基于MATLAB設(shè)計巴特沃斯和切比雪夫濾波器設(shè)計

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1、摘要 隨著信息和數(shù)字時代的到來，數(shù)字信號處理已成為當今一門極其重要的學科和技術(shù)領(lǐng)域。目前數(shù)字信號處理在通信、語音、圖像、自動控制、雷達、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字信號處理中起著重要的作用并已獲得廣泛應(yīng)用的是數(shù)字濾波器（DF，Digital Filter）。數(shù)字濾波器是一種用來過濾時間離散信號的數(shù)字系統(tǒng)，通過對抽樣數(shù)據(jù)進行數(shù)學處理來達到頻域濾波的目的。 MATLAB是英文MATrix LABoratory(矩陣實驗室)的縮寫。它是一套用于科學計算和圖形處理可視化、高性能語言與軟件環(huán)境。它的信號處理工具箱包含了各種經(jīng)典的和現(xiàn)代的數(shù)字信號處理技術(shù)，是一個非常

2、優(yōu)秀的算法研究與輔助設(shè)計的工具。在設(shè)計數(shù)字濾波器時，通常采用MATLAB來進行輔助設(shè)計和仿真。 本次設(shè)計將運用MATLAB完成一個數(shù)字巴特沃斯低通和切比雪夫低通IIR濾波器的設(shè)計，分別了利用了脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法原理完成設(shè)計，并利用MATLAB進行仿真。 Ⅰ 1數(shù)字濾波器 1.1數(shù)字濾波器的介紹 數(shù)字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字信號處理裝置,其輸入、輸出均為數(shù)字信號,實質(zhì)上是一個由有限精度算法實現(xiàn)的線性時不變離散系統(tǒng)。它的基本工作原理是利用離散系統(tǒng)特性對系統(tǒng)輸入信號進行加工和變

3、換,改變輸入序列的頻譜或信號波形,讓有用頻率的信號分量通過,抑制無用的信號分量輸出。數(shù)字濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念,根據(jù)其頻率響應(yīng)特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型,與模擬濾波器相比,數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號處理的固有優(yōu)點外,還有濾波精度高(與系統(tǒng)字長有關(guān))、穩(wěn)定性好(僅運行在0與l兩個電平狀態(tài))、靈活性強等優(yōu)點。 時域離散系統(tǒng)的頻域特性:,其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性（或稱為頻譜特性）,是數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的， 適當選擇，使得濾波后的

4、滿足設(shè)計的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。 數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器。IIR 數(shù)字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時間沖激響應(yīng)，需要用遞歸模型 來實現(xiàn)，其差分方程為： (1-1) 系統(tǒng)函數(shù)為： 設(shè)計IIR濾波器的任務(wù)就是尋求一個物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，使其頻率響應(yīng)H(z)滿足所希望得到的頻域指標，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。 1.2 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計原理 IIR數(shù)字濾波器是一種離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)

5、函數(shù)為 通 帶 阻帶 過渡帶 圖1.2.1 實際模擬低通濾波器的頻率特性 為了從模擬濾波器出發(fā)設(shè)計IIR數(shù)字濾波器，必須先設(shè)計一個滿足技術(shù)指標的模擬濾波器，亦即要把數(shù)字濾波器的指標轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的指標，因此必須先設(shè)計對應(yīng)的模擬原型濾波器，然后將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器，將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器的主要辦法有脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。 圖1.2.2 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計過程 2 巴特沃斯低通濾波器設(shè)計 2.1 巴特沃斯

6、低通濾波器 巴特沃斯濾波器是一種具有最大平坦幅度響應(yīng)的低通濾波器，它在通信領(lǐng)域里已有廣泛應(yīng)用，在電測中也有廣泛的用途，可以做檢測信號的濾波器等。 巴特沃斯模擬低通濾波器其幅度響應(yīng)模方定義為： 式中N為濾波器階數(shù)，為濾波器的3dB截止頻率，當=1時，模擬低通濾波器稱為歸一化的巴特沃斯模擬低通濾波器。 其幅度響應(yīng)具有以下特性： （1）對所有的都有當=0時， （2）對所有的，都有當=時，=1/2； （3）是的單調(diào)遞減函數(shù)，即不會出現(xiàn)幅度響應(yīng)的起伏； （4）當時，巴特沃斯濾波器趨向于理想的低通濾波器； （5）在=0處平方幅度響應(yīng)的各級導數(shù)均存在且等

7、于0，因此在該點上取得最大值，且具有最大平坦特性。 下圖展示了2階、4階、8階巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性。可見階數(shù)越高，其幅頻特性越好，低頻檢波信號保真度越高。 圖2.1巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性 2.2 脈沖響應(yīng)不變法 脈沖響應(yīng)不變法就是要求數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)序列h(n)與模擬濾波器的脈沖響應(yīng)的采樣值相等，即 h(n)== 式中，T為采樣周期。根據(jù)模擬信號的拉普拉斯變換與離散序列的Z變換之間的關(guān)系，我們知道 H(z)= 此式表明，的拉普拉斯變換在s平面上沿虛軸，按照周期=2/T延拓后，按式z=，進行Z變換，就可以將Ha(s)映射為H(z

8、)。事實上，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR濾波器，只適合于Ha(s)有單階極點,且分母多項式的階次高于分子多項式階次的情況。將Ha(s)用部分分式表示： Ha(s)=LT[h]= 式中，LT[]代表拉普拉斯變換，為的單階極點。將Ha(s)進行拉普拉斯反變換，即可得到 = 式中，u(t)是單位階躍函數(shù)。則的離散序列h(n)== 對h(n)進行z變換之后，可以得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) H(z)== 對比Ha(s)與H(z)，我們會發(fā)現(xiàn)：s域中Ha(s)的極點是，映射到z平面之后，其極點變成了，而系數(shù)沒有發(fā)生變化，仍為。因此，在設(shè)計IIR濾波器時，我們只要找出模擬濾波

9、器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點和系數(shù)，通過脈沖響應(yīng)不變法，代入H(z)的表達式中，即可求出H(z)，實現(xiàn)連續(xù)系統(tǒng)的離散化。 但是脈沖響應(yīng)不變法只適合于設(shè)計低通和帶通濾波器，而不適合于設(shè)計高通和帶阻濾波器。因為，如果模擬信號的頻帶不是介于之間，則會在的奇數(shù)倍附近產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，映射到z平面后，則會在附近產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。從而使所設(shè)計的數(shù)字濾波器不同程度的偏離模擬濾波器在附近的頻率特性，嚴重時使數(shù)字濾波器不滿足給定的技術(shù)指標，因此，高通與帶阻濾波器不適合用這種方法。 圖2.2 利用脈沖響應(yīng)不變法將H(s)變換為H(z) 3 切比雪夫Ⅰ型低通濾波器設(shè)計 3.1 切比雪夫Ⅰ型低通濾波器 切

10、比雪夫濾波器特點：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。 巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止 處，幅度下降很多，或者說，為了使通帶內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次N很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式來逼近所希望的 。切比雪夫濾波器的 在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以在同樣的通常內(nèi)衰減要求下，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小。 切比雪夫濾波器的振幅平方函數(shù)為 式中Ωc為有效通帶截止頻率，表示與通帶波紋有關(guān)的參量，值越大通帶不動愈大。VN（x）是N階切比雪夫多項式，定義為 切比雪夫濾波器的振幅平方特性如圖所示： N為偶數(shù)，cos2( )=1，得到min，

11、 N為奇數(shù)，cos2( ，得到max， 圖3.1 切比雪夫濾波器的振幅平方特性 3.2 雙線性變換法 為了克服沖激響應(yīng)法可能產(chǎn)生的頻率響應(yīng)的混疊失真，這是因為從S平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-π/T～π/T之間，再用z=esT轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關(guān)系如下圖：

12、 圖3.2.1雙線性變換的映射關(guān)系 雙線性變換法的頻率變換關(guān)系如下圖在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當Ω進一步增加時，ω增長得越來越慢，最后當Ω→∞時，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 圖3.2.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系 但是雙線性變換是靠頻率的嚴重非線性關(guān)系而得到的，如圖3.2.2 所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾

13、波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如下圖所示： 圖3.2.3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射 4 MATLAB設(shè)計程序 4.1 MATLAB設(shè)計巴特沃斯低通濾波器 wp=0.2*pi; Ap=0.92; ws=0.3*pi ; As=13.98; [N ,wc] =but

14、tord(wp,ws,Ap,As,s) [numa,dena]=butter(N,wc,s) omega1 =linspace(0,wp,500); omega2 =linspace(wp,ws,200); omega3 =linspace(ws, pi,500); H1 = 20*log10(abs(freqs(numa,dena,omega1))); H2 = 20*log10(abs(freqs(numa,dena,omega2))); H3 = 20*log10(abs(freqs(numa,dena,omega3)

15、)); plot([ omega1 omega2 omega3]/(pi),[H1 H2 H3]) grid xlabel(Normalized Frequency) ylabel(Gain in dB) fprintf(Ap = %.4f\n,max(-H1)); fprintf(As = %.4f\n,min(-H3)) Fs=1; Wp=wp/Fs; Ws=ws/Fs； [numd , dend] = impinvar(numa,dena,1); w = linspace(0,pi,256);

16、 h = freqz(numd,dend,w); norm = max(abs(h)); numd = numd/norm; plot(w/pi,20*log10(abs(h)/norm)) grid xlabel(Normalized Frequency) ylabel(Gain in dB) w=[Wp Ws]; h= freqz(numd,dend,w); fprintf(Ap = %.4f\n,-20*log10(abs(h(1)))); fprintf(As = %.4f\n, -2

17、0*log10(abs(h(2)))); 運行結(jié)果： N = 6 wc = 0.7232 模擬濾波器系數(shù)： numa = 0 0 0 0 0 0 0.1431 dena = 1.0000 2.7942 3.9037 3.4575 2.0416 0.7643 0.1431 Ap = 0.7372 As = 13.9800 數(shù)字濾波器系數(shù)： numd = 0.000

18、0 0.0007 0.0116 0.0183 0.0046 0.0001 0 dend = 1.0000 -3.2933 4.8865 -4.0706 1.9842 -0.5326 0.0612 Ap = 0.7371 As = 13.9802 4.2 MATLAB設(shè)計切比雪夫Ⅰ型低通濾波器 wp=0.2*pi; Ap=0.92; ws=0.3*pi; As=13.98; [N ,wc] =cheb1ord(wp,ws,Ap,As,s)

19、 [numa,dena]=cheby1(N,Ap,wc,s) omega1 =linspace(0,wp,500); omega2 =linspace(wp,ws,200); omega3 =linspace(ws,pi,500); H1 = 20*log10(abs(freqs(numa,dena,omega1))); H2 = 20*log10(abs(freqs(numa,dena,omega2))); H3 = 20*log10(abs(freqs(numa,dena,omega3))); plot([ ome

20、ga1 omega2 omega3]/(pi),[H1 H2 H3]) grid xlabel(Normalized Frequency) ylabel(Gain in dB) fprintf(Ap = %.4f\n,max(-H1)); fprintf(As = %.4f\n,min(-H3)); [numd,dend]=bilinear(numa,dena,1) w = linspace(0,pi,256); h = freqz(numd,dend,w); norm = max(abs(h));

21、 numd = numd/norm; figure plot(w/pi,20*log10(abs(h))/norm) grid xlabel(Normalized Frequency) ylabel(Gain in dB) axis([0 1 -100 0]); w=[0,ws]; h= freqz(numd,dend,w); fprintf(Ap = %.4f\n,-20*log10(abs(h(1)))); fprintf(As = %.4f\n, -20*log10(abs(h(

22、2)))); 運行結(jié)果： N = 4 wc = 0.6283 模擬濾波器系數(shù) numa = 0 0 0 0 0.0401 dena = 1.0000 0.6169 0.5851 0.1918 0.0446 Ap = 0.9200 As = 21.1827 數(shù)字濾波器系數(shù)： numd = 0.0017 0.0068 0.0102 0.0068 0.0017 dend = 1.0000

23、 -3.0765 3.8639 -2.3085 0.5512 Ap = 0.9190 As = 24.7000 5 心得體會 在基于MATLAB的數(shù)字濾波器的設(shè)計中，通過巴特沃斯和切比雪夫IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計實例，進一步學習了如何利用MATLAB來完成數(shù)字濾波器的設(shè)計。 在接到設(shè)計任務(wù)書時，我就開始學習《數(shù)字信號處理》第四章的IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計,首先將課本上的基本原理和設(shè)計思路認真分析，在在課本設(shè)計基礎(chǔ)上改進和優(yōu)化自己的設(shè)計方案，同時主動和本組成員積極討論共同解決，在討論中大家共同思考各抒己見，真正體現(xiàn)了團隊的力量。之后，我又到圖書館查閱相關(guān)資料，學

24、習了很多有關(guān)數(shù)字濾波器設(shè)計原理方案的知識，對模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)化做了更深入的理解。 通過這次課程設(shè)計，不僅可以鞏固了所學過的知識，而且學到了很多在書本上所沒有學到過的知識，使我更加深刻體會了知識的學以致用。在設(shè)計過程中，出現(xiàn)了錯誤，經(jīng)過反復檢查和糾錯，并發(fā)現(xiàn)造成錯誤的原因，學會查閱更多的資料學培養(yǎng)自主學習的能力。 在整個分析理解和設(shè)計過程中，我學到了很多知識，衷心的感謝老師和同學在這個過程中對我的幫助，使我在迷惑時茅塞頓開，并激勵我在以后的學習生活中，要迎難而上，不斷努力，懂得堅持。 參考文獻 1、程佩青 數(shù)字信號處理（第二版）[M]．北京：清華大學出版社，2001． 2、陳懷琛 數(shù)字信號處理教程—MATLAB釋義與實現(xiàn)[M]．北京： 電子工業(yè)出版社，2004. 3、陳后金 數(shù)字信號處理（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，2004. 21