江蘇省東臺市高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學歸納法（1）導學案蘇教版選修2-2.doc

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2.3數(shù)學歸納法（1） 一、教學內(nèi)容：推理與證明（第七課時）理科：數(shù)學歸納法（1） 二、教學目標： 1．了解歸納法的意義，培養(yǎng)學生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力． 2．了解數(shù)學歸納法的原理，能以遞推思想作指導，理解數(shù)學歸納法的操作步驟． 3．重點訓練等式問題和數(shù)列問題． 3、 課前預習 對于數(shù)列{an}，已知， (n=1,2,…), 通過對n=1,2,3,4前4項的歸納，猜想其通項公式 四、講解新課 （一）創(chuàng)設情景 對于數(shù)列{an}，已知， (n=1,2,…), 通過對n=1,2,3,4前4項的歸納，猜想其通項公式為 。這個猜想是否正確需要證明。 一般來說，與正整數(shù)n有關的命題，當n比較小時可以逐個驗證，但當n較大時，驗證就很麻煩。特別是n可取所有正整數(shù)時逐一驗證是不可能的。因此，我們需要尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立。 （二）研探新知 1、了解多米諾骨牌游戲。 可以看出，只要滿足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下： （1）第一塊骨牌倒下； （2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下。 思考：你認為條件（2）的作用是什么？ 可以看出，條件（2）事實上給出了一個遞推關系： 當?shù)趉塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。 這樣，要使所有的骨牌全部倒下，只要保證（1）（2）成立。 2、用多米諾骨牌原理解決數(shù)學問題。 思考：你認為證明數(shù)列的通過公式是 這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？ 分析： 多米諾骨牌游戲原理 通項公式的證明方法 （1）第一塊骨牌倒下。 （1）當n=1時a1=1，猜想成立 （2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。 （2）若當n=k時猜想成立，即 ，則當n=k+1時猜想也成立，即 。 根據(jù)（1）和 （2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。 根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。 3、數(shù)學歸納法的原理 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行： （1）（歸納奠基）證明當n取第一個值n0時命題成立； （2）（歸納遞推）假設n=k()時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。 上述證明方法叫做數(shù)學歸納法 注意：（1）這兩步步驟缺一不可。 （2）用數(shù)學歸納法證明命題時，難點和關鍵都在第二步，而在這一步主要在于合理運用歸納假設，結(jié)合已知條件和其他數(shù)學知識，證明“當n=k+1時命題成立”。 （3）數(shù)學歸納法可證明有關的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都用數(shù)學歸納法證明，學習時要具體問題具體分析。 4、例題講解 例1 用數(shù)學歸納法證明：如果{an}是一個等差數(shù)列，那么an=a1+(n－1)d對一切n∈N*都成立. 練習1：用數(shù)學歸納法證明：如果{an}是一個等比數(shù)列，那么an=a1對一切n∈N*都成立. 例2 用數(shù)學歸納法證明：1+3+5+…+(2n－1)=n2. 練習2：用數(shù)學歸納法證明“12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)” 5、 課堂練習 1. 若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N)，則n＝1時，f(n)＝________. 2. 用數(shù)學歸納法證明不等式“2n>n2＋1對于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取為________． 3、用數(shù)學歸納法證明等差數(shù)列的求和公式（1） 4、已知a1=,an+1=,（1）a2,a3,a4,a5的值；（2）猜想an；（3）用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論。