數(shù)字圖像的傅里葉變換經(jīng)典ppt課件

圖像的傅里葉變換FourierTransformationForImage 1 時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況 除單頻率分量的簡諧波外 很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小 圖例 受噪聲干擾的多頻率成分信號 2 信號頻譜X f 代表了信號在不同頻率分量成分的大小 能夠提供比時域信號波形更直觀 豐富的信息 3 4 一維FT及其反變換 連續(xù)函數(shù)f x 的傅立葉變換F u 傅立葉變換F u 的反變換 5 一維DFT及其反變換 離散函數(shù)f x 其中x u 0 1 2 N 1 的傅立葉變換 F u 的反變換的反變換 計算F u 在指數(shù)項中代入u 0 然后將所有x值相加 得到F 0 2 u 1 復對所有x的相加 得到F 1 3 對所有M個u重復此過程 得到全部完整的FT 6 離散傅里葉變換及其反變換總存在 用歐拉公式得 每個F u 由f x 與對應頻率的正弦和余弦乘積和組成 u值決定了變換的頻率成份 因此 F u 覆蓋的域 u值 稱為頻率域 其中每一項都被稱為FT的頻率分量 與f x 的 時間域 和 時間成份 相對應 7 傅里葉變換的作用 傅里葉變換將信號分成不同頻率成份 類似光學中的分色棱鏡把白光按波長 頻率 分成不同顏色 稱數(shù)學棱鏡 傅里葉變換的成份 直流分量和交流分量信號變化的快慢與頻率域的頻率有關 噪聲 邊緣 跳躍部分代表圖像的高頻分量 背景區(qū)域和慢變部分代表圖像的低頻分量 8 二維DFT傅里葉變換 一個圖像尺寸為M N的函數(shù)f x y 的離散傅立葉變換F u v F u v 的反變換 9 二維DFT傅里葉變換 u v 0 0 位置的傅里葉變換值為 即f x y 的均值 原點 0 0 的傅里葉變換是圖像的平均灰度 F 0 0 稱為頻率譜的直流分量 系數(shù) 其它F u v 值稱為交流分量 交流系數(shù) 10 二維連續(xù)傅里葉變換 1 定義 2 逆傅里葉變換 3 傅里葉變換特征參數(shù) 頻譜 幅度譜 模 能量譜 功率譜 相位譜 11 傅里葉變換中出現(xiàn)的變量u和v通常稱為頻率變量 空間頻率可以理解為等相位線在x y坐標投影的截距的倒數(shù) 相應的空間頻率分別為 對圖像信號而言 空間頻率是指單位長度內(nèi)亮度作周期性變化的次數(shù) 思考 噪聲 線 細節(jié) 背景或平滑區(qū)域對應的空間頻率特性 12 傅里葉變換的意義 傅里葉變換好比一個玻璃棱鏡棱鏡是可以將光分成不同顏色的物理儀器 每個成分的顏色由波長決定 傅里葉變換可看做是 數(shù)學中的棱鏡 將函數(shù)基于頻率分成不同的成分 一些圖像的傅里葉變換 13 是g x y 的頻譜 物函數(shù)g x y 可以看作不同方向傳播的單色平面波分量的線性疊加 為權重因子 空間頻率表示了單色平面波的傳播方向 對于xy平面上一點的復振幅分布g x y 可由逆傅里葉變換表示成 14 二維離散傅里葉變換 1 定義 2 逆傅里葉變換 離散的情況下 傅里葉變換和逆傅里葉變換始終存在 15 a b 16 x y 1 1 j j 17 圖像的頻譜幅度隨頻率增大而迅速衰減 許多圖像的傅里葉頻譜的幅度隨著頻率的增大而迅速減小 這使得在顯示與觀察一副圖像的頻譜時遇到困難 但以圖像的形式顯示它們時 其高頻項變得越來越不清楚 解決辦法 對數(shù)化 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 主極大的值用Fmax表示 第一個旁瓣的峰值用Fmin表示 32 例題 對一幅圖像實施二維DFT 顯示并觀察其頻譜 解 源程序及運行結果如下 對單縫進行快速傅里葉變換 以三種方式顯示頻譜 即 直接顯示 坐標原點在左上角 把坐標原點平 移至中心后顯示 以對數(shù)方式顯示 f zeros 512 512 f 246 266 230 276 1 subplot 221 imshow f title 單狹縫圖像 F fft2 f 對圖像進行快速傅里葉變換S abs F subplot 222 imshow S 顯示幅度譜title 幅度譜 頻譜坐標原點在坐上角 33 Fc fftshift F 把頻譜坐標原點由左上角移至屏幕中央subplot 223 Fd abs Fc imshow Fd ratio max Fd min Fd ratio 2 3306e 007 動態(tài)范圍太大 顯示器無法正常顯示title 幅度譜 頻譜坐標原點在屏幕中央 S2 log 1 abs Fc subplot 224 imshow S2 title 以對數(shù)方式顯示頻譜 運行上面程序后 結果如下 34 35 二維離散傅里葉變換的性質 線性性 證明 36 imagelinear m 該程序驗證了二維DFT的線性性質f imread D chenpc data thry chpt4 Fig4 04 a jpg g imread D chenpc data thry chpt4 Fig4 30 a jpg m n size g f m n 0 f im2double f g im2double g subplot 221 imshow f title f subplot 222 imshow g title g 37 F fftshift fft2 f G fftshift fft2 g subplot 223 imshow log abs F G FG fftshift fft2 f g title DFT f DFT g subplot 224 imshow log abs FG title DFT f g 38 39 可分離性 二維DFT可視為由沿x y方向的兩個一維DFT所構成 其中 40 例題 編程驗證二維離散傅里葉變換可分離為兩個一維離散傅里葉變換 解 myseparable m 該程序驗證了二維DFT的可分離性質 該程序產(chǎn)生了岡薩雷斯 數(shù)字圖像處理 第二版 P125圖4 4 41 f imread D chenpc data thry chpt4 Fig4 04 a jpg subplot 211 imshow f title 原圖 F fftshift fft2 f subplot 223 imshow log 1 abs F title 用fft2實現(xiàn)二維離散傅里葉變換 m n size f F fft f 沿x方向求離散傅里葉變換G fft F 沿y方向求離散傅里葉變換F fftshift G subplot 224 imshow log 1 abs F title 用fft實現(xiàn)二維離散傅里葉變換 42 43 平移性 證明 1 頻域移位 44 結論 即如果需要將頻域的坐標原點從顯示屏起始點 0 0 移至顯示屏的中心點只要將f x y 乘以 1 x y因子再進行傅里葉變換即可實現(xiàn) 例題 利用 1 x y對單縫圖像f x y 進行調制 實現(xiàn)把頻譜坐標原點移至屏幕正中央的目標 當 45 解 完成本題的源程序為 在傅里葉變換之前 把函數(shù)乘以 1 x y 相當于把頻譜 坐標原點移至屏幕窗口正中央 f 512 512 0 f mat2gray f Y X meshgrid 1 512 1 512 f 246 266 230 276 1 g f 1 X Y subplot 221 imshow f title 原圖像f x y subplot 222 imshow g title 空域調制圖像g x y f x y 1 x y F fft2 f subplot 223 imshow log 1 abs F title f x y 的傅里葉頻譜 G fft2 g subplot 224 imshow log 1 abs G title g x y 的傅里葉頻譜 46 47 a 在 0N 1 周期中有兩個背靠背半周期 b 同一區(qū)間內(nèi)有一個完整的周期 這就意味著 坐標原點移到了頻譜圖像的中間位置 這一點十分重要 尤其是對以后的圖像顯示和濾波處理 48 例題 利用 1 x對f x 曲線進行調制 達到平移頻域坐標原點至屏幕正中央的目的 以一維情況為例 說明空域調制對應著頻域坐標原點移位 f 1 512 0 f 251 260 1 產(chǎn)生寬度為10的窗口函數(shù)subplot 221 plot f title 寬度為10的窗口函數(shù) F fft f 512 進行快速傅里葉變換 延拓周期周期為512subplot 222 plot abs F 繪幅度頻譜 頻譜坐標原點在左邊界處 title 幅度譜 頻譜坐標原點在左邊界處 x 251 260 f 251 260 1 x 把曲線f x 乘以 1 x 可以把頻譜 坐標原點移至屏幕正中央subplot 223 plot f title 寬度為10的調制窗口函數(shù) 49 F fft f 512 進行快速傅里葉變換subplot 224 plot abs F 直接顯示幅度頻譜 頻譜坐標原點在正中央 title 幅度譜 頻譜坐標原點在中央 figuref 1 512 0 f 251 270 1 產(chǎn)生寬度為20的窗口函數(shù)subplot 221 plot f title 寬度為20的窗口函數(shù) F fft f 512 進行快速傅里葉變換 延拓周期周期為512subplot 222 plot abs F 繪幅度頻譜 頻譜坐標原點在左邊界處 title 幅度譜 頻譜坐標原點在左邊界處 x 251 270 f 251 270 1 x 把曲線f x 乘以 1 x 可以把頻譜坐標原點移至屏幕正中央subplot 223 plot f title 寬度為20的調制窗口函數(shù) F fft f 512 進行快速傅里葉變換subplot 224 plot abs F 直接顯示幅度頻譜 頻譜坐標原點在正中央 title 幅度譜 頻譜坐標原點在中央 50 51 52 2 空域移位 53 周期性和共軛對稱性 周期性 共軛對稱性 54 證明 1 周期性 2 共軛對稱性 55 旋轉不變性 56 注 為看清問題的實質 簡化旋轉不變性的證明 以上用二維連續(xù)傅里葉變換進行證明 實際上 由連續(xù)積分公式進行離散化處理 即可得到離散公式 證明可參照連續(xù)情況進行 57 f zeros 512 512 f 246 266 230 276 1 subplot 221 imshow f title 原圖 F fftshift fft2 f subplot 222 imshow log 1 abs F title 原圖的頻譜 f imrotate f 45 bilinear crop subplot 223 imshow f title 旋轉45 0圖 Fc fftshift fft2 f subplot 224 imshow log 1 abs Fc title 旋轉圖的頻譜 58 59 離散卷積定理 例1 求以下兩個函數(shù)的卷積 1 連續(xù)卷積 60 61 62 2 離散卷積定理 離散卷積定義 空間濾波輸出 結論 空間域進行濾波的過程就是 卷積 的過程 63 證明 1 空域卷積和 64 2 頻域卷積和 65 離散的卷積原理基本上是和連續(xù)卷積相同 其差別僅僅是在與抽樣間隔對應的離散增增量處發(fā)生位移 用求和代替微分 由于離散傅里葉變換和它的逆傅里葉變換都是周期函數(shù) 那么離散卷積定理應該和這個周期聯(lián)系起來 就是讓在計算卷積時讓這兩個離散函數(shù)具有同樣的周期 否則將產(chǎn)生錯誤 注意 利用FFT計算卷積時 為防止頻譜混疊誤差 需對離散的二維函數(shù)補零 即周期延拓 對兩個函數(shù)同時添加零 使它們具有相同的周期 66 67 0 200 400 2 800 周期延拓 68 周期延拓 的大小為 的大小為 69 空間域濾波和頻域濾波的關系 空間域和頻域的濾波器構成傅里葉變換對 70 相關定理 71 證明 72