安徽省2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二講 空間與圖形 第六章 圓 6.1 圓的有關(guān)性質(zhì)測試.doc

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第六章　圓 6.1　圓的有關(guān)性質(zhì)學(xué)用P64 [過關(guān)演練]　(40分鐘　　80分) 1.(xx山東青島)如圖,點A,B,C,D在☉O上,∠AOC=140,點B是AC的中點,則∠D的度數(shù)是 (D) A.70 B.55 C.35.5 D.35 【解析】連接OB,∵點B是AC的中點,∴∠AOB=12∠AOC=70,由圓周角定理得∠D=12∠AOB=35. 2.(xx四川樂山)《九章算術(shù)》是我國古代第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著,代表了東方數(shù)學(xué)的最高成就.它的算法體系至今仍在推動著計算機的發(fā)展和應(yīng)用.書中記載:“今有圓材埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,問徑幾何?”譯為:“今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸這木材,鋸口深1寸(ED=1寸),鋸道長1尺(AB=1尺=10寸),問這塊圓形木材的直徑是多少?”如圖所示,請根據(jù)所學(xué)知識計算圓形木材的直徑AC是 (C) A.13寸 B.20寸 C.26寸 D.28寸 【解析】設(shè)☉O的半徑為r.在Rt△ADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,則有r2=52+(r-1)2,解得r=13,故☉O的直徑為26寸. 3.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠A=56,以BC為直徑的☉O交AB于點D,E是☉O上一點,且CE=CD,連接OE,過點E作EF⊥OE,交AC的延長線于點F,則∠F的度數(shù)為 (C) A.92 B.108 C.112 D.124 【解析】∵∠ACB=90,∠A=56,∴∠B=34,∵CE=CD,∴∠COE=2∠B=68,又∵EF⊥OE,∴∠OEF=90,∴∠F=360-90-90-68=112. 4.如圖,☉O的半徑OD垂直于弦AB,垂足為C.連接AO并延長交☉O于點E.連接BE,CE,若AB=8,CD=2,則△BCE的面積為 (A) A.12 B.15 C.16 D.18 【解析】∵OD⊥AB,∴AC=BC=12AB=4,在Rt△AOC中,設(shè)半徑OA=OD=x,則OC=x-2,根據(jù)勾股定理,得(x-2)2+42=x2,解得x=5,∴AE=10,∵AE是☉O的直徑,∴∠ABE=90,∴BE=AE2-AB2=102-82=6.∴S△BCE=12BCBE=1246=12. 5.如圖,AB是☉O的直徑,AC,BC分別與☉O相交于點D,E,連接DE,現(xiàn)給出兩個命題:①若AC=AB,則DE=CE;②若∠C=45,記△CDE的面積為S1,四邊形DABE的面積為S2,則S1=S2.那么 (D) A.①是真命題,②是假命題 B.①是假命題,②是真命題 C.①是假命題,②是假命題 D.①是真命題,②是真命題 【解析】由題意知四邊形DABE是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠CDE=∠B,若AC=AB,則∠B=∠C,∴∠CDE=∠C,∴DE=CE,∴①是真命題;連接BD,∵AB為☉O的直徑,∴∠ADB=90,∵∠CDB=90,∠C=45,∴DCCB=22,∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△CDE∽△CBA,∴S△DCES△BCA=12,∴S△DCES四邊形DABE=1,即S1=S2,∴②為真命題. 6.(xx山東泰安)如圖,☉M的半徑為2,圓心M的坐標為(3,4),點P是☉M上的任意一點,PA⊥PB,且PA,PB與x軸分別交于A,B兩點,若點A、點B關(guān)于原點O對稱,則AB的最小值為 (C) A.3 B.4 C.6 D.8 【解析】∵PA⊥PB,∴∠APB=90,∵AO=BO,∴AB=2PO,若要使AB取得最小值,則PO需取得最小值,連接OM,交☉M于點P,當點P位于P位置時,OP取得最小值,過點M作MQ⊥x軸于點Q,則OQ=3,MQ=4,∴OM=5,又∵MP=2,∴OP=3,∴AB=2OP=6. 7.(xx吉林)如圖,A,B,C,D是☉O上的四個點,AB=BC,若∠AOB=58,則∠BDC=　29　. 【解析】連接OC.∵AB=BC,∴∠AOB=∠BOC=58,∴∠BDC=12∠BOC=29. 8.如圖,AB是☉O的弦,半徑OC⊥AB于點D,且AB=8 cm,DC=2 cm,則OC=　5　 cm. 【解析】連接OA,因為半徑OC⊥AB于點D,所以AD=12AB=4 cm,設(shè)☉O的半徑為x cm,在Rt△OAD中,OA2=OD2+AD2,即x2=(x-2)2+42,解得x=5,所以O(shè)C=5 cm. 9.(xx湖北黃岡)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB為☉O的直徑,∠CAB=60,弦AD平分∠CAB,若AD=6,則AC=　23　. 【解析】連接BD.∵AB是直徑,∴∠C=∠D=90,∵∠CAB=60,AD平分∠CAB,∴∠DAB=30,∴AB=ADcos 30=43,∴AC=ABcos 60=23. 10.如圖,邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于☉O,點E是AB上的一個動點(不與點A,B重合),點F是BC上的一點,連接OE,OF,分別與AB,BC交于點G,H,且∠EOF=90,有下列結(jié)論: ①AE=BF; ②△OGH是等腰直角三角形; ③四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而變化; ④△GBH周長的最小值為4-2. 其中正確的是?、佗凇?(把你認為正確結(jié)論的序號都填上) 【解析】連接OA,OB,則有∠AOB=90,又∠EOF=90,所以∠AOE=∠BOF,所以AE=BF,故①正確;連接OC,則∠OBG=∠OCH=45,OB=OC,∠BOG=∠COH,所以△OBG≌△OCH,所以O(shè)G=OH,△OGH是等腰直角三角形,故②正確;由△OBG≌△OCH,得S四邊形OGBH=S△OBG+S△OBH=S△OCH+S△OBH=S△OBC=1442=4,所以四邊形OGBH的面積隨著點E位置的變化而不變,故③錯誤;設(shè)BG=x,則BH=4-x,GH=BG2+BH2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,由于BG+BH=x+4-x=4,所以△GBH的周長取最小值時,只需GH取最小值,這時x=2,GH的最小值為22,所以△GBH的周長的最小值為4+22,故④錯誤. 11.(8分)如圖,MN是☉O的直徑,MN=4,點A在☉O上,∠AMN=30,點B為AN的中點,P是直徑MN上一動點. (1)利用尺規(guī)作圖,確定當PA+PB最小時P點的位置;(不寫作法,但要保留作圖痕跡) (2)求PA+PB的最小值. 解:(1)如圖,點P即為所求. (2)如圖,連接OA,OA,OB. 由(1)可得,PA+PB的最小值即為線段AB的長, ∵∠AMN=30, ∴∠AON=∠AON=2∠AMN=60. 又∵點B為AN的中點, ∴∠BON=12∠AON=30,∴∠AOB=90. 又∵MN=4,∴OB=OA=2. 在Rt△AOB中,由勾股定理得AB=22+22=22. ∴PA+PB的最小值是22. 12.(8分)如圖,AB是半圓的直徑,O是圓心,C是半圓上一點,D是弧AC中點,OD交弦AC于點E,連接BE,若AC=8,DE=2. (1)求半圓的半徑長; (2)求BE的長度. 解:(1)設(shè)圓的半徑為r,∵D是弧AC的中點, ∴OD⊥AC,AE=12AC=4, 在Rt△AOE中,OA2=OE2+AE2,即r2=(r-2)2+42, 解得r=5,即圓的半徑長為5. (2)連接BC, ∵AO=OB,AE=EC,∴BC=2OE=6, ∵AB是半圓的直徑,∴∠ACB=90, ∴BE=EC2+BC2=213. 13.(10分)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上的點,且OC∥BD,AD分別與BC,OC相交于點E,F. (1)求證:CB平分∠ABD; (2)若AB=6,OF=1,求CE的長. 解:(1)∵OC∥BD,∴∠C=∠DBC, ∵OC=OD,∴∠C=∠OBC, ∴∠OBC=∠DBC,∴CB平分∠ABD. (2)∵OF∥BD,OA=OB, ∴OF為△ABD的中位線,∴BD=2OF=2, ∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90, 在Rt△ABD中,AD=62-22=42,∴DF=22, 而CF=OC-OF=3-1=2,∴CF=BD, 在△CEF和△BDE中,∠CEF=∠DEB,∠CFE=∠BDE,CF=BD, ∴△CEF≌△BED, ∴DE=EF=2, 在Rt△CEF中,CE=22+(2)2=6. 14.(10分)如圖,點C為△ABD外接圓上的一動點(點C不在BAD上,且不與點B,D重合),∠ACB=∠ABD=45. (1)求證:BD是該外接圓的直徑; (2)連接CD,求證:2AC=BC+CD; (3)若△ABC關(guān)于直線AB的對稱圖形為△ABM,連接DM,試探究DM2,MA2,BM2三者之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 解:(1)∵∠ADB=∠ACB=45,且∠ABD=45, ∴∠ABD+∠ADB=90, ∴∠BAD=90,∴BD是△ABD外接圓的直徑. (2)如圖1,作AE⊥AC,交CB的延長線于點E. ∵∠EAC=∠BAD=90,∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,∴∠EAB=∠DAC. 由∠ACB=∠ABD=45,可得△ACE與△ABD是等腰直角三角形, ∴AE=AC,AB=AD,∴△ABE≌△ADC,∴CD=BE. 在等腰Rt△ACE中,由勾股定理,得CE=2AC. ∵CE=BC+BE,∴2AC=BC+CD. (3)DM2=BM2+2MA2. 證明:如圖2,延長MB交圓于點F,連接AF,DF. ∵∠BFA=∠ACB=∠BMA=45,∴∠MAF=90,MA=AF, ∴MA2+AF2=2MA2=MF2. 又∵AC=MA=AF,∴AC=AF, 又∵AD=AB,∴CD=BF,∴DF=BC,∴DF=BC=BM. ∵BD是直徑,∴∠BFD=90. 在Rt△MDF中,由勾股定理,得DM2=DF2+MF2, ∴DM2=BM2+2MA2. [名師預(yù)測] 1.如圖,☉O中,OA⊥BC,∠AOC=50,則∠ADB的度數(shù)為 (B) A.15 B.25 C.30 D.50 【解析】連接OB,∵OA⊥BC,∠AOC=50,∴∠AOB=∠AOC=50,則∠ADB=12∠AOB=25. 2.如圖所示,☉O的半徑為13,弦AB的長度是24,ON⊥AB,垂足為N,則ON= (A) A.5 B.7 C.9 D.11 【解析】因為ON⊥AB,所以AN=12AB=1224=12,∠ANO=90.在Rt△AON中,由勾股定理得ON=OA2-AN2=132-122=5. 3.如圖,點A,B,C,D在☉O上,CB=CD,∠CAD=30,∠ACD=50,則∠ADB=　70　. 【解析】∵CB=CD,∠CAD=30,∴∠CAD=∠CAB=30,∴∠DBC=∠DAC=30,∵∠ACD=50,∴∠ABD=50,∴∠ACB=∠ADB=180-∠CAB-∠ABC=180-50-30-30=70. 4.如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,過點C作CE∥AD交△ABC的外接圓O于點E,連接AE. (1)求證:四邊形AECD為平行四邊形; (2)連接BE,若AD=365,sin ∠EBC=2425,求☉O的半徑. 解:(1)∵CE∥AD, ∴∠ACE=∠CAD, ∵∠B=∠AEC,∠B=∠D, ∴∠AEC=∠D, ∴∠EAC=∠ACD, ∴AE∥CD, ∴四邊形AECD為平行四邊形. (2)作OH⊥CE于點H,連接OE,OC,如圖,則EH=CH=12CE, ∵CE=AD=365,∴EH=185, ∵∠EOC=2∠EBC,∠EOH=∠COH, ∴∠EOH=∠EBC, 在Rt△EOH中,sin ∠EOH=EHOE=2425, ∴OE=2524185=154,即☉O的半徑為154. 5.如圖,以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與AC,BC的交點分別為點D,E,且DE=BE. (1)試判斷△ABC的形狀,并說明理由; (2)已知半圓的半徑為5,BC=12,求sin ∠ABD的值. 解:(1)△ABC是等腰三角形. 理由:∵DE=BE,∴∠EBD=∠EDB. ∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90. ∴∠CDE+∠EDB=∠C+∠EBD=90. ∴∠CDE=∠C. ∵四邊形ABED內(nèi)接于☉O,∴∠CDE=∠CBA, ∴∠C=∠CBA, ∴AC=AB, ∴△ABC是等腰三角形. (2)∵∠CDE=∠C,∴CE=DE. ∵DE=BE,∴DE=EB,∴CE=EB=12BC=1212=6. ∵☉O的半徑是5,∴AC=AB=10. ∵∠CDE=∠CBA,∠C=∠C,∴△CDE∽△CBA, ∴CDBC=CEAC,即CD12=610,解得CD=7.2. ∴AD=AC-CD=10-7.2=2.8. ∴在Rt△ADB中,sin ∠ABD=ADAB=2.810=725. 6.如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,BC的延長線與AD的延長線交于點E,且DC=DE. (1)求證:∠A=∠AEB; (2)連接OE,交CD于點F,OE⊥CD,求證:△ABE是等邊三角形. 解:(1)∵四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形, ∴∠A+∠BCD=180. ∵∠DCE+∠BCD=180, ∴∠A=∠DCE. ∵DC=DE, ∴∠DCE=∠AEB. ∴∠A=∠AEB. (2)∵∠A=∠AEB, ∴△ABE是等腰三角形. ∵EO⊥CD, ∴CF=DF. ∴EO是CD的垂直平分線. ∴ED=EC. ∵DC=DE, ∴DC=DE=EC. ∴△DCE是等邊三角形. ∴∠AEB=60. ∴△ABE是等邊三角形. 7.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,點E在對角線AC上,EC=BC=DC. (1)若∠CBD=39,求∠BAD的度數(shù); (2)求證:∠1=∠2. 解:(1)∵BC=DC,∴BC=DC. ∴∠BAC=∠CAD=∠CBD. ∵∠CBD=39,∴∠BAC=∠CAD=39. ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=78. (2)∵EC=BC,∴∠CBE=∠CEB. ∵∠CBE=∠1+∠CBD,∠CEB=∠2+∠BAC, ∴∠1+∠CBD=∠2+∠BAC. 又∵∠BAC=∠CBD, ∴∠1=∠2. 8.如圖,已知☉O是△ABC的外接圓,AB=AC,點D在BC上,AE∥BC,AE=BD. (1)求證:AD=CE; (2)如果點G在線段CD上(不與點D重合),且AG=AD,求證:四邊形AGCE是平行四邊形. 解:(1)在☉O中,∵AB=AC,∴AB=AC,∴∠B=∠ACB. ∵AE∥BC,∴∠EAC=∠ACB,∴∠B=∠EAC. 又∵BD=AE,∴△ABD≌△CAE,∴AD=CE. (2)解法1:連接AO并延長交邊BC于點H, ∵AB=AC,OA是半徑,∴AH⊥BC,∴BH=CH. ∵AD=AG,∴DH=HG,∴BH-DH=CH-GH,即BD=CG. ∵BD=AE,∴CG=AE. 又∵CG∥AE,∴四邊形AGCE是平行四邊形. 解法2:∵△ABD≌△CAE,∴∠ACE=∠BAD, ∵∠B=∠ACB,∠B+∠BAD=∠ACE+∠ACB, 又∵∠B+∠BAD=∠ADC,∠ACE+∠ACB=∠BCE, ∴∠BCE=∠ADC. ∵AG=AD,∴∠ADC=∠AGB,∴∠AGB=∠BCE,∴AG∥CE, 又∵CG∥AE,∴四邊形AGCE是平行四邊形. 9.已知☉O上兩個定點A,B和兩個動點C,D,AC與BD交于點E. (1)如圖1,求證:EAEC=EBED; (2)如圖2,若AB=BC,AD是☉O的直徑,求證:ADAC=2BDBC; (3)如圖3,若AC⊥BD,點O到AD的距離為2,求BC的長. 解:(1)∵∠ABD=∠ACD,∠BAC=∠CDB, ∴△ABE∽△DCE, ∴EAED=EBEC, ∴EAEC=EBED. (2)連接OB,∵OB=OD,∴∠DBO=∠BDO, 又∵AB=BC, ∴∠BAC=∠BCA=∠BDO=∠DBO, ∴△ABC∽△DOB, ∴ACBD=BCOB=2BCAD, ∴ADAC=2BDBC. (3)作直徑AM,連接DM,過點O作OF⊥AD,垂足為F,則F是AD的中點, 又∵O是AM的中點,∴DM=2OF=4, ∵AC⊥BD,AM為直徑, ∴∠ABD+∠BAC=∠AMD+∠MAD=90, 又∵∠ABD=∠AMD, ∴∠BAC=∠MAD,∴BC=DM=4.