高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第4節(jié)　基本不等式

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1、 第4節(jié)　基本不等式 課時訓(xùn)練 練題感 提知能 【選題明細(xì)表】 知識點、方法 題號 利用基本不等式比較大小、證明 1、3、12 基本不等式求最值 4、5、6、7、8、11、13 基本不等式的實際應(yīng)用 10、14、16 基本不等式與其它知識的綜合 2、9、15 A組 一、選擇題 1.(高考福建卷)下列不等式一定成立的是(　C　) (A)lgx2+14>lg x(x>0) (B)sin x+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z) (C)x2+1≥2|x|(x∈R) (D)1x2+1>1(

2、x∈R) 解析:對選項A,當(dāng)x>0時,x2+14-x=x-122≥0, ∴l(xiāng)gx2+14≥lg x; 對選項B,當(dāng)sin x<0時顯然不成立; 對選項C,x2+1=|x|2+1≥2|x|,一定成立; 對選項D,∵x2+1≥1, ∴0<1x2+1≤1.故選C. 2.(20xx安徽省示范高中高三模擬)“1<a<2”是“對任意的正數(shù)x,2x+ax≥2”的(　A　) (A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件 解析:2x+ax≥22a≥2?a≥12.故選A. 3.(20xx重慶市部分重點中學(xué)高三

3、聯(lián)考)已知p=a+1a-2(a>2),q= （12） x2-2(x∈R),則p,q的大小關(guān)系為(　A　) (A)p≥q (B)p>q (C)p<q (D)p≤q 解析:p=a+1a-2=(a-2)+1a-2+2≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=3時,取得等號;而由于x2-2≥-2,故q=（12） x2-2≤（12）-2=4,故p≥q.故選A. 4.(高考浙江卷)若正數(shù)x、y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是(　C　) (A)245 (B)285 (C)5 (D)6 解析:由x+3y=5xy,得3x+1y=5(x>0,y>0),

4、則3x+4y=15(3x+4y)3x+1y =1513+12yx+3xy ≥1513+212yx·3xy =15(13+12)=5. 當(dāng)且僅當(dāng)12yx=3xy, 即x=2y時,等號成立, 此時由x=2y,x+3y=5xy, 解得x=1,y=12.故選C. 5.(20xx湖北省黃岡中學(xué)高三二模)設(shè)x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=2,a2+b=4,則2x+1y的最大值為(　B　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由題意得:1x=log2a,1y=log2b, 2x+1y=2log2a+log2b=log2(a2b)≤log2（a2

5、+b2）2=2,當(dāng)且僅當(dāng)b=a2時等號成立,故選B. 6.(20xx山東師大附中高三三模)設(shè)a>0,b>0.若3是3a與3b的等比中項,則1a+1b的最小值是(　C　) (A)2 (B)14 (C)4 (D)8 解析:由題意知3a×3b=(3)2,即3a+b=3, 所以a+b=1. 所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2ba×ab =4, 當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab,即a=b=12時,取等號,所以最小值為4.故選C. 7.(20xx深圳一調(diào))已知x>0,y>0,且4xy-x-2y=4,則xy的最小值為(　D　) (A)2

6、2 (B)22 (C)2 (D)2 解析:依題意得4xy=x+2y+4≥22xy+4, 即2(xy)2-2·xy-2≥0,(2xy+2)(xy-2)≥0;又2xy+2>0, 因此xy-2≥0,即xy≥2, 當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號,因此xy的最小值是2,故選D. 二、填空題 8.(20xx湖北黃州模擬)已知各項為正的等比數(shù)列{an}中,a4與a14的等比中項為22,則2a7+a11的最小值為　　　　.  解析:由已知a4a14=(22)2=8. 再由等比數(shù)列的性質(zhì)有a4a14=a7a11=8. 又∵a7>0,a11>0. ∴2a7+a1

7、1≥22a7a11=8. 當(dāng)且僅當(dāng)2a7=a11時等號成立. 答案:8 9.已知直線ax-2by=2(a>0,b>0)過圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心,ab的最大值為　　　　.  解析:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=4, 所以圓心為(2,-1), 因為直線過圓心, 所以2a+2b=2,即a+b=1. 所以ab≤（a+b2）2=14,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時取等號, 所以ab的最大值為14. 答案:14 10.(20xx北京朝陽質(zhì)檢)某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場分析,每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機(jī)器運轉(zhuǎn)時間

8、x(單位:年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(x∈N*),則當(dāng)每臺機(jī)器運轉(zhuǎn)　　　　年時,年平均利潤最大,最大值是　　　　萬元.  解析:每臺機(jī)器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為yx=18-(x+25x),而x>0,故yx≤18-225=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時等號成立,此時年平均利潤最大,最大值為8萬元. 答案:5　8 11.(20xx山師大附中高三第四次模擬)已知向量a=(x,-2),b=(y,1),其中x,y都是正實數(shù),若a⊥b,則t=x+2y的最小值是　　　　.  解析:因為a⊥b, 所以a·b=(x,-2)·(y,1)=0, 即xy=2.

9、 又t=x+2y≥22xy=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2時,等號成立, 所以t=x+2y的最小值是4. 答案:4 三、解答題 12.已知函數(shù)f(x)=lg x,若x1,x2>0,判斷12[f(x1)+f(x2)]與fx1+x22的大小,并加以證明. 解:12[f(x1)+f(x2)]≤fx1+x22. 證明如下: ∵f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2), fx1+x22=lg x1+x22, 且x1,x2>0,x1x2≤x1+x222, ∴l(xiāng)g(x1x2)≤lgx1+x222, ∴12lg(x1x2)≤lg x1+x22, 即12(l

10、g x1+lg x2)≤lg x1+x22. ∴12[f(x1)+f(x2)]≤fx1+x22, 當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時,等號成立. 13.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求 (1)xy的最小值; (2)x+y的最小值. 解:(1)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1, 又x>0,y>0, 則1=8x+2y≥28x·2y=8xy, 得xy≥64, 當(dāng)且僅當(dāng)x=16,y=4時,等號成立. 所以xy的最小值為64. (2)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1, 則x+y=（8x+2y）·(x+y) =10+2

11、xy+8yx ≥10+22xy·8yx =18. 當(dāng)且僅當(dāng)x=12且y=6時等號成立, ∴x+y的最小值為18. B組 14.(20xx廣州市畢業(yè)班綜合測試(二))某輛汽車購買時的費用是15萬元,每年使用的保險費、路橋費、汽油費等約為1.5萬元.年維修保養(yǎng)費用第一年3000元,以后逐年遞增3000元,則這輛汽車報廢的最佳年限(即使用多少年的年平均費用最少)是(　B　) (A)8年 (B)10年 (C)12年 (D)15年 解析:當(dāng)這輛汽車使用n年時,相應(yīng)的年平均費用為15+1.5n+0.3n+n(n-1)2×0.3n=12（30n+0.3n+3.3）≥12&

12、#215;（230n×0.3n+3.3）,當(dāng)且僅當(dāng)30n=0.3n,即n=10時取等號,因此這輛汽車使用10年時,相應(yīng)的年平均費用最少,故選B. 15(20xx河北省普通高中高三質(zhì)檢)已知M是△ABC內(nèi)的一點(不含邊界),且AB→·AC→=23,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA和△MAB的面積分別為x,y,z,則1x+y+4z的最小值是　　　　.  解析:可得AB→·AC→=|AB→|·|AC→|cos ∠BAC=23, 則|AB→|·|AC→|=4, ∴△ABC的面積為12|AB→|·|AC→|si

13、n ∠BAC=1, 則x+y+z=1, ∴1x+y+4z=x+y+zx+y+4(x+y+z)z=5+zx+y+ 4(x+y)z≥5+2zx+y·4(x+y)z=9, 當(dāng)且僅當(dāng)z=2(x+y)=23時,等號成立. 答案:9 16.某商店預(yù)備在一個月內(nèi)分批購入每張價值為20元的書桌共36張,每批都購入x張(x是正整數(shù)),且每批均需付運費4元,儲存購入的書桌一個月所付的保管費與每批購入書桌的總價值(不含運費)成正比,若每批購入4張,則該月需用去運費和保管費共52元,現(xiàn)在全月只有48元資金可以用于支付運費和保管費. (1)求該月需用去的運費和保管費的總費用f(x); (2)能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗M(jìn)貨的數(shù)量,使資金夠用?寫出你的結(jié)論,并說明理由. 解:(1)設(shè)題中比例系數(shù)為k,若每批購入x張書桌, 則共需分36x批,每批價值為20x元, 由題意得f(x)=36x·4+k·20x. 由x=4時,f(x)=52, 得k=1680=15. ∴f(x)=144x+4x(0<x≤36,x∈N*). (2)由(1)知f(x)=144x+4x(0<x≤36,x∈N*), ∴f(x)≥2144x×4x=48(元). 當(dāng)且僅當(dāng)144x=4x,即x=6時,上式等號成立. 故只需每批購入6張書桌,可以使資金夠用.