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2020年高考理科數學一輪復習題型歸納與變式演練《基本不等式及應用》
【題型一】：基本不等式的理解
【題型二】：利用基本不等式求最值
【題型三】：基本不等式應用
【題型四】：基本不等式在實際問題中的應用
【題型一】：基本不等式的理解
【例1】. ，，給出下列推導，其中正確的有 （填序號）.
（1）的最小值為；
（2）的最小值為；
（3）的最小值為.
【解析】（1）；（2）
（1）∵，，∴（當且僅當時取等號）.
（2）∵，，∴（當且僅當時取等號）.
（3）∵，∴，
（當且僅當即時取等號）
∵，
2、與矛盾，∴上式不能取等號，即
【總結升華】在用基本不等式求函數的最值時，必須同時具備三個條件：一正二定三取等，缺一不可.
【變式訓練】：
【變式1】給出下面四個推導過程：
① ∵，∴；
② ∵，∴；
③ ∵，，∴ ；
④ ∵，，∴.
其中正確的推導為（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【解析】①∵，∴，符合基本不等式的條件，故①推導正確.
②雖然，但當或時，是負數，∴②的推導是錯誤的.
③由不符合基本不等式的條件，∴是錯誤的.
④由得均為負數，但在推導過程中，將整體提出負號后，均
3、變?yōu)檎龜担匣静坏仁降臈l件，故④正確.選D.
【變式2】下列命題正確的是（ ）
A.函數的最小值為2. B.函數的最小值為2
C.函數最大值為 D.函數 的最小值為2
【答案】C
【解析】A選項中，∵，∴當時由基本不等式；
當時.∴選項A錯誤.
B選項中，∵的最小值為2
（當且僅當時，成立）
但是，∴這是不可能的. ∴選項B錯誤.
C選項中，∵，∴，故選項C正確。
【題型二】：利用基本不等式求最值
【例2】．設，則的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】
當且僅當即時取等號.
【答案】D
【變式訓練
4、】：
【變式1】若,求的最大值.
【解析】因為,所以, 由基本不等式得:
,
（當且僅當即時, 取等號）
故當時,取得最大值.
【變式2】已知，求的最大值.
【解析】∵，∴，
∴（當且僅當，即時，等號成立）
∴（當且僅當，即時，等號成立）
故當時，的最大值為4.
【例3】.已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝的最小值是
A． B．4 C． D．5
【解析】∵,，
∴
【答案】選C
【變式訓練】：
【變式1】若,,且,求的最小值 .
【解析】∵,，
∴
（當且僅當即，時，等號成立）
∴（當且僅當，時，等號成立）
故當，時，的最小值為64
5、.
【變式2】已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值。
【解析】∵，∴
∵x＞0，y＞0，∴
（當且僅當，即y=3x時，取等號）
又，∴x=4，y=12
∴當x=4，y=12時，x+y取最小值16。
【題型三】：基本不等式應用
【例4】. 設,,求證：
【證明】
成立
【變式訓練】：
【變式1】已知，求證:
【解析】
（當且僅當即,等號成立）.
【例5】已知，且.
(1)若則的值為 .
(2)求證：
【解析】(1)由題意可得帶入計算可得
(2)由題意和基本不等式可得，，
【變式訓練】：
【變式
6、】已知函數的定義域為R.
(1)求實數m的取值范圍.
(2)若m的最大值為n，當正數a、b滿足時，求7a+4b的最小值.
【解析】(1)因為函數的定義域為R,
恒成立
設函數則m不大于的最小值
即的最小值為4，
(2)由(1)知n=4
當且僅當時，即時取等號.
的最小值為
【題型四】：基本不等式在實際問題中的應用
【例6】. 某農場有廢棄的豬圈，留有一面舊墻長12m,現準備在該地區(qū)重新建立一座豬圈，平面圖為矩形，面積為，預計（1）修復舊墻的費用是建造新墻費用的 ，（2）拆去舊墻用以改造建成新墻的費用是建新墻的，（3）為安裝圈門，要在圍墻的適當處留出的空缺。試問：這里建
7、造豬圈的圍墻應怎樣利用舊墻，才能使所需的總費用最小？
【解析】顯然，使舊墻全部得到利用，并把圈門留在新墻處為好。
設修復成新墻的舊墻為 ,則拆改成新墻的舊墻為，
于是還需要建造新墻的長為
設建造新墻需用元，建造圍墻的總造價為元，
則
（當且僅當即時，等號成立）
故拆除改造舊墻約為米時，總造價最小.
【變式訓練】：
【變式1】某游泳館出售冬季學生游泳卡，每張卡240元.并規(guī)定不記名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名學生，教師準備組織學生集體冬泳，除需要購買若干張游泳卡外，每次去游泳還要包一輛汽車，無論乘坐多少學生，每次的包車費為40元.要使每個學生游8次，每人最少交多少錢？
【解析】設購買x張游泳卡，活動開支為y元，
則（當且僅當x=8時取“=”）
此時每人最少交80元.
專心---專注---專業(yè)
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