閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).ppt
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1,第十節(jié),一、有界性與最大值最小值定理,二、零點(diǎn)定理與介值定理,*三、一致連續(xù)性,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),第一章,2,學(xué)習(xí)指導(dǎo),教學(xué)目的:了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)?;揪毩?xí):了解并通過一定的練習(xí)學(xué)習(xí)最大最小值定理、有界性定理、零點(diǎn)定理及介值定理在函數(shù)值的估計(jì)和根的估計(jì)上的應(yīng)用。3注意事項(xiàng):閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有許多好的性質(zhì)。應(yīng)了解在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大最小值定理、有界性定理、零點(diǎn)定理及介值定理。了解定理的條件和結(jié)論,并通過一定的練習(xí)學(xué)會(huì)運(yùn)用它們,3,如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),在右端點(diǎn)b左連續(xù),在左端點(diǎn)a右連續(xù),那么函數(shù)f(x)就是在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的。,4,并非任何函數(shù)都有最大值和最小值例如,函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(ab)內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值,應(yīng)注意的問題:,一、有界性與最大值最小值定理,最大值與最小值對(duì)于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x)如果有x0I使得對(duì)于任一xI都有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值),5,例如,6,說明:,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,又至少有一點(diǎn)x2ab使f(x2)是f(x)在ab上的最小值,至少有一點(diǎn)x1ab使f(x1)是f(x)在ab上的最大值,定理說明如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)那么,7,應(yīng)注意的問題:如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值,例如函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(ab)內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,8,又如如下函數(shù)在閉區(qū)間02內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值,應(yīng)注意的問題:如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,9,定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,證明設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)根據(jù)定理1存在f(x)在區(qū)間ab上的最大值M和最小值m使任一xab滿足mf(x)M上式表明f(x)在ab上有上界M和下界m因此函數(shù)f(x)在ab上有界,定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,10,有界性與最大值最小值定理:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有界且一定有最大值和最小值.,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.,11,二、零點(diǎn)定理與介值定理,注:如果x0使f(x0)=0則x0稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn),定理3(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)且f(a)與f(b)異號(hào)即f(a).f(b)0f(1)=-20根據(jù)零點(diǎn)定理在(01)內(nèi)至少有一點(diǎn)x使得f(x)=0即x3-4x2+1=0這說明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(01)內(nèi)至少有一個(gè)根是x,二、零點(diǎn)定理與介值定理,定理3(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)且f(a)與f(b)異號(hào)即f(a).f(b)0,那么在開區(qū)間(ab)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x使f(x)=0,13,定理4(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)且f(a)f(b)那么對(duì)于f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)數(shù)C在開區(qū)間(ab)內(nèi)至少有一點(diǎn)x使得f(x)=C,二、零點(diǎn)定理與介值定理,定理3(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)且f(a)與f(b)異號(hào)即f(a).f(b)0,那么在開區(qū)間(ab)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x使f(x)=0,14,二、零點(diǎn)定理與介值定理,定理3(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)且f(a)與f(b)異號(hào)那么在開區(qū)間(ab)內(nèi)至少一點(diǎn)x使f(x)=0,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值,定理4(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間ab上連續(xù)且f(a)f(b)那么對(duì)于f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)數(shù)C在開區(qū)間(ab)內(nèi)至少有一點(diǎn)x使得f(x)=C,15,證,16,由零點(diǎn)定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.,幾何解釋:,17,例2,證,由零點(diǎn)定理,18,三、一致連續(xù)性,定理5(一致連續(xù)性定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),那么它在該區(qū)間上一致連續(xù).,不論在區(qū)間I的任何部分,只要自變量的兩個(gè)數(shù)值接近到一定程度,就可使對(duì)應(yīng)的函數(shù)值達(dá)到所指定的接近程度。,定義:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義,如果對(duì)于任意給定的正數(shù),總存在著正數(shù),使得對(duì)于區(qū)間I上的任意兩點(diǎn)x1,x2,當(dāng)|x1-x2|時(shí),就有|f(x1)-f(x2)|,那么稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是一致連續(xù)的。,19,思考題,下述命題是否正確?,20,思考題解答,不正確.,例函數(shù),21,五、小結(jié),關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的四個(gè)定理:,有界性定理、最值定理、零點(diǎn)定理、介值定理,,注意條件:1閉區(qū)間;2連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不全滿足時(shí)上述定理不一定成立,它們是研究連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的重要工具。,22,內(nèi)容小結(jié),在,上達(dá)到最大值與最小值;,上可取最大與最小值之間的任何值;,4.當(dāng),時(shí),使,必存在,上有界;,在,在,23,作業(yè),P74:2,3,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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