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1、數(shù)學(xué)課程標準明確提出要“加強口算、重視估算”,并且對估算的要求提出了明確的落實點,僅在第一、二學(xué)段中,有關(guān)估算的目標就有6條。估算從原來大綱中作為“選學(xué)內(nèi)容”發(fā)展到現(xiàn)在課程標準中重要的必學(xué)內(nèi)容,其意義已得到重視。
一、估算與問題解決相結(jié)合,感悟估算的意義
培養(yǎng)學(xué)生估算能力的主要目的是讓學(xué)生用于解決生活中的一些問題。單純地用算式進行一種機械訓(xùn)練,難以提高學(xué)生的估算能力。
(一)結(jié)合具體情境,選擇計算策略
在教學(xué)估算時,要把它置于問題解決的大背景下,讓學(xué)生分析問題,選擇合適的策略解決問題。在問題解決過程中,自覺地把計算和實際問題情境聯(lián)系起來。理解為什么要計算,什么時候要用到估算,將估算作為
2、解題的一個組成部分。筆者借下圖來闡明觀點。
比如,在教學(xué)加法估算時,可以設(shè)計這樣的情境:
聰聰一家去吃飯,點菜的菜單如下:蔥油鳊魚18元;青菜粉絲煲9元;千張肉絲12元;鹽水河蝦28元。大約需要多少錢?
對于以上情境,學(xué)生有一定的生活經(jīng)驗,也理解只需要大致算一下要多少錢,何況情境中有4個數(shù)量,學(xué)生不能很快得到精算的結(jié)果,就會運用估算策略。
值得注意的是,在第一學(xué)段教學(xué)估算,還要結(jié)合具體情境理解“大約、大概、差不多”等詞語的意思,這有助于學(xué)生選擇合適的計算策略。例如理解“大約”,有這樣的教學(xué)片段:
師:明明家到學(xué)校大約是50米,“大約50米”是什么意思?
生:接近50米,可以
3、超過一點,也可以不到50米。
師:可能是多少米呢?
生:48、49、50、51、52、53等等。
師:可能是70米嗎?
生:不能是70米,相差太多了。
(二)提供信息數(shù)據(jù)的不確定性,使學(xué)生體會估算思想
在初次教學(xué)估算時,可以設(shè)計一個或幾個不確定的量,使得學(xué)生無法進行精算,從而體會估算的思想。例如教學(xué)“100以內(nèi)加、減法的估算”可以這樣創(chuàng)設(shè)問題情境:
聰聰過生日想買下面兩件生日禮物,
在這個情境中,遙控汽車價簽上的個位數(shù)字看不清了,學(xué)生不能順利計算,于是試圖思考另外的策略。果然,陸續(xù)有學(xué)生的思維轉(zhuǎn)向估算:汽車的價格是30多元,就算把它看成40元,40+58=98(元)
4、,媽媽給的100元也夠了。
二、倡導(dǎo)估算方法多樣化,形成估算技能
(一)掌握估算的一般策略
雖然估算的方法靈活多樣,答案也并非唯一,但估算并非是無章可循,可以總結(jié)一般策略。第一是數(shù)據(jù)的簡化,簡化的目的是使數(shù)據(jù)計算變得較為容易。比如將192+201簡化為200+200;又如把3.98+3.88+3.97轉(zhuǎn)換為43。第二對所得出的結(jié)果進行調(diào)整,由于前面實行的“簡化”都會使結(jié)果變大或變小,因此要作出調(diào)整,使運算結(jié)果比較準確。在具體估算過程中,又有以下具體的估算方法。
1. 湊整估算。該方法在日常生活中是運用最廣泛的,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中基本的估算方法,即把數(shù)量看成比較接近的整數(shù)或整十整百整千數(shù)再計
5、算。
2. 依據(jù)生活經(jīng)驗估算。例如,一件工作,甲獨做4小時完成,乙獨做5小時完成,甲乙合做幾小時完成?根據(jù)經(jīng)驗可知,兩人合做需要的時間一定比一人獨做要少一些。如果有學(xué)生算出:4+5=9(時),說明一定是錯誤的。又如在計算合格率、成活率和出勤率等問題時,計算出的結(jié)果如超出100%也肯定是錯的。
3. 根據(jù)運算性質(zhì)估算。例如:715+265-282=798,根據(jù)“減去的數(shù)比加上的數(shù)大,其結(jié)果應(yīng)比原數(shù)小”,可判斷798是錯誤的。
4. 根據(jù)位數(shù)估算。例如:4 99224=28,除數(shù)是兩位數(shù)的除法,被除數(shù)前兩位49比除數(shù)24大,可以商2,說明商的最高位在百位上,應(yīng)該是一個三位數(shù),于是可判斷商“2
6、8”是錯的。
5. 根據(jù)尾數(shù)估算。例如:1 235-485-208=558,只需算一下個位:5-5=0,10-8=2,可以知道得數(shù)558是錯的。
(二)鼓勵估算方法多樣化,重視交流、解釋估算過程
由于學(xué)生對于相關(guān)數(shù)學(xué)知識和技能的掌握情況及思維方式、水平不同,在估算中方法會多種多樣。教師要積極鼓勵學(xué)生估算方法多樣化,應(yīng)讓學(xué)生充分交流,表達自己的想法,了解他人的算法,使學(xué)生體會到解決同一個問題可以有不同的方法,促進學(xué)生進行比較和優(yōu)化。
例如:“百以內(nèi)加、減法估算”。
聰聰和爸爸媽媽一起去參觀海洋館(用圖片呈現(xiàn)一家三口,聰聰是小朋友),售票處寫著:
方法一:把成人票看成4
7、0元,40+40=80(元)80+17=97(元),100元夠了。
方法二:把成人票看成30元,兒童票看成20元。30+30+20=80(元),100元夠了。
方法三:把成人票看成40元,兒童票看成20元。40+40+20=100(元),100元夠了。
方法四:把34元看成35元,35+35=70(元),70+17=87(元),100元夠了。
方法五:100元錢買兩張成人票后大約還剩30元,足夠買一張兒童票了。
方法一、二、三、四都是用“連加”的策略進行估算,但對具體的數(shù)據(jù)有不同的處理,方法二、三把三個數(shù)據(jù)都簡化;方法一只把其中一個數(shù)據(jù)簡化。并且還發(fā)現(xiàn)同一個數(shù)據(jù)可以看成不同的數(shù),如把
8、“34”可以看作30或35或40。方法五用的是先加后減再比的策略,先估出兩張成人票大約要70元,再口算100-70=30,最后比較30大于17,判斷100元錢夠了。
學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)氛圍中,各抒己見,暢所欲言,思想得到交流,思維得以碰撞,能力得以提高。
(三)采取有效合理的估算評價策略
在估算的評價中要注意三點,一是正確評價估算結(jié)果。在課堂中經(jīng)常會聽到“比一比誰估得最準”“同學(xué)最能干,估得結(jié)果最接近準確值”等類似的評價。這樣的引導(dǎo)評價只關(guān)注了估算結(jié)果的精確度。筆者認為估算結(jié)果是多樣的,不是離精確值越接近就越好,而要關(guān)注估算結(jié)果是否合情合理。二是重視估算方法的交流與評價。在估算教學(xué)中讓學(xué)生
9、交流估算方法尤其重要,只要切合估算的目的或解決問題的需要就是好方法。因此不同的情境會選擇不同的估算方法,有時把兩個或幾個數(shù)同時估大比較合理,如估計到飯店吃飯或購物需要多少錢。有時把兩個數(shù)同時估小也能解決問題,如判斷437+328的和是否大于700,只要把兩個數(shù)都忽略尾數(shù)為400+300即可判斷。三是對“四舍五入”法的思考。基于上面兩點認識,筆者有一個不成熟之見:“四舍五入”法不宜過早進入估算教學(xué)。在第一學(xué)段的估算教學(xué)中,不要嚴格遵循“四舍五入”法,而應(yīng)讓學(xué)生根據(jù)問題的需要,運用生活經(jīng)驗,靈活選擇估算方法。
三、將估算浸潤于整個教學(xué)過程,逐步內(nèi)化為算法策略
估算的重要地位從教材的編寫中可見一
10、斑,以往數(shù)學(xué)教材中估算內(nèi)容少、散,而且是選學(xué)內(nèi)容,在新教材中卻作為一個重要內(nèi)容進行編排。為此筆者專門對人教版實驗教材中關(guān)于估計內(nèi)容的編排作了簡單統(tǒng)計(見下表)。
但是,如果僅僅依賴教材中編排的估算內(nèi)容,還是不能很好地培養(yǎng)學(xué)生的估計意識并使之養(yǎng)成估算的習(xí)慣。估算習(xí)慣的養(yǎng)成,并非一蹴而就,而是需要教師長時間、有計劃、有步驟地滲透和訓(xùn)練的。
(一)把估算目標融入計算教學(xué)
在教學(xué)中教師要挖掘估算教學(xué)素材,把握教學(xué)契機,讓估算教學(xué)縱向貫穿每一個年段,橫向蘊涵于數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計和概率等內(nèi)容領(lǐng)域的具體教學(xué)中。長此以往學(xué)生就會從唯一的計算策略──精算中“走”出來,去靈活、合理地選擇
11、算法。筆者曾經(jīng)執(zhí)教過“兩位數(shù)加兩位數(shù)的筆算(進位)”,按照教材(人教版)編排,第一次正式的估算教學(xué)應(yīng)在加、減法筆算的后面,但筆者認為還是需要把“培養(yǎng)學(xué)生的估算意識”作為一個教學(xué)目標。具體的教學(xué)過程如下。
(一)創(chuàng)設(shè)情境,呈現(xiàn)計算背景
情境:二年級四個班小朋友去參觀自然博物館,學(xué)校只租到了兩輛車。怎么辦?(注:四個班學(xué)生人數(shù)分別是:二(1)班42人;二(2)班36人;二(3)班25人;二(4)班28人。)
學(xué)生很快提出方案:兩個班學(xué)生合乘一輛車。
(二)思考:哪兩個班合乘一輛車?
具體方法有:
(1)二(1)和二(2):42+36,二(3)和二(4):25+28。
(2)二(1)和
12、二(3):42+25,二(2)和二(4):36+28。
(3)二(2)和二(3):36+25,二(1)和二(4):42+28。
(此刻學(xué)生的注意力落在如何搭配上,忽視搭配結(jié)果的可行性。)
提問:這三種方法都可以嗎?
部分學(xué)生提出,因為“限乘70人”,第一種方法不可以。
教師讓學(xué)生闡述理由。
生:40人加30人是70人,42+36就一定超過了70人。(大家認同。)
師:能不能讓三個班的小朋友合乘一輛車?
生:把少的三個班人數(shù)相加是36+25+28,只算30+20+20就等于70,說明三個班人數(shù)也一定超過70人。
上面的案例是在探究筆算方法前,先鼓勵學(xué)生估算。通過課堂實踐,筆者認
13、為:這個教學(xué)契機有利于學(xué)生感受估算的必要性,因為大部分學(xué)生對兩位數(shù)加減兩位數(shù)的計算還不是很熟練,這樣就更傾向于選擇估算。因而筆者有一點建議:能否把估算教學(xué)編排在筆算教學(xué)前面,提前到一年級下冊教學(xué)?因為學(xué)生在一年級下冊就具備了兩位數(shù)加減兩位數(shù)的估算所需要的基礎(chǔ)知識:百以內(nèi)數(shù)的認識和整十?dāng)?shù)加減整十?dāng)?shù)。
(二)利用估算提高精算質(zhì)量,形成自我監(jiān)控的學(xué)習(xí)品質(zhì)
筆算、估算都是計算方法,如果在解決問題中能有機結(jié)合,無疑會提高解題的速度及正確率。這一點,德國的數(shù)學(xué)教學(xué)值得我們借鑒,德國教材給出的應(yīng)用題的解題步驟是:①仔細地讀題;②在重要詞后面的數(shù)下面畫線;③畫出草圖;④寫出解題計劃;⑤估算;⑥精確計算;⑦
14、比較估算和精確計算的結(jié)果;⑧再讀一遍題目的問題,做出答案。明確地把估算作為解決問題的一個步驟,突出估算在解決問題中的價值。其實在計算中也可以把估算和精算有機結(jié)合,促進精算的正確率。但其中必然要經(jīng)歷被動估算到自主估算的過程,教師在設(shè)計計算練習(xí)時,就要考慮讓學(xué)生在精算前運用估算對結(jié)果進行預(yù)測,計算后要求學(xué)生運用估算對結(jié)果進行驗證。例如,教師可以這樣設(shè)計練習(xí):
先估算,把結(jié)果填在( )里,再列豎式計算。
又如,在教學(xué)小數(shù)乘法時,可以這樣設(shè)計:
先確定乘積的范圍,再列豎式計算。
( )∽( )
10.91.9=
學(xué)生是這樣確定范圍的:(1)因數(shù)1.9是帶小數(shù),根據(jù)“一個數(shù)乘帶小
15、數(shù),積一定比這個數(shù)大”的規(guī)律,估算出積一定大于10.9;(2)因數(shù)比較接近哪個整數(shù),積就比較接近這兩個整數(shù)的乘積。該題因數(shù)10.9小于11,1.9小于2,積必定小于112=22。因此通過估算,10.91.9的乘積在10.9和22之間。
(三)精心設(shè)計估算練習(xí),讓學(xué)生自主選擇計算策略
計算能力應(yīng)具有正確、迅速、合理、靈活四個品質(zhì)。所謂合理就是策略簡捷可行,有理有據(jù);所謂靈活就是能自如地應(yīng)用多種方法或選擇一種方便的方法進行運算。因而能否把估算逐步內(nèi)化為算法策略,也是衡量計算能力的一個重要標志。
1. 練習(xí)要有選擇算法的空間。教師在設(shè)計計算練習(xí)時,需要有一些規(guī)定算法的練習(xí)以鞏固技能,諸如“估算
16、下面各題”“不計算,比較算式大小”等等。還需要設(shè)計一些讓學(xué)生自主選擇算法的練習(xí)。例如:走迷宮,規(guī)則是“朝得數(shù)大的方向走,看誰先走到終點”。(見上圖)在每一個路口,學(xué)生可以選擇筆算、估算、根據(jù)除數(shù)特點、簡便計算或運用計算器計算等方法,在比較中感受某種方法的優(yōu)越性,使學(xué)生形成估算意識和提高估算技能。
2. 設(shè)計相關(guān)的綜合實踐活動。綜合實踐活動有利于學(xué)生運用已有的知識經(jīng)驗,經(jīng)過自主探索和合作交流,解決與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的、具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性的問題,發(fā)展解決問題的能力。特別是估算在生活中的運用比較廣泛,更應(yīng)讓學(xué)生運用估算對日常生活中的一些事情進行預(yù)先估計、策劃,在實踐活動中提高估算水平。為此可以
17、設(shè)計如下活動:
(1)在你和家人到飯店吃飯時,參與核對菜名和相應(yīng)的價格,并估算總價,最后與服務(wù)臺提供的單子比較估算的精確度。建議寫成數(shù)學(xué)日記和同學(xué)交流。
(2)學(xué)校組織春游,參與設(shè)計消費方案。
(3)做“家庭財務(wù)總監(jiān)”,統(tǒng)計家庭一個月的收入與支出情況。
(4)估計家庭書架的圖書或?qū)W校圖書室藏書量。
(5)如果一位同學(xué)一天節(jié)約一粒米,全校同學(xué)一年大約可以節(jié)約多少米?
(6)估計某份報紙版面的字數(shù)。
(7)估計一支蠟燭可以燒多少時間?
估算能力往往表現(xiàn)出較強的直覺化、跳躍化與內(nèi)隱化特點,因而估算能力的培養(yǎng)并非輕松之事。除了以上教學(xué)策略,還要求學(xué)生有扎實的數(shù)學(xué)知識,有較好的心理基礎(chǔ)(擴大視覺廣度、建立整體運算的表象等等)。我們期望“基于估算的計算策略”能成為學(xué)生自覺而明智的一種選擇。