閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).ppt

1,第十節(jié),一、有界性與最大值最小值定理,二、零點定理與介值定理,*三、一致連續(xù)性,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),第一章,2,學(xué)習(xí)指導(dǎo),教學(xué)目的：了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。基本練習(xí)：了解并通過一定的練習(xí)學(xué)習(xí)最大最小值定理、有界性定理、零點定理及介值定理在函數(shù)值的估計和根的估計上的應(yīng)用。3注意事項：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有許多好的性質(zhì)。應(yīng)了解在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理、有界性定理、零點定理及介值定理。了解定理的條件和結(jié)論，并通過一定的練習(xí)學(xué)會運用它們,3,如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),在右端點b左連續(xù),在左端點a右連續(xù),那么函數(shù)f(x)就是在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的。,4,并非任何函數(shù)都有最大值和最小值例如，函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(ab)內(nèi)既無最大值又無最小值,應(yīng)注意的問題:,一、有界性與最大值最小值定理,最大值與最小值對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)如果有x0I使得對于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值),5,例如,6,說明:,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,又至少有一點x2ab使f(x2)是f(x)在ab上的最小值,至少有一點x1ab使f(x1)是f(x)在ab上的最大值,定理說明如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)那么,7,應(yīng)注意的問題:如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值,例如函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(ab)內(nèi)既無最大值又無最小值,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,8,又如如下函數(shù)在閉區(qū)間02內(nèi)既無最大值又無最小值,應(yīng)注意的問題:如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,9,定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,證明設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)根據(jù)定理1存在f(x)在區(qū)間ab上的最大值M和最小值m使任一xab滿足mf(x)M上式表明f(x)在ab上有上界M和下界m因此函數(shù)f(x)在ab上有界,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,10,有界性與最大值最小值定理:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有界且一定有最大值和最小值.,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點,定理不一定成立.,11,二、零點定理與介值定理,注:如果x0使f(x0)=0則x0稱為函數(shù)f(x)的零點,定理3(零點定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)且f(a)與f(b)異號即f(a).f(b)0f(1)=-2<0根據(jù)零點定理在(01)內(nèi)至少有一點x使得f(x)=0即x3-4x2+1=0這說明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(01)內(nèi)至少有一個根是x,二、零點定理與介值定理,定理3(零點定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)且f(a)與f(b)異號即f(a).f(b)<0,那么在開區(qū)間(ab)內(nèi)至少存在一點x使f(x)=0,13,定理4(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)且f(a)f(b)那么對于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)C在開區(qū)間(ab)內(nèi)至少有一點x使得f(x)=C,二、零點定理與介值定理,定理3(零點定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)且f(a)與f(b)異號即f(a).f(b)<0,那么在開區(qū)間(ab)內(nèi)至少存在一點x使f(x)=0,14,二、零點定理與介值定理,定理3(零點定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)且f(a)與f(b)異號那么在開區(qū)間(ab)內(nèi)至少一點x使f(x)=0,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值,定理4(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)且f(a)f(b)那么對于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)C在開區(qū)間(ab)內(nèi)至少有一點x使得f(x)=C,15,證,16,由零點定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.,幾何解釋:,17,例2,證,由零點定理,18,三、一致連續(xù)性,定理5(一致連續(xù)性定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),那么它在該區(qū)間上一致連續(xù).,不論在區(qū)間I的任何部分，只要自變量的兩個數(shù)值接近到一定程度，就可使對應(yīng)的函數(shù)值達到所指定的接近程度。,定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對于任意給定的正數(shù)，總存在著正數(shù)，使得對于區(qū)間I上的任意兩點x1,x2，當(dāng)|x1-x2|<時，就有|f(x1)-f(x2)|<，那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是一致連續(xù)的。,19,思考題,下述命題是否正確？,20,思考題解答,不正確.,例函數(shù),21,五、小結(jié),關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的四個定理：,有界性定理、最值定理、零點定理、介值定理，,注意條件：1閉區(qū)間；2連續(xù)函數(shù)這兩點不全滿足時上述定理不一定成立,它們是研究連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的重要工具。,22,內(nèi)容小結(jié),在,上達到最大值與最小值;,上可取最大與最小值之間的任何值;,4.當(dāng),時,使,必存在,上有界;,在,在,23,作業(yè),P74：2，3,