2020版高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 專題突破二 焦點弦的性質(zhì)學案(含解析)新人教B版選修2-1.docx
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專題突破二焦點弦的性質(zhì)拋物線的焦點弦是考試的熱點,有關(guān)拋物線的焦點弦性質(zhì)較為豐富,對拋物線焦點弦性質(zhì)進行研究獲得一些重要結(jié)論,往往能給解題帶來新思路,有利于解題過程的優(yōu)化一、焦點弦性質(zhì)的推導例1拋物線y22px(p0),設AB是拋物線的過焦點的一條弦(焦點弦),F(xiàn)是拋物線的焦點,A(x1,y1),B(x2,y2)(y10,y20),A,B在準線上的射影為A1,B1.證明:(1)x1x2,y1y2p2;(2)若直線AB的傾斜角為,則|AF|,|BF|;(3)|AB|x1x2p(其中為直線AB的傾斜角),拋物線的通徑長為2p,通徑是最短的焦點弦;(4)為定值;(5)SOAB(為直線AB的傾斜角);(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切;(7)A,O,B1三點共線,B,O,A1三點也共線考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題證明(1)當ABx軸時,不妨設A,B,y1y2p2,x1x2.當AB的斜率存在時,設為k(k0),則直線AB的方程為yk,代入拋物線方程y22px,消元得y22p,即y2p20,y1y2p2,x1x2.(2)當90時,過A作AGx軸,交x軸于G,由拋物線定義知|AF|AA1|,在RtAFG中,|FG|AF|cos,由圖知|GG1|AA1|,則p|AF|cos|AF|,得|AF|,同理得|BF|;當90時,可知|AF|BF|p,對于|AF|,|BF|亦成立,|AF|,|BF|.(3)|AB|AF|BF|x1x2p2p,當且僅當90時取等號故通徑為最短的焦點弦(4)由(2)可得,.(5)當90時,SOAB2p,故滿足SOAB;當90時,設直線AB:ytan,原點O到直線AB的距離dsin,SOAB|AB|sin.(6)如圖:M的直徑為AB,過圓心M作MM1垂直于準線于點M1,則|MM1|,故以AB為直徑的圓與準線相切(7)設直線AB的方程:xmy,代入y22px得y22pmyp20.由(1)可得y1y2p2.因為BB1x軸,B1,即B1,kOA,所以且公共點為O,所以直線AB1過點O.所以A,O,B1三點共線,同理得B,O,A1三點共線二、焦點弦性質(zhì)的應用例2(1)設F為拋物線C:y23x的焦點,過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點,O為坐標原點,則OAB的面積為()A.B.C.D.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案D解析方法一由題意可知,直線AB的方程為y,代入拋物線的方程可得4y212y90,設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y23,y1y2,故所求三角形的面積為.方法二運用焦點弦傾斜角相關(guān)的面積公式,則SOAB.(2)已知F為拋物線C:y24x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|DE|的最小值為()A16B14C12D10考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案A解析方法一拋物線C:y24x的焦點為F(1,0),由題意可知l1,l2的斜率存在且不為0.不妨設直線l1的斜率為k,l1:yk(x1),l2:y(x1),由消去y得k2x2(2k24)xk20,設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x22,由拋物線的定義可知,|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2,|AB|DE|444k2848816,當且僅當k2,即k1時取等號,故|AB|DE|的最小值為16.方法二運用焦點弦的傾斜角公式,注意到兩條弦互相垂直,設直線AB的傾斜角為,則且0,因此|AB|DE|16.當且僅當或時,等號成立點評上述兩道題目均是研究拋物線的焦點弦問題,涉及拋物線焦點弦長度與三角形面積,從高考客觀題快速解答的要求來看,常規(guī)解法顯然小題大做了,而利用焦點弦性質(zhì),可以快速解決此類小題跟蹤訓練過拋物線y22x的焦點F作直線交拋物線于A,B兩點,若|AB|,|AF|BF|,則|AF|_.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案解析由于y22x的焦點坐標為,由題意知A,B所在直線的斜率存在,設A,B所在直線的方程為yk,A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,將yk代入y22x,得k222x,k2x2(k22)x0.x1x2.而|AB|x1x2px1x21,x1x2.又|AF|0)的焦點,且與該拋物線交于A,B兩點,若線段AB的長是8,AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2,則此拋物線的方程是()Ay212xBy28xCy26xDy24x答案B解析設A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)拋物線的定義可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中點到y(tǒng)軸的距離為2,2,x1x24,p4,所求拋物線的方程為y28x.故選B.4過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于點A(x1,y1),B(x2,y2),若|AB|7,則AB的中點M到拋物線準線的距離為_考點題點答案解析拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x1.由拋物線定義知|AB|AF|BF|x1x2p,即x1x227,得x1x25,于是弦AB的中點M的橫坐標為,又準線方程為x1,因此點M到拋物線準線的距離為1.5過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A,B兩點,若點A,B在拋物線準線上的射影分別為A1,B1,則A1FB1為_考點題點答案90解析設拋物線方程為y22px(p0),如圖|AF|AA1|,|BF|BB1|,AA1FAFA1,BFB1FB1B.又AA1OxB1B,A1FOFA1A,B1FOFB1B,A1FB1AFB90.一、選擇題1已知AB是過拋物線y2x2的焦點的弦,若|AB|4,則AB的中點的縱坐標是()A1B2C.D.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案D解析如圖所示,設AB的中點為P(x0,y0),分別過A,P,B三點作準線l的垂線,垂足分別為A,Q,B,由題意得|AA|BB|AB|4,|PQ|2,又|PQ|y0,y02,y0.2若拋物線y22px(p0)上三個點的縱坐標的平方成等差數(shù)列,那么這三個點到拋物線焦點F的距離的關(guān)系是()A成等差數(shù)列B既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列C成等比數(shù)列D既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列考點題點答案A解析設三點為P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),則y2px1,y2px2,y2px3,因為2yyy,所以x1x32x2,即|P1F|P3F|2,所以|P1F|P3F|2|P2F|.3拋物線x24y的焦點為F,過點F作斜率為的直線l與拋物線在y軸右側(cè)的部分相交于點A,過點A作拋物線準線的垂線,垂足為H,則AHF的面積是()A4B3C4D8答案C解析由拋物線的定義可得|AF|AH|,AF的斜率為,AF的傾斜角為30,AH垂直于準線,F(xiàn)AH60,故AHF為等邊三角形設A,m0,過F作FMAH于M,則在FAM中,|AM|AF|,1,解得m2,故等邊三角形AHF的邊長|AH|4,AHF的面積是44sin604.故選C.4過拋物線y22px(p0)的焦點F作傾斜角為60的直線l交拋物線于A,B兩點,且|AF|BF|,則的值為()A3B2C.D.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案A解析由拋物線的性質(zhì)可知,|AF|,|BF|,3.5已知拋物線y24x的焦點為F,過焦點F的直線與拋物線交于點A(x1,y1),B(x2,y2),則yy的最小值為()A4B6C8D10考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案C解析由焦點弦的性質(zhì)知,y1y24,即|y1|y2|4,則yy2|y1|y2|8,當且僅當|y1|y2|2時,取等號故yy的最小值為8.6過拋物線y24x的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,點O是坐標原點,則|AF|BF|的最小值是()A2B.C4D2答案C解析設直線AB的傾斜角為,可得|AF|,|BF|,則|AF|BF|4.7.如圖,過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線l交拋物線于點A,B,交其準線于點C,若|BC|3|BF|,且|AF|4,則p的值為()A.B2C.D.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案C解析設直線l的傾斜角為,由焦點弦的性質(zhì)知,|BF|,|AF|,解得8設拋物線C:y24x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點若|AF|3|BF|,則l的方程為()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其它問題答案C解析當cos0時,|AF|,|BF|.由|AF|3|BF|,即cos,此時tan,當cos0)上一動點,A(a,0)(a0)為其對稱軸上一點,直線MA與拋物線的另一個交點為N.當A為拋物線的焦點且直線MA與其對稱軸垂直時,OMN的面積為.(1)求拋物線的標準方程;(2)記t,若t的值與M點位置無關(guān),則稱此時的點A為“穩(wěn)定點”,試求出所有“穩(wěn)定點”,若沒有,請說明理由考點題點解(1)由題意知,當直線MA與拋物線對稱軸垂直時,SMON|OA|MN|2p,p3,故拋物線C的標準方程為y26x.(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為xmya,聯(lián)立得y26my6a0,所以36m224a0,y1y26m,y1y26a,由對稱性,不妨設m0,因為a0,所以y1y26a0,所以y1,y2異號,又tt2.所以,當且僅當10即a時,t與m無關(guān),A為穩(wěn)定點- 配套講稿:
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