2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破二 焦點(diǎn)弦的性質(zhì)學(xué)案（含解析）新人教B版選修2-1.docx

專題突破二焦點(diǎn)弦的性質(zhì)拋物線的焦點(diǎn)弦是考試的熱點(diǎn)，有關(guān)拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)較為豐富，對(duì)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)進(jìn)行研究獲得一些重要結(jié)論，往往能給解題帶來新思路，有利于解題過程的優(yōu)化一、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的推導(dǎo)例1拋物線y22px(p>0)，設(shè)AB是拋物線的過焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1.證明：(1)x1x2，y1y2p2；(2)若直線AB的傾斜角為，則|AF|，|BF|；(3)|AB|x1x2p(其中為直線AB的傾斜角)，拋物線的通徑長(zhǎng)為2p，通徑是最短的焦點(diǎn)弦；(4)為定值；(5)SOAB(為直線AB的傾斜角)；(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；(7)A，O，B1三點(diǎn)共線，B，O，A1三點(diǎn)也共線考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題題點(diǎn)與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問題證明(1)當(dāng)ABx軸時(shí)，不妨設(shè)A，B，y1y2p2，x1x2.當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)為k(k0)，則直線AB的方程為yk，代入拋物線方程y22px，消元得y22p，即y2p20，y1y2p2，x1x2.(2)當(dāng)90時(shí)，過A作AGx軸，交x軸于G，由拋物線定義知|AF|AA1|，在RtAFG中，|FG|AF|cos，由圖知|GG1|AA1|，則p|AF|cos|AF|，得|AF|，同理得|BF|；當(dāng)90時(shí)，可知|AF|BF|p，對(duì)于|AF|，|BF|亦成立，|AF|，|BF|.(3)|AB|AF|BF|x1x2p2p，當(dāng)且僅當(dāng)90時(shí)取等號(hào)故通徑為最短的焦點(diǎn)弦(4)由(2)可得，.(5)當(dāng)90時(shí)，SOAB2p，故滿足SOAB；當(dāng)90時(shí)，設(shè)直線AB：ytan，原點(diǎn)O到直線AB的距離dsin，SOAB|AB|sin.(6)如圖：M的直徑為AB，過圓心M作MM1垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)M1，則|MM1|，故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(7)設(shè)直線AB的方程：xmy，代入y22px得y22pmyp20.由(1)可得y1y2p2.因?yàn)锽B1x軸，B1，即B1，kOA，所以且公共點(diǎn)為O，所以直線AB1過點(diǎn)O.所以A，O，B1三點(diǎn)共線，同理得B，O，A1三點(diǎn)共線二、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為()A.B.C.D.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題題點(diǎn)與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問題答案D解析方法一由題意可知，直線AB的方程為y，代入拋物線的方程可得4y212y90，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y23，y1y2，故所求三角形的面積為.方法二運(yùn)用焦點(diǎn)弦傾斜角相關(guān)的面積公式，則SOAB.(2)已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為()A16B14C12D10考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題題點(diǎn)與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問題答案A解析方法一拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y得k2x2(2k24)xk20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，由拋物線的定義可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k1時(shí)取等號(hào)，故|AB|DE|的最小值為16.方法二運(yùn)用焦點(diǎn)弦的傾斜角公式，注意到兩條弦互相垂直，設(shè)直線AB的傾斜角為，則且0，因此|AB|DE|16.當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立點(diǎn)評(píng)上述兩道題目均是研究拋物線的焦點(diǎn)弦問題，涉及拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度與三角形面積，從高考客觀題快速解答的要求來看，常規(guī)解法顯然小題大做了，而利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)，可以快速解決此類小題跟蹤訓(xùn)練過拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|，|AF|<|BF|，則|AF|_.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題題點(diǎn)與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問題答案解析由于y22x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意知A，B所在直線的斜率存在，設(shè)A，B所在直線的方程為yk，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，將yk代入y22x，得k222x，k2x2(k22)x0.x1x2.而|AB|x1x2px1x21，x1x2.又|AF|<|BF|，x1，x2.|AF|x1.1過拋物線y2x2的焦點(diǎn)且垂直于它的對(duì)稱軸的直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為()A2B1C.D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案D2.直線l過拋物線y24x的焦點(diǎn)，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|8，則直線l的方程為()Ayx1Byx1Cyx1或yx1D以上均不對(duì)考點(diǎn)題點(diǎn)答案C解析由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)|AB|(為直線AB的傾斜角)，8，sin2，則tan1，又直線過拋物線焦點(diǎn)，直線l的方程為yx1或yx1.故選C.3直線l過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，且與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)是8，AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是()Ay212xBy28xCy26xDy24x答案B解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為2，2，x1x24，p4，所求拋物線的方程為y28x.故選B.4過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，又準(zhǔn)線方程為x1，因此點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為1.5過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則A1FB1為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案90解析設(shè)拋物線方程為y22px(p>0)，如圖|AF|AA1|，|BF|BB1|，AA1FAFA1，BFB1FB1B.又AA1OxB1B，A1FOFA1A，B1FOFB1B，A1FB1AFB90.一、選擇題1已知AB是過拋物線y2x2的焦點(diǎn)的弦，若|AB|4，則AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A1B2C.D.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題題點(diǎn)與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問題答案D解析如圖所示，設(shè)AB的中點(diǎn)為P(x0，y0)，分別過A，P，B三點(diǎn)作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A，Q，B，由題意得|AA|BB|AB|4，|PQ|2，又|PQ|y0，y02，y0.2若拋物線y22px(p>0)上三個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列，那么這三個(gè)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離的關(guān)系是()A成等差數(shù)列B既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列C成等比數(shù)列D既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析設(shè)三點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則y2px1，y2px2，y2px3，因?yàn)?yyy，所以x1x32x2，即|P1F|P3F|2，所以|P1F|P3F|2|P2F|.3拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，則AHF的面積是()A4B3C4D8答案C解析由拋物線的定義可得|AF|AH|，AF的斜率為，AF的傾斜角為30，AH垂直于準(zhǔn)線，F(xiàn)AH60，故AHF為等邊三角形設(shè)A，m>0，過F作FMAH于M，則在FAM中，|AM|AF|，1，解得m2，故等邊三角形AHF的邊長(zhǎng)|AH|4，AHF的面積是44sin604.故選C.4過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|>|BF|，則的值為()A3B2C.D.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題題點(diǎn)與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問題答案A解析由拋物線的性質(zhì)可知，|AF|，|BF|，3.5已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy的最小值為()A4B6C8D10考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題題點(diǎn)與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問題答案C解析由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)知，y1y24，即|y1|y2|4，則yy2|y1|y2|8，當(dāng)且僅當(dāng)|y1|y2|2時(shí)，取等號(hào)故yy的最小值為8.6過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|AF|BF|的最小值是()A2B.C4D2答案C解析設(shè)直線AB的傾斜角為，可得|AF|，|BF|，則|AF|BF|4.7.如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|3|BF|，且|AF|4，則p的值為()A.B2C.D.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題題點(diǎn)與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問題答案C解析設(shè)直線l的傾斜角為，由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)知，|BF|，|AF|，解得8設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與C交于A，B兩點(diǎn)若|AF|3|BF|，則l的方程為()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題題點(diǎn)與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問題答案C解析當(dāng)cos>0時(shí)，|AF|，|BF|.由|AF|3|BF|，即cos，此時(shí)tan，當(dāng)cos<0時(shí)，|AF|，|BF|，由|AF|3|BF|，即cos，此時(shí)tan，故選C.9直線l過拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F，交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為()A1B(0,1C1，) D.考點(diǎn)題點(diǎn)答案A解析易知焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線l的方程為yk(x1)，代入拋物線方程，得k2(x1)24x.化簡(jiǎn)為k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x21，根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，|AF|x11，|BF|x21，1.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則直線l：x1，此時(shí)|BF|AF|2，1，綜上，1.10.如圖，過拋物線x24y焦點(diǎn)的直線依次交拋物線和圓x2(y1)21于點(diǎn)A，B，C，D，則|AB|CD|的值是()A8B4C2D1考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析易知，直線斜率存在，設(shè)為k，由得y2(4k22)y10，|AB|AF|1yA，|CD|DF|1yD，|AB|CD|yAyD1.二、填空題11一條直線過點(diǎn)，且與拋物線y2x交于A，B兩點(diǎn)若|AB|4，則弦AB的中點(diǎn)到直線x0的距離等于_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析拋物線y2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x，直線AB為過焦點(diǎn)的直線，AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離2，弦AB的中點(diǎn)到直線x0的距離等于2.12過拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|AF|3，則AOB的面積為_考點(diǎn)題點(diǎn)答案解析由題意知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為l：x1，可得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，不妨設(shè)A(2，2)，則直線AB的方程為y2(x1)，與y24x聯(lián)立，得2x25x20，可得B，所以SAOBSAOFSBOF1|yAyB|.13設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|_.考點(diǎn)拋物線中過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題題點(diǎn)與弦長(zhǎng)有關(guān)的其它問題答案6解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)由0知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.三、解答題14.如圖，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，圓x2y24x的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，直線l過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為2，直線l交拋物線和圓依次于A，B，C，D四點(diǎn)(1)求拋物線的方程；(2)求|AB|CD|的值考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)由圓的方程x2y24x，即(x2)2y24，可知圓心為F(2,0)，半徑為2，又由拋物線的焦點(diǎn)為已知圓的圓心，得到拋物線焦點(diǎn)為F(2,0)，故拋物線方程為y28x.(2)|AB|CD|AD|BC|，|BC|為已知圓的直徑，|BC|4，則|AB|CD|AD|4，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AD|AF|FD|，而A，D在拋物線上，由已知可知直線l的方程為y2(x2)，由消去y，得x26x40，x1x26，|AD|6410，因此|AB|CD|1046.15.已知M為拋物線y22px(p>0)上一動(dòng)點(diǎn)，A(a,0)(a>0)為其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直線MA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為N.當(dāng)A為拋物線的焦點(diǎn)且直線MA與其對(duì)稱軸垂直時(shí)，OMN的面積為.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記t，若t的值與M點(diǎn)位置無關(guān)，則稱此時(shí)的點(diǎn)A為“穩(wěn)定點(diǎn)”，試求出所有“穩(wěn)定點(diǎn)”，若沒有，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)題點(diǎn)解(1)由題意知，當(dāng)直線MA與拋物線對(duì)稱軸垂直時(shí)，SMON|OA|MN|2p，p3，故拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y26x.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN的方程為xmya，聯(lián)立得y26my6a0，所以36m224a>0，y1y26m，y1y26a，由對(duì)稱性，不妨設(shè)m>0，因?yàn)閍>0，所以y1y26a<0，所以y1，y2異號(hào)，又tt2.所以，當(dāng)且僅當(dāng)10即a時(shí)，t與m無關(guān)，A為穩(wěn)定點(diǎn)