一輪北師大版理數(shù)學教案：第2章 第5節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) Word版含解析

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1、第五節(jié)　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) [考綱傳真]　1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算.2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點.3.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型． 1．有理指數(shù)冪 (1)分數(shù)指數(shù)冪 ①正分數(shù)指數(shù)冪：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②負分數(shù)指數(shù)冪：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義． (2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì) ①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s

2、∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 2．指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì) 圖像 a＞1 0＜a＜1 定義域 R 值域 (0，＋∞) 性質(zhì) 過定點(0,1)，即x＝0時，y＝1 當x＞0時，y＞1；當x＜0時，0＜y＜1 當x＞0時，0＜y＜1；當x＜0時，y＞1 是R上的增函數(shù) 是R上的減函數(shù) 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)(－1)＝(－1)＝.(　　) (2)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．(　　) (3)若am＜an(a＞0，且a≠1)，則m＜n.(　　) (4)函數(shù)y＝

3、ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．化簡[(－2)6]－(－1)0的結(jié)果為(　　) A．－9　 B．7 C．－10 D．9 B　[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]　 3．函數(shù)y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的圖像可能是(　　) A　　 　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　　D C　[法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函數(shù)圖像必過定點(1,0)，符合條件的只有選項C. 法二：當a＞1時，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a個單位，且過(1,0)，A，B，D都

4、不合適； 當0＜a＜1時，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a個單位，因為0＜a＜1，故排除選項D.] 4．(教材改編)已知0.2m＜0.2n，則m________n(填“＞”或“＜”). 【導學號：57962052】 ＞　[設f(x)＝0.2x，f(x)為減函數(shù)， 由已知f(m)＜f(n)，∴m＞n.] 5．指數(shù)函數(shù)y＝(2－a)x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則a的取值范圍是________. 【導學號：57962053】 (1,2)　[由題意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.] 指數(shù)冪的運算 　化簡求值： [解]　(1) ＝1＋×－＝1＋－＝. 6分

5、 (2) 12分 [規(guī)律方法]　1.指數(shù)冪的運算，首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，但應注意： (1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加； (2)運算的先后順序． 2．當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù)． 3．運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù)． [變式訓練1]　化簡求值： 指數(shù)函數(shù)的圖像及應用 (1)(2017·鄭州模擬)定義運算ab＝則函數(shù)f(x)＝12x的圖像是(　　) (2)若曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個公共點，求b的取值范圍． (1)A　[(1)因為當x≤0

6、時，2x≤1； 當x＞0時，2x＞1. 則f(x)＝12x＝故選A.] (2)曲線y＝|2x－1|與直線y＝b的圖像如圖所示，由圖像可得，如果曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個公共點， 8分 則b的取值范圍是(0,1). 12分 [規(guī)律方法]　指數(shù)函數(shù)圖像的畫法(判斷)及應用 (1)畫(判斷)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖像，應抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0,1)，. (2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖像的研究，往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖像，通過平移、對稱變換得到其圖像． (3)一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解. [變

7、式訓練2]　(1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖像如圖2­5­1，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) 圖2­5­1 A．a(chǎn)＞1，b＜0 B．a(chǎn)＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)方程 2x＝2－x的解的個數(shù)是________． (1)D　(2)1　[(1)由f(x)＝ax－b的圖像可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上遞減，所以0＜a＜1，函數(shù)f(x)＝ax－b的圖像是在y＝ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b＜0. (2)方程的解可看作函數(shù)y＝2x和y＝2－x的圖像交點的橫坐標，分別作出這兩

8、個函數(shù)圖像(如圖)． 由圖像得只有一個交點，因此該方程只有一個解．] 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用 ?角度1　比較指數(shù)式的大小 　(1)(2016·全國卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，則(　　) 【導學號：57962054】 A．b＜a＜c　　　 B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b (2)(2016·浙江高考)已知函數(shù)f(x)滿足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.(　　) A．若f(a)≤|b|，則a≤b B．若f(a)≤2b，則a≤b C．若f(a)≥|b|，則a≥b D．若f(a)≥2b，則a≥b (1)A　(2)

9、B　[(1)a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5. ∵y＝x在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，又5＞4＞3，∴c＞a＞b. (2)∵f(x)≥|x|，∴f(a)≥|a|.若f(a)≤|b|，則|a|≤|b|，A項錯誤．若f(a)≥|b|且f(a)≥|a|，無法推出a≥b，故C項錯誤．∵f(x)≥2x，∴f(a)≥2a.若f(a)≤2b，則2b≥2a，故b≥a，B項正確．若f(a)≥2b且f(a)≥2a，無法推出a≥b，故D項錯誤．故選B.] ?角度2　解簡單的指數(shù)方程或不等式 　(2015·江蘇高考)不等式2x2－x＜4的解集為______． {x|－1＜x＜2}　[∵2x2－x＜4，∴2

10、x2－x＜22， ∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.] ?角度3　探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì) 　已知函數(shù)f(x)＝. (1)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)有最大值3，求a的值； (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． [解]　(1)當a＝－1時，f(x)＝， 令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7， 則g(x)在區(qū)間(－∞，－2)上遞增， 2分 在區(qū)間[－2，＋∞)上遞減，又函數(shù)y＝x在R上是減函數(shù)， 因此f(x)的遞增區(qū)間是[－2，＋∞)，遞減區(qū)間是(－∞，－2). 4分 (2)由f(x)有最大值3知，ax2－4x

11、＋3有最小值－1，則有解得a＝1. 8分 (3)由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域為R，則必有a＝0. 12分 [規(guī)律方法]　1.比較指數(shù)式的大小的方法：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大?。?2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大?。? 2．解簡單的指數(shù)方程或不等式可先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解． 3．探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)的方法一致． 易錯警示：在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時，當?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時，要分類討論．

12、 [思想與方法] 1．根式與分數(shù)指數(shù)冪的實質(zhì)是相同的，分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式的化簡運算． 2．判斷指數(shù)函數(shù)圖像上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數(shù)的值再進行比較． [易錯與防范] 1．指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a的大小，當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論． 2．對與復合函數(shù)有關(guān)的問題，要弄清復合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復合而成，并且一定要注意函數(shù)的定義域． 3．對可化為a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助換元法解決，但應注意換元后“新元”的范圍．