數值計算課程設計-擬合方法與擬合函數的選取(共14頁)

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1、精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上 題目：擬合方法與擬合函數的選取 班級： 數101班 數102班 數101班 指導教師： 譚高山 提交日期：2013年5月 13日 專心---專注---專業(yè) 目錄 一、擬合問題的提出……………………………………………….1 二、擬合準則……………………………………………………….1 三、擬

2、合函數的選取..…………………………………………….1 四、函數擬合實.………………………………………………….2 4.1 多項式擬合……………………………………………………2 4.2 指數與復合函數擬合.....………………………………………4 4.3 分段擬合………………………………………………………7 五、總結…………………………………………………………..12 六、參考文獻……………………………………………….…….12 一、 擬合問題的提出 在很多科學實驗中，我們通過測量或觀察等方法獲得一組看上去雜亂無

3、章的數據，為了找出這些數據之間的某種規(guī)律和聯(lián)系，即尋找一個較簡單的函數曲線，使之在一定準則下最接近這些數據點，以便突顯各數據點的先后變化趨勢，由此便產生了曲線擬合的概念。 曲線擬合在實際中有著很廣泛的實用價值。因為我們所獲取的實驗數據本身往往帶有測量誤差，難免會出現個別數據誤差過大的現象。相比于插值法，曲線擬合時，不要求曲線嚴格地經過每一個數據點，這樣就能有效降低個別數據對整體數據規(guī)律的干擾作用；另外，實驗數據往往很多，插值法會比較繁雜，擬合方法則更實際更高效。 2、 擬合準則 在曲線擬合中，有幾種不同的誤差準則： 1.最大誤差: 2.

4、 平均誤差 3. 均方根誤差 4. 誤差平方和 通過求誤差的最小值，可得該準則下的最佳擬合曲線。由于誤差平方和容易進行最小化計算，故而我們通常采用該標準，稱之為最小二乘準則。以下課程實驗都是在最小二乘準則下實現的。 三、擬合函數的選取 曲線擬合時，首要也最關鍵的一步就是選取恰當的擬合函數。對于一組給定的數據，我們可以先做出其散點圖，判斷應該采用什么樣的曲線來作擬合，然后在直觀判斷的基礎上，選取多組曲線分別作擬合，然后比較，看哪條曲線的最小二乘指標最小，也即擬合的最好。 一般來說，選取多項式作為擬合曲線，是簡單且常用的。MATLAB中有現成的多項式擬合程序，調

5、用格式為f=polyfit(x,y,n)，其中輸入參數x，y為要擬合的數據，n為擬合多項式的系數，輸出參數f為擬合多項式的系數向量。 對于稍微復雜一點的擬合曲線，我們可以先通過線性變換將之轉換成簡單的線性函數，接著再用多項式擬合的命令f=polyfit(x,y,n)來實現函數的擬合。下面表格列舉兩個線性變換的例子： 原函數y 化為線性函數Y=AX+B型 變量與常量的變化 4、 函數擬合實例 4.1多項式擬合 例1.給定一組數據點 如下表： -1.5 -0.7 0 0.5 1.9 2.2

6、 2.9 3.8 4.2 7.52 3.98 2.99 3.57 10.18 12.73 19.81 31.90 38.24 首先，我們在MATLAB中輸入程序 >> x=[-1.5 -0.7 0 0.5 1.9 2.2 2.9 3.8 4.2];y=[7.52 3.98 2.99 3.57 10.18 12.73 19.81 31.90 38.24]; plot(x,y,'b*'),xlabel('x'),ylabel('y') title('表中數據點（xi，yi）的散點圖'

7、;) 運行后得表中數據的散點圖如下(圖中*表示數據點的坐標）: 因為數據散點圖的變化趨勢與二次多項式很接近，所以可選用二次多項式作為擬合曲線，設f(x)=ax^2+bx+c。編程: >> x=[-1.5 -0.7 0 0.5 1.9 2.2 2.9 3.8 4.2];y=[7.52 3.98 2.99 3.57 10.18 12.73 19.81 31.90 38.24]; f=polyfit(x,y,2);a=f(1),b=f(2),c=f(3) X=-1.5:0.01:4.2;Y=polyval(f,X);f=polyval(f,x); fy=abs(f

8、-y);E=sum((fy.^2)) plot(x,y,'r*',X,Y,'b-'),xlabel('x'),ylabel('y') title('擬合直線與數據點結合圖') 運行后得： a = 1.9974; b =0.0021; c = 3.0188; E = 0.0097 生成如下圖形： 即擬合多項式為：f=1.9974x^2+0.0021x+3.0188; 誤差很小，只有0.0097. 4.2 指數與復合函數擬合 例2.給出實驗數據點如下表： xi 2.7 0

9、.1 2.3 1.6 0.7 1.4 0.3 yi 2.64 11.04 3.21 4.03 7.10 4.58 9.37 在MATLAB中輸入程序: >> x=[2.7 0.1 2.3 1.6 0.7 1.4 0.3];y=[2.64 11.04 3.21 4.03 7.10 4.58 9.37]; >> plot(x,y,'b*'),axis([0,3,0,12]) 得散點圖： 據圖，我們取兩種擬合函數分別為 和 ： （1） 設 ，在MATLAB中輸入程序

10、>> x=[2.7 0.1 2.3 1.6 0.7 1.4 0.3];y=[2.64 11.04 3.21 4.03 7.10 4.58 9.37]; Y=log(y);f=polyfit(x,Y,1);A=f(2);B=f(1);a=exp(A),b=-B X=0:0.01:3;Y=a*exp(-b.*X);f=a*exp(-b.*x); plot(x,y,'r*',X,Y,'b-'),xlabel('x'),ylabel('y') legend('數據點 (xi,yi)','擬合曲線

11、Y=f(x)') title('數據點(xi,yi)和擬合曲線Y=f(x)的圖形') fy=abs(f-y);E1=sum((fy.^2)) 得： a =10.7441; b =0.5460; E1 = 1.3072. （2） 設 ，在MATLAB中輸入程序 x=[2.7 0.1 2.3 1.6 0.7 1.4 0.3];y=[2.64 11.04 3.21 4.03 7.10 4.58 9.37]; Y=1./y;f=polyfit(x,Y,1);a=f(1),b=f(2) X=0:

12、0.01:3;Y=1./(a.*X+b);f=1./(a.*x+b); plot(x,y,'r*',X,Y,'b-'),xlabel('x'),ylabel('y') Legend('數據點（xi,yi)','擬合曲線Y=f(x)') Title('數據點(xi,yi)和擬合曲線Y=f(x)的圖形') Fy=abs(f-y);E2=sum((fy.^2)) 得： a =0.1089; b =0.0720; E2 =0.0097. 因為E1〉E2，顯然第二種

13、擬合曲線的誤差較小，擬合效果更佳。 4.3 分段擬合 實際中的很多科學實驗數據，其擬合函數都比較稍顯復雜，下面我們來列舉一例。 例3. 革螨在不同濃度的甲酚皂液的平均致死時間如下表顯示： X甲酚皂液的濃度（%） Y革螨的平均死亡時間（min） 0.100 50.4 0.150 41.2 0.175 33.6 0.200 19.0 0.300 11.6 0.400 10.6 0.500 8.4 0.600 6.8 0.700 6.2 1.000 4.8 5.000 2.2 10.000 1.2 用MATLAB作散點圖：

14、 分析上圖可知，曲線的兩端都含有漸近線，故全段擬合曲線中一定含有指數項。 >> x=[0.100 0.150 0.175 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 1.000 5.000 10.000]; y=[50.4 41.2 33.6 19.0 11.6 10.6 8.4 6.8 6.2 4.8 2.2 1.2]; Y=log(y);f=polyfit(x,Y,1);A=f(2);B=f(1);a=exp(A),b=-B X=0:0.01:10;Y=a*exp(-b.*X);f=a*exp(-b.*x); plot(x,y,

15、9;r*',X,Y,'b-'),xlabel('x'),ylabel('y') legend('數據點 (xi,yi)','擬合曲線Y=f(x)') title('數據點(xi,yi)和擬合曲線Y=f(x)的圖形') fy=abs(f-y);E1=sum((fy.^2)) 得:a =15.6609; b =0.2978; E1 =2.4705e+003 即擬合函數為： 顯然，擬合效果不佳。進一步分析可以看出，前9個點有一條漸近線，而后

16、3個點有一條漸近線。可將要擬合的曲線分為二段，前9個點為前段，后3個點為后段。我們可以分別對前9個點和后3個點進行直線化。以x為橫坐標，lny 為縱坐標，做散點圖plot(x,log(y),'b*')得 可以看出后三個點明顯呈直線趨勢，我們先對后三個點進行直線化。擬合的方法和前面相同，在MATLAB中輸入 x=[1.000 5.000 10.000]; y=[ 4.8 2.2 1.2]; Y=log(y);f=polyfit(x,Y,1);A=f(2);B=f(1);a=exp(A),b=-B 得：a =5.2635；b =0.1527；即

17、 從圖3發(fā)現前9個點仍呈曲線趨勢，需要進一步線性化。具體步驟如下：利用(4)求得前9個點處的函數值y’，再把實際數據中的前9個值減去y’。即得y”=y-y’，然后取其對數值ln(y”)，用MATLAB作出這些點圖象，在MATLAB下不需要一個個去求，只要在命令窗口輸入如下命令： >> x=[0.100 0.150 0.175 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700]; y=[50.4 41.2 33.6 19.0 11.6 10.6 8.4 6.8 6.2]; plot(x,log(y-(5.2635.*exp(-0.1527*x))

18、,'b*') 得： 可以發(fā)現這9個點成一定的曲線趨勢，利用x和 y的值可建立起直線回歸方程。只要在MATLAB下用同樣的方法再次求指數擬合 >> x=[0.100 0.150 0.175 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700]; y=[50.4 41.2 33.6 19.0 11.6 10.6 8.4 6.8 6.2]; Y=log(y-(5.2635.*exp(-0.1527.*x)));f=polyfit(x,Y,1);A=f(2);B=f(1);a=exp(A),b=-B 得a = 62.55659；b = 5

19、.7270；即 由于前段各點在后段直線的上方，故最終的擬合函數應為y=（4）+（5）， 即 在MATLAB中做出散點和擬合曲線 >> x=[0.100 0.150 0.175 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 1.000 5.000 10.000]; y=[50.4 41.2 33.6 19.0 11.6 10.6 8.4 6.8 6.2 4.8 2.2 1.2]; X=0:0.01:10;Y=5.2635.*exp(-0.1527.*X)+62.55659.*exp(-5.7270.*X); 得下圖： 顯然，所求擬合函數令人滿意。 五、總結 函數擬合是一種實用性很強的數學方法，例如，可以用來尋求血藥濃度變化規(guī)律，用來測定彈簧彈力與伸長量之間的關系等等，總之它涉及生活學習的方方面面。另外，在實例分析中，我們通常都能先根據邏輯方法確定數據之間遵循的函數類型，所以很多時候只需確定一種擬合函數即可。值得注意的是，要學會通過不同途徑去盡量減少函數擬合的誤差。 六、參考文獻 1.《數值分析》第七版，Richard L.Burden，J.Douglas Faires，高等教育出版社。 2.《數值分析及其MATLAB實現》，任玉杰著，高等教育出版社。