【備戰(zhàn)】北京中國(guó)人民大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)(題型預(yù)測(cè)范例選講)綜合能力題選講 第03講 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(含詳解)

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1、 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 題型預(yù)測(cè) 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)都是非常重要的初等函數(shù),也是我們?cè)诟咧须A段研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)主要的載體.其它初等函數(shù)與之相復(fù)合,所得到的新函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性,以及它們與不等式的綜合常常成為考查的核心. 范例選講 例1.已知,其中. (1)試求的定義域和值域;求出的反函數(shù); (2)求出的反函數(shù); (3)判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性; (4)若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,求的取值范圍. 講解 (1) 由于,所以,函數(shù)的定義域?yàn)镽. 為求的值域,觀察函數(shù)的解析式.注意到其實(shí)是一個(gè)單調(diào)函數(shù)()和一個(gè)非單調(diào)函數(shù)()之和,因此,的單調(diào)性并不能通過(guò)簡(jiǎn)單判斷很快

2、得到. 解決這個(gè)問(wèn)題,我們可以有下面的兩種選擇: 一、從單調(diào)性的定義出發(fā).即任取,且,比較的大小關(guān)系,這種方法留給同學(xué)自己完成. 二、通過(guò)剛才的觀察,很快可以看出:在上單調(diào)遞增,此時(shí),的取值范圍為; 當(dāng)時(shí),,因此,若令,則 由,則可知:此時(shí)的取值范圍為. 又時(shí),.所以,函數(shù)的值域?yàn)椋? 所以,函數(shù)的值域?yàn)镽. (2)設(shè),則=,利用與互為倒數(shù),可得=,所以,. 所以,=,R. (3)任取R,則==,所以,函數(shù)為奇函數(shù). 任取,且,則由及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知: ,, 所以,,即. 所以,在定義域內(nèi)單調(diào)遞增. (4)由得:,即: 結(jié)合的單調(diào)性可知:上式等價(jià)于

3、:,解之得:. 點(diǎn)評(píng) ①定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ).求值域、判斷奇偶性、單調(diào)性、研究函數(shù)圖象等都應(yīng)先從定義域出發(fā).②從定義域出發(fā),利用函數(shù)的單調(diào)性,是求函數(shù)值域常用的方法. 例2.已知函數(shù),對(duì)定義域內(nèi)的任意都有成立. (1)求實(shí)數(shù)的值; (2)若當(dāng)時(shí),的取值范圍恰為,求實(shí)數(shù)的值. 講解:(1)由及可得: 解之得:. 當(dāng)時(shí),函數(shù)無(wú)意義,所以,只有. (2)時(shí), ,其定義域?yàn)? 所以,或. ①若,則. 為研究時(shí)的值域,可考慮在上的單調(diào)性.下證在上單調(diào)遞減. 任取,且,則 又,所以,,即. 所以,當(dāng),在上單調(diào)遞減 由題:時(shí),的取值范圍恰為,所以,必有,解之得:(因?yàn)?,所以舍去? ②若,則.又由于,所以,. 此時(shí),同上可證在上單調(diào)遞增(證明過(guò)程略). 所以,在上的取值范圍應(yīng)為,而為常數(shù),故的取值范圍不可能恰為. 所以,在這種情況下,無(wú)解. 綜上,符合題意的實(shí)數(shù)的值為, 點(diǎn)評(píng) 本題(2)中,充分的運(yùn)用已知條件,可以減少分類(lèi)討論的次數(shù). 3

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