《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案 新人教A版必修4》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算學(xué)案 新人教A版必修4(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
學(xué)習(xí)目標(biāo):1.了解平面向量的正交分解,掌握向量的坐標(biāo)表示.(難點(diǎn))2.理解向量坐標(biāo)的概念,掌握兩個(gè)向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則.(重點(diǎn))3.向量的坐標(biāo)與平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系.(易混點(diǎn))
[自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知]
1.平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示
(1)平面向量的正交分解:
把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
(2)平面向量的坐標(biāo)表示:
在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,由平面向量基本定理知,有且只有
2、一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi+yj,我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo),a=(x,y)叫做向量的坐標(biāo)表示.顯然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,則有:
加法
a+b=(x1+x2,y1+y2)
減法
a-b=(x1-x2,y1-y2)
數(shù)乘
λa=(λx1,λy1)
重要
結(jié)論
已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
則=(x2-x1,y2-y1)
[基礎(chǔ)自測]
1.思考辨析
(1)若=(
3、2,-1),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,-1).( )
(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,-1),則以A為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)為(2,-1).( )
(3)平面內(nèi)的一個(gè)向量a,其坐標(biāo)是唯一的.( )
[解析] (1)正確.對(duì)于從原點(diǎn)出發(fā)的向量,其終點(diǎn)坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)表示相同.
(2)錯(cuò)誤.以A為終點(diǎn)的向量有無數(shù)個(gè),它們不一定全相等.
(3)正確.由平面向量坐標(biāo)的概念可知.
[答案] (1)√ (2) (3)√
2.已知向量=(3,-2),=(-5,-1),則向量的坐標(biāo)是( )
A. B.
C.(-8,1) D.(8,1)
A [=-
=(-5,-1)-(3,-2)
=(-
4、8,1),
=.]
3.如圖2314,在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸,y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底,對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,若|a|=2,θ=45,則向量a的坐標(biāo)為________.
圖2314
(,) [由題意知
a=(2cos 45i,2sin 45j)
=(i,j)
=(,).]
[合 作 探 究攻 重 難]
平面向量的坐標(biāo)表示
如圖2315,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45,∠OAB=105,=a,=b.四邊形OABC為平行四邊形.
圖2315
(1)求向量a,b的坐標(biāo);
(2)求向量的坐標(biāo);
(3)求
5、點(diǎn)B的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):84352220】
[解] (1)作AM⊥x軸于點(diǎn)M,
則OM=OAcos 45=4=2,
AM=OAsin 45=4=2,
∴A(2,2),故a=(2,2).
∵∠AOC=180-105=75,∠AOy=45,
∴∠COy=30.又OC=AB=3,
∴C,
∴==,
即b=.
(2)=-=.
(3)=+
=(2,2)+
=.
[規(guī)律方法] 求點(diǎn)、向量坐標(biāo)的常用方法:
(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo):可利用已知條件,先求出該點(diǎn)相對(duì)應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo),該坐標(biāo)就等于相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)求一個(gè)向量的坐標(biāo):首先求出這個(gè)向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用
6、終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)即得該向量的坐標(biāo).
[跟蹤訓(xùn)練]
1.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,||=4,∠xOA=60,
(1)求向量的坐標(biāo);
(2)若B(,-1),求的坐標(biāo).
[解] (1)設(shè)點(diǎn)A(x,y),則x=4cos 60=2,
y=4sin 60=6,即A(2,6),=(2,6).
(2)=(2,6)-(,-1)=(,7).
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)已知a+b=(1,3),a-b=(5,7),則a=________,b=________.
(2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2,求M,N及的坐標(biāo).
[思路探究] (1)用加
7、減消元法求a,b的坐標(biāo).
(2)法一:設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo),用向量相等的坐標(biāo)表示列方程求值.
法二:用向量線性運(yùn)算的幾何意義直接計(jì)算,的坐標(biāo).
(1)(3,5) (-2,-2) [由a+b=(1,3),a-b=(5,7),
所以2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),
所以a=(3,5),
2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),
所以b=(-2,-2).]
(2)[解] 法一:(待定系數(shù)法)由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),
=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),
所以=3=3(1,8)=(
8、3,24),
=2=2(6,3)=(12,6).
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則=(x1+3,y1+4)=(3,24),x1=0,y1=20;
=(x2+3,y2+4)=(12,6),x2=9,y2=2,
所以M(0,20),N(9,2),
=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
法二:(幾何意義法)設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則由=3,=2,
可得-=3(-),-=2(-),
從而=3-2,=2-,
所以=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),
=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),
即點(diǎn)M(0,20),N(9,2),
故=(9,2)-(0
9、,20)=(9,-18).
[規(guī)律方法] 平面向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算的方法:
(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行.
(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則可先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.
(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.
[跟蹤訓(xùn)練]
2.若A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,-4),(0,6),(-8,10),求+2,-的坐標(biāo).
[解] ∵=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),
∴+2=(-2,10)+2(-8,4)
=(-2,10)+(-16,8)
=(-18,18),
-=(-8,4)-(-1
10、0,14)
=(-8,4)-(-5,7)
=(-3,-3).
向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用
[探究問題]
1.已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),B(4,5),及=+t.當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)P在x軸上?點(diǎn)P在y軸上?點(diǎn)P在第二象限?
提示:∵=+t=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t).
若點(diǎn)P在x軸上,則2+3t=0,
∴t=-.
若點(diǎn)P在y軸上,則1+3t=0,
∴t=-.
若點(diǎn)P在第二象限,則
∴-
11、若四邊形OABP為平行四邊形,
則=,
∴該方程組無解.
故四邊形不能為平行四邊形.
(1)已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,則m+n=________.
(2)已知點(diǎn)A(2,3),B(5,4),C(7,10).若A=A+λA(λ∈R),試求λ為何值時(shí),
①點(diǎn)P在一、三象限角平分線上;
②點(diǎn)P在第三象限內(nèi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):84352221】
[思路探究] (1)→→
(2)→→
(1)7 [由已知得ma+nb=m(2,-3)+n(1,2)=(2m+n,-3m+2n).
又p=(9,4)且p=ma+nb,
所以解得
所以m+n=7
12、.]
(2)[解] 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
則A=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
A+λA=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵A=A+λA,
∴則
①若P在一、三象限角平分線上,
則5+5λ=4+7λ,∴λ=,
∴當(dāng)λ=時(shí),點(diǎn)P在一、三象限角平分線上.
②若P在第三象限內(nèi),則∴λ<-1,
∴當(dāng)λ<-1時(shí),點(diǎn)P在第三象限內(nèi).
母題探究:1.若本例(2)條件不變,試求λ為何值時(shí),點(diǎn)P在第四象限.
[解] 若P在第四象限,則解得-1<λ<-.
2.若本例(2)條件“=+λ”
13、改為“=+λ”,其他條件不變,應(yīng)如何解答?
[解] 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
則=(x-5,y-4),
+λ=(-3,-1)+λ(2,6)=(-3+2λ,-1+6λ).
因?yàn)椋剑耍?
所以則
①若P在一、三象限角平分線上,
則2+2λ=3+6λ,解得λ=-.
②若P在第三象限內(nèi),則解得λ<-1.
[規(guī)律方法] 1.解答本題可用待定系數(shù)法.此法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一,實(shí)質(zhì)是先將未知量設(shè)出來,建立方程(組)求出未知數(shù)的值,是待定系數(shù)法的基本形式,也是方程思想的一種基本應(yīng)用.
2.坐標(biāo)形式下向量相等的條件:相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等;對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量.由此可建立相等關(guān)系
14、求某些參數(shù)的值.
[當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基]
1.給出下面幾種說法:
①相等向量的坐標(biāo)相同;
②平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo);
③一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于唯一的一個(gè)向量;
④平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn),該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng).
其中正確說法的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C [由向量坐標(biāo)的定義不難看出一個(gè)坐標(biāo)可對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)相等的向量,故③錯(cuò)誤.]
2.已知A(2,-3),=(3,-2),則點(diǎn)B和線段AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)分別為
( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):84352222】
A.B(5,-5),M(0,0)
B.B(5,-5),M
C.
15、B(1,1),M(0,0)
D.B(1,1),M
B [=+=(2,-3)+(3,-2)=(5,-5),
=+=(2,-3)+(3,-2)=.]
3.已知平行四邊形OABC,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),若A(2,1),B(1,3),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________.
(-1,2) [設(shè)C的坐標(biāo)為(x,y),則由已知得=,所以(x,y)=(-1,2).]
4.已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為________.
[=(3,-4),則與同方向的單位向量為=(3,-4)=.]
5.已知a=(-1,2),b=(2,1),求:
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)
16、a-b.
[解] (1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)
=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(3)a-b=(-1,2)-(2,1)
=-=.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375