. 6.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,E是邊AD的中點.若AC=10,DC=25,則BO=　　　　,∠EBD的大小約為　　　　度　　　　分.(參考數(shù)據(jù):tan 2634′≈12) 7.已知α,β均為銳角,且滿足|sinα-12|+(tanβ-1)2=0,則α+β=　　　　. 8.如圖,在?ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,∠CAB=∠ACB,過點B作BE⊥AB交AC于點E. (1)求證:AC⊥BD. (2)若AB=14,cos∠CAB=78,求線段OE的長. 9.如圖,在△ABC中,∠ABC=90,BC=3,D為AC延長線上一點,AC=3CD,過點D作DH∥AB,交BC的延長線于點H. (1)求BDcos∠HBD的值. (2)若∠CBD=∠A,求AB的長. 10.如圖,AD是△ABC的中線,tanB=13,cosC=22,AC=2.求: (1)BC的長. (2)sin∠ADC的值. 　　2.解直角三角形的實際應(yīng)用 　　(1)俯角、仰角問題 　　利用解直角三角形知識解決實際問題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,并構(gòu)造直角三角形.解題時要認真審題,讀懂題意,弄清仰角、俯角含義,然后再作圖解答. 【例1】如圖, 為了測量某建筑物CD的高度,先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30,然后在水平地面上向建筑物前進了100m,此時自B處測得建筑物頂部的仰角是45.已知測角儀的高度是1.5m,請你計算出該建筑物的高度.(取3≈1.732,結(jié)果精確到1m) 【標(biāo)準(zhǔn)解答】設(shè)CE=xm,則由題意可知BE=xm,AE=(x+100)m. 在Rt△AEC中,tan∠CAE=CEAE, 即tan 30=xx+100, ∴xx+100=33,3x=3(x+100), 解得x=50+503≈136.6.∴CD=CE+ED=136.6+1.5=138.1≈138(m). 答:該建筑物的高度約為138m. 　　(2)方位角、方向角問題 　　弄清方位角的具體表示方法及對應(yīng)的角是解題的基礎(chǔ),往往需作垂線構(gòu)造直角三角形,利用解直角三角形知識解答.參照物不同的方位角,要注意借助兩個“十字方向”中的平行線性質(zhì)解題. 【例2】五一期間,小紅到美麗的世界地質(zhì)公園湖光巖參加社會實踐活動,在景點P處測得景點B位于南偏東45方向;然后沿北偏東60方向走100米到達景點A,此時測得景點B正好位于景點A的正南方向,求景點A與B之間的距離.(結(jié)果精確到0.1米) 【標(biāo)準(zhǔn)解答】作PC⊥AB于C, ∠ACP=∠BCP=90,∠APC=30, ∠BPC=45. 在Rt△ACP中, ∵∠ACP=90,∠APC=30, ∴AC=12AP=50,PC=3AC=503. 在Rt△BPC中, ∵∠BCP=90,∠BPC=45, ∴BC=PC=503. ∴AB=AC+BC=50+503≈50+501.732=136.6(米). 答:景點A與B之間的距離大約為136.6米. 【例3】如圖,在A島周圍25海里水域有暗礁,一輪船由西向東航行到O處時,發(fā)現(xiàn)A島在北偏東60方向,輪船繼續(xù)前行20海里到達B處發(fā)現(xiàn)A島在北偏東45方向,該船若不改變航向繼續(xù)前進,有無觸礁的危險?(參考數(shù)據(jù)3≈1.732) 【規(guī)范解答】根據(jù)題意,有∠AOC=30,∠ABC=45,∠ACB=90, 所以BC=AC, 在Rt△AOC中,由tan30=ACOC, 得33=AC20+AC, 解得AC=203-1≈27.32(海里), 因為27.32>25, 所以輪船不會觸礁. 　　(3)坡度、坡角問題 　　在解決坡度的有關(guān)問題中,一般通過作高構(gòu)成直角三角形,坡角是一銳角,坡度實際就是一銳角的正切值,實質(zhì)是解直角三角形問題,畫出正確的圖形更有助于解題. 【例4】河堤橫斷面如圖所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡度是1∶3(坡度是坡面的鉛直高度BC與水平寬度AC之比),則AC的長是　(　　) A.53米 B.10米　　 C.15米 D.103米 【標(biāo)準(zhǔn)解答】選A.Rt△ABC中,BC=5米, tanA=1∶3; ∴AC=BCtanA=53米. 【例5】某水壩的坡度i=1∶3,坡長AB=20米,則壩的高度為　(　　) A.10米 B.20米 C.40米 D.203米 【標(biāo)準(zhǔn)解答】選A.如圖: ∵坡度i=1∶3, ∴設(shè)AC=x,BC=3x, 根據(jù)勾股定理得,AC2+BC2=AB2, 則x2+(3x)2=202,解得x=10. 1.如圖,一漁船由西往東航行,在A點測得海島C位于北偏東60的方向,前進40海里到達B點,此時,測得海島C位于北偏東30的方向,則海島C到航線AB的距離CD是(　　) A.20海里 B.40海里 C.203海里 D.403海里 2.如圖,從一個建筑物的A處測得對面樓BC的頂部B的仰角為32,底部C的俯角為45,觀測點與樓的水平距離AD為31m,則樓BC的高度約為　　　　　m(結(jié)果取整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin 32≈0.5,cos 32≈0.8,tan 32≈0.6) 3.如圖是某兒童樂園為小朋友設(shè)計的滑梯平面圖.已知BC=4米,AB=6米,中間平臺寬度DE=1米,EN,DM,CB為三根垂直于AB的支柱,垂足分別為N,M,B,∠EAB= 31,DF⊥BC于F,∠CDF=45,求DM和BC的水平距離BM的長度.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin 31≈0.52,cos 31≈0.86,tan 31≈0.60) 4.如圖,要測量A點到河岸BC的距離,在B點測得A點在B點的北偏東30方向上,在C點測得A點在C點的北偏西45方向上,又測得BC=150m.求A點到河岸BC的距離.(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):2≈1.41,3≈1.73) 5.如圖是一座人行天橋的示意圖,天橋的高度是10米,CB⊥DB,坡面AC的傾斜角為45.為了方便行人推車過天橋,市政部門決定降低坡度,使新坡面DC的坡度為i=3∶3.若新坡角下需留3米寬的人行道,問離原坡角(A點處)10米的建筑物是否需要拆除?(參考數(shù)據(jù):2≈1.414,3≈1.732) 6.如圖,臺風(fēng)中心位于點O處,并沿東北方向(北偏東45),以40千米/小時的速度勻速移動,在距離臺風(fēng)中心50千米的區(qū)域內(nèi)會受到臺風(fēng)的影響,在點O的正東方向,距離602千米的地方有一城市A. (1)問:A市是否會受到此臺風(fēng)的影響,為什么? (2)在點O的北偏東15方向,距離80千米的地方還有一城市B,問:B市是否會受到此臺風(fēng)的影響?若受到影響,請求出受到影響的時間;若不受到影響,請說明理由. 7.如圖,輪船甲位于碼頭O的正西方向A處,輪船乙位于碼頭O的正北方向C處,測得∠CAO=45.輪船甲自西向東勻速行駛,同時輪船乙沿正北方向勻速行駛,它們的速度分別為45 km/h和36 km/h.經(jīng)過0.1 h,輪船甲行駛至B處,輪船乙行駛至D處,測得∠DBO=58,此時B處距離碼頭O有多遠?(參考數(shù)據(jù):sin 58≈0.85,cos 58≈0.53,tan 58≈1.60) 8.如圖所示,港口B位于港口O正西方向120km處,小島C位于港口O北偏西 60的方向.一艘游船從港口O出發(fā),沿OA方向(北偏西30)以vkm/h的速度駛離港口O,同時一艘快艇從港口B出發(fā),沿北偏東30的方向以60km/h的速度駛向小島C,在小島C用1h加裝補給物資后,立即按原來的速度給游船送去. (1)快艇從港口B到小島C需要多長時間? (2)若快艇從小島C到與游船相遇恰好用時1h,求v的值及相遇處與港口O的距離. 9.如圖1是一把折疊椅子,圖2是椅子完全打開支穩(wěn)后的側(cè)面示意圖,其中AD和BC表示兩根較粗的鋼管,EG表示座板平面,EG和BC相交于點F,MN表示地面所在的直線,EG∥MN,EG距MN的高度為42cm,AB=43cm,CF=42cm,∠DBA=60, ∠DAB=80.求兩根較粗鋼管AD和BC的長.(結(jié)果精確到0.1 cm.參考數(shù)據(jù): sin 80≈0.98,cos80≈0.17,tan80≈5.67,sin60≈0.87,cos60=0.5,tan60≈1.73) 10.如圖,一艘輪船航行到B處,測得小島A在船的北偏東60的方向,輪船從B處繼續(xù)向正東方向航行200海里到達C處時,測得小島A在船的北偏東30的方向.已知在小島170海里內(nèi)有暗礁,若輪船不改變航向繼續(xù)向前行駛,試問輪船有無觸礁的危險? (3≈1.732) 11.某海域有A,B兩個港口,B港口在A港口北偏西30方向上,距A港口60海里,有一艘船從A港口出發(fā),沿東北方向行駛一段距離后,到達位于B港口南偏東75方向的C處,求該船與B港口之間的距離即CB的長(結(jié)果保留根號). 跟蹤訓(xùn)練答案解析 1.解直角三角形的方法: 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選D.∵cos∠B=22, ∴∠B=45, 當(dāng)△ABC為鈍角三角形時,如圖1, ∵AB=122,∠B=45, ∴AD=BD=12, ∵AC=13, ∴由勾股定理得CD=5, ∴BC=BD-CD=12-5=7; 當(dāng)△ABC為銳角三角形時,如圖2, BC=BD+CD=12+5=17,故選D. 2.【解析】選D.連接AC. ∵CE垂直平分AB,∴BC=AC. 又四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC. ∴△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=60. ∴∠ABD=12∠ABC=30. ∴∠BFE=60.∴tan∠BFE=3. 3.【解析】選D.過B點作BD⊥AC,如圖, 由勾股定理得,AB=12+32=10, AD=22+22=22, cosA=ADAB=2210=255. 4.【解析】連接BD,交AC與點O, ∵四邊形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, 在Rt△AOB中, ∵AB=15,sin∠BAC=35, ∴sin∠BAC=BOAB=35,∴BO=9, ∵AB2=OB2+AO2, ∴AO=AB2-OB2=152-92=12, ∴AC=2AO=24. 答案:24 5.【解析】∵∠C=90,∠A=30, ∴∠ABC=180-30-90=60, ∵BD是∠ABC的平分線, ∴∠DBC=12∠ABC=30, ∴BC=12AB=3, ∴CD=BCtan30=333=3, ∵BD是∠ABC的平分線, 又∵角平分線上的點到角兩邊的距離相等, ∴點D到AB的距離=CD=3. 答案:3 6.【解析】∵在矩形ABCD中,AC=10,∴BD=AC=10,∴BO=12BD=5. ∵DC=25, ∴AD=AC2-CD2=45, ∴tan∠DAC=CDAD=12, ∵tan 2634′≈12,∴∠DAC≈2634′, ∴∠OAB=∠OBA=90-∠DAC=6326′, ∵E是AD的中點, ∴AE=AB=25, ∴∠ABE=∠AEB=45, ∴∠EBD=∠OBA-∠ABE=1826′. 答案:5　18　26 7.【解析】∵|sinα-12|+(tanβ-1)2=0, ∴sinα=12,tanβ=1,∴α=30,β=45, 則α+β=30+45=75. 答案:75 8.【解析】(1)∵∠CAB=∠ACB,∴AB=CB, ∴?ABCD是菱形.∴AC⊥BD. (2)在Rt△AOB中,cos∠OAB=AOAB=78,AB=14,∴AO=1478=494, 在Rt△ABE中,cos∠EAB=ABAE=78,AB=14,∴AE=87AB=16. ∴OE=AE-AO=16-494=154. 9.【解析】(1)∵DH∥AB, ∴∠BHD=∠ABC=90, ∴△ABC∽△DHC,∴ACCD=BCCH=3, ∴CH=1,BH=BC+CH=4, 在Rt△BHD中,cos∠HBD=BHBD, ∴BDcos∠HBD=BH=4. (2)∵∠CBD=∠A,∠ABC=∠BHD, ∴△ABC∽△BHD,∴BCHD=ABBH, ∵△ABC∽△DHC, ∴ABDH=ACCD=3,∴AB=3DH, ∴3DH=3DH4,解得DH=2, ∴AB=3DH=32=6, 即AB的長是6. 10.【解析】(1)過點A作AE⊥BC于點E, ∵cosC=22,∴∠C=45, 在Rt△ACE中,CE=ACcosC=1, ∴AE=CE=1, 在Rt△ABE中,tanB=13,即AEBE=13, ∴BE=3AE=3,∴BC=BE+CE=4. (2)∵AD是△ABC的中線, ∴CD=12BC=2,∴DE=CD-CE=1, ∵AE⊥BC,DE=AE, ∴∠ADC=45, ∴sin∠ADC=22. 2.解直角三角形的實際應(yīng)用 【跟蹤訓(xùn)練】 1.【解析】選C.根據(jù)題意可知∠CAD=30,∠CBD=60, ∵∠CBD=∠CAD+∠ACB, ∴∠CAD=30=∠ACB, ∴AB=BC=40海里, 在Rt△CBD中,∠BDC=90,∠DBC=60,sin∠DBC=CDBC, ∴sin 60=CDBC, ∴CD=40sin 60=4032=203(海里). 2.【解析】在Rt△ABD中, ∵AD=31,∠BAD=32, ∴BD=ADtan 32≈310.6=18.6, 在Rt△ACD中, ∵∠DAC=45,∴CD=AD=31, ∴BC=BD+CD=18.6+31=49.6m. 答案:49.6 3.【解析】設(shè)BM為x米,則DF=BM= x米, ∵在Rt△CFD中,∠CDF=45, ∴CF=DFtan 45=DF=x米, ∴BF=BC-CF=(4-x)米, ∴EN=BF=(4-x)米, ∵在Rt△ANE中,∠EAN=31, ∴AN=ENtan31≈4-x0.6=53(4-x), ∵AN+MN+BM=AB,MN=DE=1, ∴53(4-x)+1+x=6, 解得x=2.5. 答:DM和BC的水平距離BM的長度約為2.5米. 4.【解析】過點A作AD⊥BC于點D,設(shè)AD=xm. 在Rt△ABD中, ∵∠ADB=90,∠BAD=30, ∴BD=ADtan 30=33x. 在Rt△ACD中, ∵∠ADC=90,∠CAD=45, ∴CD=AD=x. ∵BD+CD=BC,∴33x+x=150, ∴x=75(3-3)≈95. 即A點到河岸BC的距離約為95m. 5.【解析】需要拆除,理由為: ∵CB⊥AB,∠CAB=45, ∴△ABC為等腰直角三角形, ∴AB=BC=10米, 在Rt△BCD中,新坡面DC的坡度為i=3∶3,即∠CDB=30, ∴DC=2BC=20米,BD=CD2-BC2=103米, ∴AD=BD-AB=(103-10)米 ≈7.32米, ∵3+7.32=10.32>10, ∴需要拆除. 6.【解析】(1)作AD⊥OC, ∵由題意得:∠DOA=45,OA=602km, ∴AD=DO=6022=60km, ∵60>50, ∴A市不會受到此臺風(fēng)的影響. (2)作BG⊥OC于G, ∵由題意得:∠BOC=30,OB=80km, ∴BG=12OB=40km, ∵40<50,∴會受到影響, 如圖:BE=BF=50km, ∴EG=BE2-BG2 =30km, ∴EF=2EG=60km, ∵風(fēng)速為40km/h, ∴6040=1.5小時, ∴影響時間約為1.5小時. 7.【解析】設(shè)B處距離碼頭O有xkm, 在Rt△CAO中,∠CAO=45, ∵tan∠CAO=COAO, ∴CO=AOtan∠CAO=(450.1+x) tan 45=4.5+x, 在Rt△DBO中,∠DBO=58, ∵tan∠DBO=DOBO, ∴DO=BOtan∠DBO=xtan 58, ∵DC=DO-CO, ∴360.1=xtan 58-(4.5+x), ∴x=360.1+4.5tan58-1≈360.1+4.51.60-1=13.5. 因此,B處距離碼頭O大約13.5 km. 8.【解析】(1)∵∠CBO=60,∠COB=30, ∴∠BCO=90. 在Rt△BCO中,∵OB=120, ∴BC=12OB=60, ∴快艇從港口B到小島C的時間為:6060=1(h). (2)過C作CD⊥OA,垂足為D,設(shè)相遇處為點E. 則OC=OBcos 30=603,CD=12OC=303,OD=OCcos 30=90, ∴DE=|90-3v|. ∵CE=60,CD2+DE2=CE2, ∴(303)2+(90-3v)2=602, ∴v=20或40, ∴當(dāng)v=20km/h時,OE=320=60km, 當(dāng)v=40km/h時,OE=340=120km. 9.【解析】作FH⊥AB于H,DQ⊥AB于Q,如圖2,FH=42cm, 在Rt△BFH中, ∵sin∠FBH=FHBF,∴BF=42sin60≈48.28, ∴BC=BF+CF=48.28+42≈90.3(cm). 在Rt△BDQ中, ∵tan∠DBQ=DQBQ,∴BQ=DQtan60, 在Rt△ADQ中, ∵tan∠DAQ=DQAQ,∴AQ=DQtan80, ∵BQ+AQ=AB=43, ∴DQtan60+DQtan80=43,解得DQ≈56.999, 在Rt△ADQ中, ∵sin∠DAQ= DQAD, ∴AD=56.999sin80 ≈58.2(cm). 答:兩根較粗鋼管AD和BC的長分別為 58.2 cm,90.3 cm. 10.【解析】由題意得BC=200,∠B=30,∠ACD=60,∠D=90, ∴∠BAC=30=∠B,∠CAD=30 ∴AC=BC=200,∴CD=12AC=100, ∴AD=3CD≈173.2, ∵點A到BD的距離為173.2>170, ∴輪船無觸礁的危險. 11.【解析】作AD⊥BC于D, ∵∠EAB=30,AE∥BF, ∴∠FBA=30,又∠FBC=75, ∴∠ABD=45,又AB=60, ∴AD=BD=302, ∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75,∠ABC=45, ∴∠C=60, 在Rt△ACD中,∠C=60,AD=302, 則tanC=ADCD,∴CD=3023=106, ∴BC=302+106. 故該船與B港口之間的距離CB的長為302+106海里.