江蘇省東臺(tái)市高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法（1）導(dǎo)學(xué)案蘇教版選修2-2.doc

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2.3數(shù)學(xué)歸納法（1） 一、教學(xué)內(nèi)容：推理與證明（第七課時(shí)）理科：數(shù)學(xué)歸納法（1） 二、教學(xué)目標(biāo)： 1．了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力． 2．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟． 3．重點(diǎn)訓(xùn)練等式問(wèn)題和數(shù)列問(wèn)題． 3、 課前預(yù)習(xí) 對(duì)于數(shù)列{an}，已知， (n=1,2,…), 通過(guò)對(duì)n=1,2,3,4前4項(xiàng)的歸納，猜想其通項(xiàng)公式 四、講解新課 （一）創(chuàng)設(shè)情景 對(duì)于數(shù)列{an}，已知， (n=1,2,…), 通過(guò)對(duì)n=1,2,3,4前4項(xiàng)的歸納，猜想其通項(xiàng)公式為 。這個(gè)猜想是否正確需要證明。 一般來(lái)說(shuō)，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證，但當(dāng)n較大時(shí)，驗(yàn)證就很麻煩。特別是n可取所有正整數(shù)時(shí)逐一驗(yàn)證是不可能的。因此，我們需要尋求一種方法：通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立。 （二）研探新知 1、了解多米諾骨牌游戲。 可以看出，只要滿(mǎn)足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下： （1）第一塊骨牌倒下； （2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。 思考：你認(rèn)為條件（2）的作用是什么？ 可以看出，條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系： 當(dāng)?shù)趉塊倒下時(shí)，相鄰的第k+1塊也倒下。 這樣，要使所有的骨牌全部倒下，只要保證（1）（2）成立。 2、用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。 思考：你認(rèn)為證明數(shù)列的通過(guò)公式是 這個(gè)猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類(lèi)比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問(wèn)題嗎？ 分析： 多米諾骨牌游戲原理 通項(xiàng)公式的證明方法 （1）第一塊骨牌倒下。 （1）當(dāng)n=1時(shí)a1=1，猜想成立 （2）若第k塊倒下時(shí)，則相鄰的第k+1塊也倒下。 （2）若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即 ，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，即 。 根據(jù)（1）和 （2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。 根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜想都成立。 3、數(shù)學(xué)歸納法的原理 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： （1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立； （2）（歸納遞推）假設(shè)n=k()時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 注意：（1）這兩步步驟缺一不可。 （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)，難點(diǎn)和關(guān)鍵都在第二步，而在這一步主要在于合理運(yùn)用歸納假設(shè)，結(jié)合已知條件和其他數(shù)學(xué)知識(shí)，證明“當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立”。 （3）數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問(wèn)題，但并不是所有的正整數(shù)問(wèn)題都用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問(wèn)題具體分析。 4、例題講解 例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)等差數(shù)列，那么an=a1+(n－1)d對(duì)一切n∈N*都成立. 練習(xí)1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個(gè)等比數(shù)列，那么an=a1對(duì)一切n∈N*都成立. 例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+(2n－1)=n2. 練習(xí)2：用數(shù)學(xué)歸納法證明“12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)” 5、 課堂練習(xí) 1. 若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N)，則n＝1時(shí)，f(n)＝________. 2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“2n>n2＋1對(duì)于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取為_(kāi)_______． 3、用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的求和公式（1） 4、已知a1=,an+1=,（1）a2,a3,a4,a5的值；（2）猜想an；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。