有限元法ppt課件

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工程有限單元法 1 課程介紹 一 課程內(nèi)容 1 有限元法理論基礎(chǔ) 2 有限元軟件ANSYS應(yīng)用 二 學(xué)習(xí)方法 理論與實踐相結(jié)合 即通過應(yīng)用有限元分析實際問題來掌握有限元理論 三 學(xué)時數(shù) 36學(xué)時 理論學(xué)時 上機學(xué)時 四 考核方式 平時成績 報告成績 工程有限單元法 2 第一章概述 1 1有限元法概述有限元法誕生于20世紀中葉 隨著計算機技術(shù)和計算方法的發(fā)展 已成為計算力學(xué)和計算工程科學(xué)領(lǐng)域里最為有效的方法 它幾乎適用于求解所有連續(xù)介質(zhì)和場的問題 工程有限單元法 3 一 什么是有限元法 有限元法是將連續(xù)體理想化為有限個單元集合而成 這些單元僅在有限個節(jié)點上相連接 即用有限個單元的集合來代替原來具有無限個自由度的連續(xù)體 工程有限單元法 4 有限元方法是分析連續(xù)體的一種很有效的近似計算方法 是計算機問世以后迅速發(fā)展起來的一種廣泛用于工程結(jié)構(gòu)建模與分析的方法 說明工程實際問題與計算方法息息相關(guān) 自然現(xiàn)象的背后都對應(yīng)有相關(guān)的物理本質(zhì)與事物規(guī)律 用數(shù)學(xué)方法對物理本質(zhì)與事物規(guī)律進行描述可以得到普適性定律和特定性定理 以及各種形式的 如代數(shù) 微分或積分 數(shù)學(xué)方程 即數(shù)學(xué)模型 工程有限單元法 5 對于一個實際的工程問題 建立數(shù)學(xué)模型時 不僅需要根據(jù)實際物理背景采用有效的數(shù)學(xué)方法 還要考慮求解的效率 結(jié)果的精度以及方法的適用性等因素 即分析方法 常用的分析方法有 1 對線性的 邊界規(guī)則的簡單問題 一般可以利用解析法 得到精確解 2 對于許多實際工程問題 由于研究系統(tǒng)的龐大 使得微分方程 邊界和初始條件的復(fù)雜性大大增加 一般難以得到它的精確解 對非線性的 邊界不規(guī)則等問題 一般不存在精確的解析解 只能利用數(shù)值法 如 有限差分法FDM 有限元方法FEM等 得到近似解 工程有限單元法 6 有限元方法的發(fā)展 首先 有限元方法在航空結(jié)構(gòu)分析中取得了明顯的成效1941年 Hrenikoff利用框架分析法 frameworkmethod 分析平面彈性體 將平面彈性體描述為桿和梁的組合體 1943年 Courant在采用三角形單元及最小勢能原理研究扭轉(zhuǎn)問題時 利用分片連續(xù)函數(shù)在子域中近似描述未知函數(shù)此后 有限元方法在固體力學(xué) 溫度場和溫升應(yīng)力 流體力學(xué) 流固耦合 水彈性 問題 均有發(fā)展 工程有限單元法 7 現(xiàn)如今 有限元法廣泛應(yīng)用于航空航天 汽車工業(yè) 橋梁 建筑 電子產(chǎn)品 重型機械 微機電系統(tǒng) 生物醫(yī)學(xué)等設(shè)計過程中的結(jié)構(gòu)與力學(xué)分析 實例1 EMA 火箭發(fā)動機 衛(wèi)星 雷達 工程有限單元法 8 實例2 汽車 工程機械 工程有限單元法 9 工程有限單元法 10 工程有限單元法 11 二 有限元法的基本思想 有限元法的基本思想是 分與合 分 是為了劃分單元 進行單元分析 合 則是為了集合單元 對整體結(jié)構(gòu)進行綜合分析 結(jié)構(gòu)離散 單元分析 整體求解 工程有限單元法 12 2 1有限元法的實現(xiàn)過程 工程有限單元法 13 1 對象離散化當研究對象為連續(xù)介質(zhì)問題時 首先需要將所研究的對象進行合理的離散化分割 即根據(jù)精度預(yù)期或經(jīng)驗將連續(xù)問題進行有限元分割 2 單元分析有限元方法的核心工作是單元分析 通過分析各單元的結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系和邊界條件 以便建立單元剛度矩陣 3 構(gòu)造總體方程將單元剛度矩陣組成總體方程剛度矩陣 且總體方程應(yīng)滿足相鄰單元在公共結(jié)點上的位移協(xié)調(diào)條件 即整個結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點載荷與結(jié)點位移之間應(yīng)存在相互的變量關(guān)系 工程有限單元法 14 4 解總體方程在求解有限元模型時 應(yīng)考慮總體剛度方程中引入的邊界條件 以便得到符合實際情況的唯一解 5 輸出結(jié)果有限元模型求解結(jié)束后 可通過數(shù)值解序列或由其構(gòu)成的圖形顯示研究對象的物理結(jié)構(gòu)變形情況以及各種物理量間的變化關(guān)系 如通過列表顯示各種數(shù)據(jù)信息 用等值線分布圖顯示等受力點 或動畫顯示各種量的變化過程 工程有限單元法 15 1 直接方法直接方法是指直接從結(jié)構(gòu)力學(xué)引伸得到 直接方法具有簡單 物理意義明確 易于理解等特點 2 變分方法變分方法是一種最常用的方法之一 主要用于線性問題的模型建立 3 加權(quán)殘值法對于線性自共軛形式方程 加權(quán)殘值法可得到和變分法相同的結(jié)果 如得到一個對稱的剛度矩陣 對于那些 能量泛函 不存在的問題 主要是一些非線性問題和依賴于時間的問題 加權(quán)殘值法是一種很有效的方法 2 2建立有限元方程的常用方法 工程有限單元法 16 通常 實際工程問題可分為線性問題和非線性問題 邊界規(guī)則與不規(guī)則問題 有限元法其實是非線性問題 如圖右所示 2 3有限元法與工程求解問題的關(guān)系 工程有限單元法 17 三 有限元法的基本步驟 無論對于什么樣的結(jié)構(gòu) 有限元分析過程都是類似的 其基本步驟為 1 研究分析結(jié)構(gòu)的特點 包括結(jié)構(gòu)形狀與邊界 載荷工況等 2 將連續(xù)體劃分成有限單元 形成計算模型 包括確定單元類型與邊界條件 材料特性等 工程有限單元法 18 3 以單元節(jié)點位移作為未知量 選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)來表示單元中的位移 再用位移函數(shù)求單元中的應(yīng)變 根據(jù)材料的物理關(guān)系 把單元中的應(yīng)力也用位移函數(shù)表示出來 最后將作用在單元上的載荷轉(zhuǎn)化成作用在單元上的等效節(jié)點力 建立單元等效節(jié)點力和節(jié)點位移的關(guān)系 這一過程就是單元特性分析 工程有限單元法 19 4 利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來 集合成整體的有限元方程 求解出節(jié)點位移 重點 對于不同的結(jié)構(gòu) 要采用不同的單元 但各種單元的分析方法又是一致的 工程有限單元法 20 四 有限元法的學(xué)習(xí)路線 從最簡單的平面結(jié)構(gòu)入手 由淺入深 介紹有限元理論及其相關(guān)應(yīng)用 工程有限單元法 21 五 有限元法的發(fā)展與應(yīng)用 有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析 還能解決歸結(jié)為場問題的工程問題 從二十世紀六十年代中期以來 有限元法得到了巨大的發(fā)展 為工程設(shè)計和優(yōu)化提供了有力的工具 工程有限單元法 22 一 算法與有限元軟件 從二十世紀60年代中期以來 進行了大量的理論研究 不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域 還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?理論研究的一個重要領(lǐng)域是計算方法的研究 主要有 大型線性方程組的解法 非線性問題的解法 工程有限單元法 23 目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表 另外還有許多針對某類問題的專用有限元軟件 例如金屬成形分析軟件Deform Autoform 焊接與熱處理分析軟件SysWeld等 工程有限單元法 24 二 應(yīng)用實例 有限元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域 固體力學(xué) 包括強度 穩(wěn)定性 震動和瞬態(tài)問題的分析 傳熱學(xué) 電磁場 流體力學(xué) 工程有限單元法 25 轉(zhuǎn)向機構(gòu)支架的強度分析 劉道勇 東風(fēng)汽車工程研究院動 用MSC Nastran完成 工程有限單元法 26 基于ANSYS的齒輪嚙合仿真 工程有限單元法 27 第2章彈性力學(xué)基本方程及平面問題的有限元法 工程有限單元法 28 2 1彈性力學(xué)簡介 本課程中的有限單元法理論要用到彈性力學(xué)的某些基本概念和基本方程 將簡單介紹這些概念和方程 作為彈性力學(xué)有限單元法的預(yù)備知識 工程有限單元法 29 彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué) 1 研究的內(nèi)容 基本上沒有什么區(qū)別 彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運動 以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形 2 研究的對象 有相同也有區(qū)別 材料力學(xué)基本上只研究桿 梁 柱 軸等桿狀構(gòu)件 即長度遠大于寬度和厚度的構(gòu)件 彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件 但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實體結(jié)構(gòu) 即兩個尺寸遠大于第三個尺寸 或三個尺寸相當?shù)臉?gòu)件 工程有限單元法 30 彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué) 3 研究的方法 有較大的區(qū)別 雖然都從靜力學(xué) 幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進行研究 但是在建立這三方面條件時 采用了不同的分析方法 材料力學(xué)是對構(gòu)件的整個截面來建立這些條件的 因而要常常引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè) 這樣雖然大大簡化了數(shù)學(xué)推演 但是得出的結(jié)果往往是近似的 而不是精確的 而彈性力學(xué)是對構(gòu)件的無限小單元體來建立這些條件的 因而無須引用那些假設(shè) 分析的方法比較嚴密 得出的結(jié)論也比較精確 所以 我們可以用彈性力學(xué)的解答來估計材料力學(xué)解答的精確程度 并確定它們的適用范圍 工程有限單元法 31 彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué) 例如 材料力學(xué)在研究有孔的拉伸構(gòu)件通常就假定拉應(yīng)力在凈截斷面均勻分布 工程有限單元法 32 彈性力學(xué) 區(qū)別與聯(lián)系 材料力學(xué) 總之 彈性力學(xué)與材料力學(xué)既有聯(lián)系又有區(qū)別 它們都同屬于固體力學(xué)領(lǐng)域 但彈性力學(xué)比材料力學(xué) 研究的對象更普遍 分析的方法更嚴密 研究的結(jié)果更精確 因而應(yīng)用的范圍更廣泛 但是 彈性力學(xué)也有其固有的弱點 由于研究對象的變形狀態(tài)較復(fù)雜 處理的方法又較嚴謹 因而解算問題時 往往需要冗長的數(shù)學(xué)運算 但為了簡化計算 便于數(shù)學(xué)處理 它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定 工程有限單元法 33 彈性力學(xué)基本方程 一 彈性力學(xué)中的幾個基本概念 1 體力 是分布于物體體積內(nèi)的外力 如重力 磁力 慣性力等 單位體積內(nèi)的體力亦可分解為三個成分 用記號X Y Z表示 2 面力 是分布于物體表面的力 如靜水壓力 一物體與另一物體之間的接觸壓力等 單位面積上的表面力通常分解為平行于座標軸的三個成分 用記號來表示 工程有限單元法 34 3 內(nèi)力 平均應(yīng)力和應(yīng)力 1 內(nèi)力 Internalforces 是物體本身不同部分之間相互作用的力 2 平均應(yīng)力 theaveragestress 設(shè)作用在包含P點某一個截面mn上的單元面積 elementaryarea A上的力為 F 則 F A稱為 A上的平均應(yīng)力 3 應(yīng)力 如果假設(shè)內(nèi)力分布連續(xù) 命 A無限減小并趨向P點 則 F A將趨向一個極限p 這個極限P就叫做物體在截面mn上 在P點的應(yīng)力 彈性體受外力以后 其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力 工程有限單元法 35 內(nèi)力 平均應(yīng)力和應(yīng)力的概念 工程有限單元法 36 4 正應(yīng)力和切應(yīng)力的概念正應(yīng)力 應(yīng)力在作用截面法線方向的分量 切應(yīng)力 應(yīng)力在作用截面切線方向的分量 正平行六面體應(yīng)力 從物體中取出一個微小的正平行六面體 它的棱邊分別平行于三個坐標軸 長度分別為dx dy dz 正平行六面體應(yīng)力如圖所示 工程有限單元法 37 1 應(yīng)力的表示正應(yīng)力用 表示 它的下標表示作用方向 如 x表示正應(yīng)力沿著x方向 剪應(yīng)力用 表示 它有兩個下標 例如 xy表示剪應(yīng)力作用在垂直x軸的平面上 但沿著y方向 2 應(yīng)力的符號如果一個截面的外法線沿著坐標軸的正方向 這個面就稱為正面 這個面上的應(yīng)力就以沿著坐標軸的正方向為正 沿著坐標軸的負方向為負 工程有限單元法 38 這個應(yīng)力符號的規(guī)定與材料力學(xué)的不同 在材料力學(xué)中 正應(yīng)力的符號為拉為正 壓為負 而剪應(yīng)力為正面向下的為正 負面向上為正 或用右手法則確定 右手姆指沿面的外法線時 其余四個手指反時針為正 順時針為負 材料力學(xué)中正的剪應(yīng)力 彈性力學(xué)中正的剪應(yīng)力 工程有限單元法 39 剪應(yīng)力互等定律作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的 大小相等 正負號也相同 因此剪應(yīng)力記號的兩個角碼可以對調(diào) 工程有限單元法 40 可以證明 如果這六個量在P點是已知的 就可以求得經(jīng)過該點的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力 因此 這六個量可以完全確定該點的應(yīng)力狀態(tài) 它們就稱為在該點的應(yīng)力分量 一般說來 彈性體內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)都不相同 因此 描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個應(yīng)力分量并不是常量 而是坐標x y z的函數(shù) 六個應(yīng)力分量的總體 可以用一個列矩陣來表示 工程有限單元法 41 5 形變和正應(yīng)變 剪應(yīng)變的概念 1 形變 形狀的改變 它包含長度和角度的改變 2 正應(yīng)變 各線段單位長度的伸縮 以伸長為正 縮短為負 3 剪應(yīng)變 各線段之間的直角的改變 6 位移是指位置的移動 它在x y和z軸上的投影用u v和w 來表示 它的符號是沿坐標軸正向為正 沿坐標軸負向為負 工程有限單元法 42 二 彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的基本假定 1 連續(xù)性 假定物體是連續(xù) 即整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿 不留任何空隙 這樣 物體內(nèi)的物理量 例如應(yīng)力形變和應(yīng)變 才可能是連續(xù)的 才可以用連續(xù)函數(shù)來表示 2 完全彈性 假定物體是完全彈性的 所謂彈性 是指物體在引起形變的外力被除去以后能恢復(fù)原形的性質(zhì) 而完全彈性是指物體能完全恢復(fù)原形而沒有任何剩余變形 3 均勻性 假定物體是均勻的 整個物體由同一材料組成 4 各向同性 假定物體是各向同性的 即物體的彈性性質(zhì)在所有各個方向都相同 符合以上四個假定的物體 稱為理想彈性體 工程有限單元法 43 5 小變形假定 假定物體的位移和形變是微小的 即物體的位移遠小于物體原來的尺寸 而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠小于1 因此 本課程所討論的問題 都是理想彈性體的小變形問題 工程有限單元法 44 三 彈性力學(xué)的研究方法 位移邊界條件 邊界條件 應(yīng)力邊界條件 工程有限單元法 45 彈性力學(xué)的基本變量 工程有限單元法 46 彈性力學(xué)的基本方程 平衡方程 由物體的受力平衡條件建立的方程 工程有限單元法 47 彈性力學(xué)的基本方程 幾何方程 由物體的受力變形后 各應(yīng)變分量和位移分量的關(guān)系建立的方程 工程有限單元法 48 彈性力學(xué)的基本方程 物理方程 由物體材料本身的物理特性建立的方程 其中E 彈性模量 泊松比 G 剪切彈性模量 且對各向同性材料 工程有限單元法 49 在限元法中 物理方程可表示為 工程有限單元法 50 彈性力學(xué)的基本方程 邊界條件 工程有限單元法 51 四 彈性力學(xué)問題的解法 空間彈性力學(xué)問題共有15個方程 3個平衡方程 6個幾何方程 6個物理方程 其中包括6個應(yīng)力分量 6個應(yīng)變分量 3個位移分量 共有15個未知函數(shù) 在給定邊界條件時 問題是可解的 彈性力學(xué)問題的提法是 給定作用在物理全部邊界或內(nèi)部的作用 求解物理由此產(chǎn)生的應(yīng)力場和位移場 工程有限單元法 52 按照三種不同的邊界條件 彈性力學(xué)問題可分為應(yīng)力邊界條件問題 位移邊界問題和混合邊界 由于有限元模型是對實際結(jié)構(gòu)的反映 對有限元模型施加合適的載荷條件和邊界條件 是正確求解有限元解的關(guān)鍵 工程有限單元法 53 根據(jù)先求出的基本未知量的不同 彈性力學(xué)問題有三種方法 1 應(yīng)力法 以應(yīng)力分量作為基本未知量 此時將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用應(yīng)力表示 求得應(yīng)力分量后 由物理方程求應(yīng)變分量 再由幾何方程求出位移分量 2 位移法 以位移分量作為基本未知量 此時將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換為用位移表示 求得位移分量后 用幾何方程求應(yīng)變分量 再由物理方程求應(yīng)力分量 目前 有限元法中多采用位移法的思想 3 混合法 采用各點的一部分位移分量和一部分應(yīng)力分量作為基本未知量 混合求解 工程有限單元法 54 五 虛功原理及虛功方程 圖1 8a示一平衡的杠桿 對C點寫力矩平衡方程 圖1 8b表示杠桿繞支點C轉(zhuǎn)動時的剛體位移圖 綜合可得 即 上式是以功的形式表述的 表明 圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時 功的總和必須等于零 這就叫做虛功原理 55 虛功原理 進一步分析 當杠桿處于平衡狀態(tài)時 和這兩個位移是不存在的 但是如果某種原因 例如人為地振一下讓它傾斜 一定滿足上式的關(guān)系 將這個客觀存在的關(guān)系抽象成一個普遍的原理 去指導(dǎo)分析和計算結(jié)構(gòu) 對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體 不用考慮它是否真正發(fā)生了位移 而假想它發(fā)生了位移 由于是假想 故稱為虛位移 那么 物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零 這就叫做虛位移原理 也稱虛功原理 在圖1 8a中的和所作的功就不是發(fā)生在它本身 狀態(tài)a 的位移上 因為它本身是平衡的 不存在位移 而是在狀態(tài) b 的位移上作的功 可見 這個位移對于狀態(tài) a 來說就是虛位移 亦即是狀態(tài) a 假象的位移 工程有限單元法 56 虛功原理 必須指出 虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的 它所涉及到的兩個方面 力和位移并不是隨意的 對于力來講 它必須是在位移過程中處于平衡的力系 對于位移來講 雖然是虛位移 但并不是可以任意發(fā)生的 它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移 還要注意 當位移是在某個約束條件下發(fā)生時 則在該約束力方向的位移應(yīng)為零 因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零 這時該約束力叫做被動力 如圖1 8中的反力 由于支點C沒有位移 故所作的虛功對于零 反之 如圖1 8中的和是在位移過程中作功的力 稱為主動力 因此 在平衡力系中應(yīng)當分清楚哪些是主動力 哪些是被動力 而在寫虛功方程時 只有主動力作虛功 而被動力是不作虛功的 工程有限單元法 57 虛功原理與虛功方程 虛功原理表述如下 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系 當發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時 體系上所有的主動力在位移上所作的總功 各力所作的功的代數(shù)和 恒對于零 虛功原理用公式表示為 這就是虛功方程 其中P和相應(yīng)的代表力和虛位移 工程有限單元法 58 虛功原理 用于彈性體的情況 虛功方程是按剛體的情況得出的 即假設(shè)圖1 8的杠桿是絕對剛性 沒有任何的變形 因而在方程中沒有內(nèi)功項出現(xiàn) 而只有外功項 將虛功原理用于彈性變形時 總功W要包括外力功 T 和內(nèi)力功 U 兩部分 即 W T U 內(nèi)力功 U 前面有一負號 是由于彈性體在變形過程中 內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的 所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反 所以內(nèi)力功取負值 根據(jù)虛功原理 總功等于零得 T U 0外力虛功T 內(nèi)力虛功U彈性力學(xué)中的虛功原理可表達為 在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體 如果發(fā)生了虛位移 那么所有的外力在虛位移上的虛功 外力功 等于整個彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功 內(nèi)力功 工程有限單元法 59 六 兩種平面問題 彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題 嚴格地說 任何一個彈性體都是空間物體 一般的外力都是空間力系 因而任何實際問題都是空間問題 都必須考慮所有的位移分量 應(yīng)變分量和應(yīng)力分量 但是 如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀 并且承受的是特殊外力 就有可能把空間問題簡化為近似的平面問題 只考慮部分的位移分量 應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可 平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題 工程有限單元法 60 平面應(yīng)力問題 厚度為t的很薄的均勻木板 只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力 同時 體力也平行于板面且不沿厚度變化 以薄板的中面為xy面 以垂直于中面的任一直線為Z軸 由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力 所以板面上各點均有 另外由于平板很薄 外力又不沿厚度變化 可認為在整個薄板內(nèi)各點均有 于是 在六個應(yīng)力分量中 只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個應(yīng)力分量 即 所以稱為平面應(yīng)力問題 工程有限單元法 61 平面應(yīng)力問題 應(yīng)力矩陣 1 2 可以簡化為 工程有限單元法 62 物理方程 1 10 中后兩式可見 這時的剪應(yīng)變 由物理方程 1 10 中的第三式可見 一般 并不一定等于零 但可由及求得 在分析問題時不必考慮 于是只需要考慮三個應(yīng)變分量即可 于是應(yīng)變矩陣 1 3 2 簡化為 工程有限單元法 63 平面應(yīng)力問題 物理方程 1 10 簡化為 轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式 工程有限單元法 64 平面應(yīng)力問題 將 1 21 式用矩陣方程表示 它仍然可以簡寫為 彈性矩陣 D 則簡化為 工程有限單元法 65 平面應(yīng)力問題 只有三個應(yīng)變分量需要考慮 所以幾何方程 1 3 簡化為 工程有限單元法 66 平面應(yīng)力問題 彈性體的虛功方程 1 17 簡化為 工程有限單元法 67 平面應(yīng)變問題 一縱向 即Z向 很長 且沿橫截面不變的物體 受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力和體力 如圖1 11所示 由于物體的縱向很長 在力學(xué)上可近似地作為無限長考慮 截面尺寸與外力又不沿長度變化 當以任一橫截面為xy面 任一縱線為Z軸時 則所有一切應(yīng)力分量 應(yīng)變分量和位移分量都不沿Z方向變化 它們都只是x和y的函數(shù) 此外 在這一情況下 由于對稱 任一橫截面都可以看作對稱面 所有各點都只會有x和y方向的位移而不會有Z方向的位移 即w 0因此 這種問題稱為平面位移問題 但習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變問題 工程有限單元法 68 平面應(yīng)變問題 既然w 0 而且u及v又只是x和y的函數(shù) 由幾何方程 1 3 1 可見 于是只剩下三個應(yīng)變分量 幾何方程仍然簡化為方程 1 24 工程有限單元法 69 平面應(yīng)變問題 因為由物理方程 1 11 中后兩式可見又由物理方程 1 11 中的第三式可見 在平面應(yīng)變問題中 雖然 但一般并不等于零 不過它可以由及求得 在分析問題時不必考慮 于是也就只有三個應(yīng)力分量需要考慮 工程有限單元法 70 平面應(yīng)變問題 物理方程 1 11 簡化為 工程有限單元法 71 平面應(yīng)變問題 將 1 25 式用矩陣方程表示 它仍然可以簡寫為 彈性矩陣 D 則為 工程有限單元法 72 平面應(yīng)變問題 平面應(yīng)變問題 由于在Z方向沒有外力 應(yīng)力和應(yīng)變也不沿Z方向變化 所以虛功方程 1 25 仍然適用 其中的t可以取為任意數(shù)值 但必須是這個t范圍內(nèi)的外力 需要說明一下 工程中有許多問題很接近于平面應(yīng)變問題 如受內(nèi)壓力的圓管 滾柱軸承中的滾柱等等 但它們的沿Z向長度都不是無限長的 故在靠近兩端的部分 其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)比較復(fù)雜 并不符合平面應(yīng)變問題的條件 因此將這類問題當作平面應(yīng)變問題來考慮時 對于離開兩端有一定距離的地方 得出的結(jié)果還是相當滿意的 但對靠近兩端的部位 卻有較大的出入 往往需要加以處理 工程有限單元法 73 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題 對于兩種平面問題 幾何方程都是 1 24 虛功方程都是 1 25 物理方程都是 工程有限單元法 74 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題 對于平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣 應(yīng)該采用 1 23 式 而對于平面應(yīng)變則采用 1 28 式 還可注意 在 1 23 式中 若將E改換為 將改換為 就得出公式 1 28 工程有限單元法 75 平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題 在兩種平面問題中 如果 則和1 3中 1 4 式相似 由幾何方程的積分得出 其中及分別代表彈性體沿x及y方向的剛體移動 而代表彈性體繞Z軸的剛體轉(zhuǎn)動 工程有限單元法 76 2 2平面問題的有限元法 工程有限單元法 77 有限單元法的基本思路 1 把物體分成有限大小的單元 單元間用節(jié)點相連接 2 把單元節(jié)點的位移作為基本未知量 在單元內(nèi)的位移 設(shè)成線性函數(shù) 或其它函數(shù) 保證在單元內(nèi)和單元間位移連接 3 將節(jié)點的位移與節(jié)點的力聯(lián)系起來 4 列出節(jié)點的平衡方程 得出以節(jié)點位移表達的平衡方程組 5 求解代數(shù)方程組 得出各節(jié)點的位移 根據(jù)節(jié)點位移求出各單元中的應(yīng)力 有限單元法的基本未知量是節(jié)點位移 用節(jié)點的平衡方程來求解 工程有限單元法 78 彈性力學(xué)平面問題的有限單元法包括三個主要步驟 1 離散化2 單元分析3 單元綜合 1 離散化有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個單元的集合體來代替原來的連續(xù)體 因而必須將連續(xù)體簡化為由有限個單元組成的離散體 對于平面問題 最簡單 因而最常用的單元是三角形單元 這些單元在節(jié)點處用鉸相連 荷載也移置到節(jié)點上 成為節(jié)點荷載 在節(jié)點位移或其某一分量可以不計之處 就在節(jié)點上安置一個鉸支座或相應(yīng)的連桿支座 工程有限單元法 79 2 單元分析對三角形單元 建立節(jié)點位移與節(jié)點力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 節(jié)點位移 節(jié)點力 80 2 單元分析 單元剛度矩陣取節(jié)點位移作基本未知量 由節(jié)點位移求節(jié)點力 其中 轉(zhuǎn)換矩陣稱為單元剛度矩陣 單元分析的主要目的就是要求出單元剛度矩陣 單元分析的步驟可表示如下 工程有限單元法 81 3 單元綜合將離散化了的各個單元合成整體結(jié)構(gòu) 利用節(jié)點平衡方程求出節(jié)點位移 在位移法中 主要的任務(wù)是求出基本未知量 節(jié)點位移 為此需要建立節(jié)點的平衡方程 工程有限單元法 82 i點總的節(jié)點力應(yīng)為 根據(jù)節(jié)點的平衡條件 得單元e的節(jié)點力 可按式 2 2 用節(jié)點位移表示 代入得到用節(jié)點位移表示的平衡方程 每個可動節(jié)點有兩個未知位移 有兩個平衡方程 所以方程總數(shù)與未知位移總數(shù)相等 可以求出所有的節(jié)點位移 單元綜合的目的就是要求出節(jié)點位移 節(jié)點位移求出后 可進一步求出各單元的應(yīng)力 工程有限單元法 83 2 2 1平面問題的離散化 對任何工程平面構(gòu)件進行有限元分析 首先都是從簡化其幾何形狀 繪出其平面簡圖入手 連續(xù)體的離散化就是單元網(wǎng)格劃分 平面問題中最常用的單元是三角形和矩形單元 總之 通過單元劃分 載荷移置以及約束簡化 就形成了有限元模型 工程有限單元法 84 在劃分單元時 應(yīng)注意以下幾點 1 單元類型的選擇 主要取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀 施加的載荷類型和要求的計算精度 2 單元的大小 即網(wǎng)格的疏密 從有限元的理論上講 單元劃分越細 節(jié)點布置越多 計算結(jié)果精度越高 但相應(yīng)要求計算機容量也增大 計算時間也增加 3 單元有疏有密 對結(jié)構(gòu)的不同部位可采用不同大小的單元 4 不同厚度或不同材料處 應(yīng)取作為單元的邊界線 而且在該處附近的單元還應(yīng)劃分的小一些 以盡可能反映出邊線兩側(cè)應(yīng)力的突變情況 5 預(yù)留載荷位置 在分布載荷集度變化處和集中力作用處 應(yīng)布置節(jié)點 以利加載 并且其附近的單元也應(yīng)劃分的小些 以反映此處的應(yīng)力變化 工程有限單元法 85 2 2 2單元位移函數(shù) 如果彈性體的位移分量是坐標的已知函數(shù) 則可用幾何方程求應(yīng)變分量 再從物理方程求應(yīng)力分量 但對一個連續(xù)體 內(nèi)部各點的位移變化情況很難用一個簡單函數(shù)來描繪 有限單元法的基本原理是分塊近似 即將彈性體劃分成若干細小網(wǎng)格 在每一個單元范圍內(nèi) 內(nèi)部各點的位移變化情況可近似地用簡單函數(shù)來描繪 對每個單元 可以假定一個簡單函數(shù) 用它近似表示該單元的位移 這個函數(shù)稱為位移函數(shù) 或稱為位移模式 位移模型 位移場 對于平面問題 單元位移函數(shù)可以用多項式表示 多項式中包含的項數(shù)越多 就越接近實際的位移分布 越精確 但選取多少項數(shù) 要受單元型式的限制 工程有限單元法 86 三節(jié)點三角形單元 六個節(jié)點位移只能確定六個多項式的系數(shù) 所以平面問題的3結(jié)點三角形單元的位移函數(shù)如下 所選用的這個位移函數(shù) 將單元內(nèi)部任一點的位移定為座標的線性函數(shù) 位移模式很簡單 位移函數(shù)寫成矩陣形式為 工程有限單元法 87 最終確定六個待定系數(shù) 工程有限單元法 88 令 下標i j m輪換 簡寫為 I 是單位矩陣 N 稱為形態(tài)矩陣 Ni稱為位移的形態(tài)函數(shù) 工程有限單元法 89 選擇單元位移函數(shù)時 應(yīng)當保證有限元法解答的收斂性 即當網(wǎng)格逐漸加密時 有限元法的解答應(yīng)當收斂于問題的正確解答 因此 選用的位移模式應(yīng)當滿足下列兩方面的條件 1 必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變 6個參數(shù)到反映了三個剛體位移和三個常量應(yīng)變 2 必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移連續(xù)性 線性函數(shù)的特性 工程有限單元法 90 例題 圖示等腰三角形單元 求其形態(tài)矩陣 N 工程有限單元法 91 由三角形的面積 工程有限單元法 92 本節(jié)利用幾何方程 物理方程 實現(xiàn)用結(jié)點位移表示單元的應(yīng)變和單元的應(yīng)力 用結(jié)點位移表示單元的應(yīng)變的表達式為 B 矩陣稱為幾何矩陣 2 2 3單元應(yīng)變和應(yīng)力 工程有限單元法 93 對于平面應(yīng)力問題 工程有限單元法 94 2 2 4單元剛度矩陣 單元節(jié)點力與單元位移的關(guān)系式 稱為單元剛度方程組 工程有限單元法 95 單元剛度矩陣的性質(zhì) 1 單元剛度矩陣中每個元素有明確的物理意義 2 剛度矩陣是對稱矩陣 3 剛度矩陣是奇異矩陣 另外 單元剛度矩陣取決于 1 單元的位移函數(shù) 2 單元的幾何參數(shù) 3 單元的材料性質(zhì) 工程有限單元法 96 2 2 5單元等效節(jié)點載荷 連續(xù)彈性體離散為單元組合體時 為簡化受力情況 需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點移置 分解 而成為結(jié)點載荷 如果彈性體受承受的載荷全都是集中力 則將所有集中力的作用點取為節(jié)點 就不存在移置的問題 集中力就是節(jié)點載荷 但實際問題往往受有分布的面力和體力 都不可能只作用在節(jié)點上 因此 必須進行載荷移置 如果集中力的作用點未被取為節(jié)點 該集中力也要向結(jié)節(jié)移置 將載荷移置到節(jié)點上 必須遵循靜力等效的原則 靜力等效是指原載荷與節(jié)點載荷在任意虛位移上做的虛功相等 在一定的位移模式下 移置結(jié)果是唯一的 且總能符合靜力等效原則 工程有限單元法 97 在線性位移模式下 對于常見的一些載荷 可以通過簡單的虛功計算 得出所需的載荷列矩陣 均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力 把1 3的重力移到每個節(jié)點 工程有限單元法 98 例 總載荷的2 3移置到節(jié)點i 1 3移置到節(jié)點j 與原載荷同向 工程有限單元法 99 載荷向節(jié)點的移置 可以用普遍公式來表示 體力的移置分布面力的移置在線性位移模式下 用直接計算法簡單 非線性模式下 要用普遍公式計算 工程有限單元法 100 2 2 6總剛度矩陣 K 為總剛度矩陣 R 為節(jié)點力分量矩陣 為節(jié)點位移分量矩陣 總剛度矩陣性質(zhì) 1 總剛度矩陣也是對稱矩陣 2 總剛度矩陣呈稀疏帶狀分布 3 總剛度矩陣奇異矩陣 工程有限單元法 101 2 2 7邊界約束條件 有限元法中通常采用兩種方法 劃行劃行法和乘大數(shù)法 其中前者適用于簡單的手算練習(xí) 后者適合于實際問題的計算機處理 工程有限單元法 102 2 2 8解題步驟與算例 有限元法的一般分析步驟如下 1 首先繪出結(jié)構(gòu)的幾何簡圖 在此基礎(chǔ)上將結(jié)構(gòu)離散 2 其次進行單元分析 3 組集總剛度矩陣 4 最終求單元應(yīng)力和節(jié)點應(yīng)力 工程有限單元法 103 算例講解 P27 工程有限單元法 104 2 2 9計算結(jié)果處理 有限元中計算結(jié)果主要包括位移和應(yīng)力兩方面 其中位移可根據(jù)計算結(jié)果中的節(jié)點位移分量畫出結(jié)構(gòu)的位移圖 而對于應(yīng)力計算結(jié)果必須進行整理 方法有 1 形心法 2 繞節(jié)點法 3 二單元法 工程有限單元法 105 2 2 10平面高階單元 為了提高有限元法計算結(jié)果的精度 除了增加單元數(shù)目外 還常采用具有較高次位移函數(shù)的單元 即高階單元 常用的四節(jié)點矩形單元和六節(jié)點三角形單元 工程有限單元法 106 1 四節(jié)點任意四邊形等參數(shù)單元 任意四結(jié)點四邊形單元 四結(jié)點正方形單元 工程有限單元法 107 1 八節(jié)點任意四邊形等參數(shù)單元 四邊形八結(jié)點單元 八結(jié)點基本單元 工程有限單元法 108 3 應(yīng)用等參單元應(yīng)注意以下幾點問題 1 各向長度的相對大小 單元長度之比不宜相差太大 接近正方形的單元誤差最小 長寬比很大 誤差也很大 2 棱邊的曲折 應(yīng)使單元邊上沒有折點 如邊上不可避免有折點 應(yīng)使棱邊只有凸出的折點 3 棱邊的夾角 盡量接近90度 4 棱邊上節(jié)點的間距 盡量均勻 工程有限單元法 109