2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 1.2.1 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc

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1.2.1　常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 幾個(gè)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 已知函數(shù) (1)f(x)＝c，(2)f(x)＝x，(3)f(x)＝x2， (4)f(x)＝，(5)f(x)＝. 問題1：函數(shù)f(x)＝x的導(dǎo)數(shù)是什么？ 提示：∵＝＝＝1， ∴當(dāng)Δx→0時(shí)，→1，即x′＝1. 問題2：函數(shù)f(x)＝的導(dǎo)數(shù)是什么？ 提示：∵＝＝ ＝＝－， ∴當(dāng)Δx→0時(shí)，→－，即′＝－. 1．(kx＋b)′＝k(k，b為常數(shù))； 2．C′＝0(C為常數(shù))； 3．(x)′＝1； 4．(x2)′＝2x； 5．(x3)′＝3x2； 6.′＝－； 7．()′＝ . 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 1．(xα)′＝αxα－1(α為常數(shù))； 2．(ax)′＝axln_a(a>0，且a≠1)； 3．(logax)′＝logae＝ (a>0，且a≠1)； 4．(ex)′＝ex； 5．(ln x)′＝； 6．(sin x)′＝cos_x； 7．(cos x)′＝－sin_x. 函數(shù)f(x)＝logax的導(dǎo)數(shù)公式為f′(x)＝(logax)′＝，當(dāng)a＝e時(shí)，上述公式就變形為(ln x)′＝，即f(x)＝ln x是函數(shù)f(x)＝logax當(dāng)a＝e時(shí)的特殊情況．類似地，還有f(x)＝ax與f(x)＝ex. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) [例1]　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝x8； (2)y＝； (3)y＝x； (4)y＝log2x. [思路點(diǎn)撥]　解答本題可先將解析式化為基本初等函數(shù)，再利用公式求導(dǎo)． [精解詳析]　(1)y′＝(x8)′＝8x7； (2)y′＝′＝(x－3)′＝－3x－4＝－； (3)y′＝(x)′＝(x)′＝x＝； (4)y′＝(log2x)′＝. [一點(diǎn)通]　用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過程、降低運(yùn)算難度．解題時(shí)應(yīng)根據(jù)所給函數(shù)的特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇求導(dǎo)公式，有時(shí)需將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，如根式、分式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，利用冪函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)． 1．函數(shù)y＝sin的導(dǎo)數(shù)是________． 解析：y＝sin＝cos x，所以y′＝－sin x. 答案：－sin x 2．下列結(jié)論中不正確的是________． ①若y＝3，則y′＝0； ②′＝cos ； ③′＝； ④若y＝x，則y′＝1. 解析：①正確；②sin ＝，而()′＝0，不正確；對(duì)于③，′＝(－x－)′＝x－＝，正確；④正確． 答案：② 3．求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)． (1)y＝10x；(2)y＝logx； (3)y＝；(4)y＝2－1. 解：(1)y′＝(10x)′＝10xln 10； (2)y′＝(logx)′＝＝－； (3)∵y＝＝x， ∴y′＝(x)′＝x－＝； (4)∵y＝(sin＋cos)2－1 ＝sin2＋2sincos＋cos2－1＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. 求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) [例2]　求函數(shù)f(x)＝在x＝1處的導(dǎo)數(shù)． [思路點(diǎn)撥]　先求導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)值． [精解詳析]　∵f(x)＝＝x－， ∴f′(x)＝′＝x－， ∴f′(1)＝－. [一點(diǎn)通]　求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)需要先對(duì)原函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，最后將變量的值代入導(dǎo)函數(shù)便可求解． 4．若函數(shù)f(x)＝，則f′(1)＝________. 解析：∵f′(x)＝()′＝(x)′＝x－， ∴f′(1)＝. 答案： 5．若函數(shù)f(x)＝sin x，則f′(6π)＝________. 解析：∵f′(x)＝(sin x)′＝cos x. ∴f′(6π)＝cos 6π＝1. 答案：1 6．已知f(x)＝ 且f′(1)＝－，求n. 解：f′(x)＝′＝(x－)′＝－x－－1＝－x－， ∴f′(1)＝－， 由f′(1)＝－得－＝－，得n＝2. 求切線方程 [例3]　已知曲線方程y＝x2，求： (1)曲線在點(diǎn)A(1,1)處的切線方程； (2)過點(diǎn)B(3,5)且與曲線相切的直線方程． [思路點(diǎn)撥]　(1)點(diǎn)A在曲線上，故直接求導(dǎo)數(shù)，再求直線方程；(2)B點(diǎn)不在曲線上，故解答本題需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，進(jìn)而求出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線的方程． [精解詳析]　(1)y′＝2x，當(dāng)x＝1時(shí)，y′＝2，故過點(diǎn)A(1,1)的切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. (2)∵B(3,5)不在曲線y＝x2上， ∴可設(shè)過B(3,5)與曲線y＝x2相切的直線與曲線的切點(diǎn)為(x0，y0)． ∵y′＝2x， ∴當(dāng)x＝x0時(shí)，y′＝2x0. 故切線方程為y－x＝2x0(x－x0)． 又∵直線過B(3,5)點(diǎn)， ∴5－x＝2x0(3－x0)． 即x－6x0＋5＝0. 解得x0＝1或x0＝5. 故切線方程為2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. [一點(diǎn)通]　 (1)求切線方程是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之一，有兩種情況： ①求曲線在點(diǎn)P處的切線方程，P為切點(diǎn)，在曲線上； ②求過點(diǎn)P與曲線相切的直線方程，P不一定為切點(diǎn)，不一定在曲線上． (2)求曲線上某點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程的步驟： ①求出f′(x0)，即切線斜率； ②寫出切線的點(diǎn)斜式方程； ③化簡(jiǎn)切線方程． (3)求過點(diǎn)P與曲線相切的直線方程的步驟： ①設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)； ②寫出切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)； ③代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出方程． 7．已知直線y＝x＋a與曲線y＝ln x相切，則a的值為________． 解析：設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，∵y′＝，由題意得＝1，∴x0＝1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線y＝x＋a，得a＝－1. 答案：－1 8．求曲線y＝2x2－1的斜率為4的切線的方程． 解：設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，y′＝4x，由題意知，當(dāng)x＝x0時(shí)，y′＝4x0＝4， 所以x0＝1. 當(dāng)x0＝1時(shí)， y0＝1，∴切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)． 故所求切線的方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0. 1．對(duì)公式y(tǒng)＝xn的理解： (1)y＝xn中，x為自變量，n為常數(shù)； (2)它的導(dǎo)數(shù)等于指數(shù)n與自變量的(n－1)次冪的乘積．公式中n∈Q，對(duì)n∈R也成立． 2．在應(yīng)用正、余弦函數(shù)及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式時(shí)應(yīng)注意的問題： (1)對(duì)于公式(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，一要注意函數(shù)的變化，二要注意符號(hào)的變化． (2)對(duì)于公式(ln x)′＝和(ex)′＝ex很好記，但對(duì)于公式(logax)′＝logae和(ax)′＝axln a的記憶就較難，特別是兩個(gè)常數(shù)logae與ln a很容易混淆． [對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(三)] 一、填空題 1．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－4，則α的值是________． 解析：∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1， ∴f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4. ∴α＝4. 答案：4 2．過曲線y＝上一點(diǎn)P的切線的斜率為－4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________． 解析：設(shè)P(x0，y0)，則f′(x0)＝－＝－4. 所以x0＝，所以P或P. 答案：或 3．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，則適合方程f′(x)＋1＝g′(x)的x值為________． 解析：由導(dǎo)數(shù)公式可知f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2. 所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0. 解之得x＝1或x＝－. 答案：1或－ 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax，f′(1)＝－1，則a＝________. 解析：∵f′(x)＝，∴f′(1)＝＝－1. ∴l(xiāng)n a＝－1，即a＝. 答案： 5．已知直線y＝kx是曲線y＝ln x的切線，則k的值等于________． 解析：∵y′＝(ln x)′＝，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)， 則切線方程為y－y0＝(x－x0)． 即y＝x＋ln x0－1.由ln x0－1＝0，知x0＝e. ∴k＝. 答案： 二、解答題 6．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝lg 2； (2)y＝2x； (3)y＝； (4)y＝2cos2－1. 解：(1)y′＝(lg 2)′＝0； (2)y′＝(2x)′＝2xln 2； (3)y′＝(x)′＝x； (4)∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x. 7．已知點(diǎn)P(－1,1)，點(diǎn)Q(2,4)是曲線y＝x2上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程． 解：∵y′＝(x2)′＝2x， 設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則當(dāng)x＝x0時(shí)，y′＝2x0. 又∵PQ的斜率為k＝＝1， 而切線平行于PQ，∴k＝2x0＝1， 即x0＝，所以切點(diǎn)為M， ∴所求的切線方程為y－＝x－，即4x－4y－1＝0. 8．求曲線y＝和y＝x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積． 解：由解得交點(diǎn)為(1,1)． ∵y′＝′＝－， ∴曲線y＝在(1,1)處的切線方程為 y－1＝－x＋1，即y＝－x＋2. 又y′＝(x2)′＝2x， ∴曲線y＝x2在(1,1)處的切線方程為 y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. y＝－x＋2與y＝2x－1和x軸的交點(diǎn)分別為(2,0)， . ∴所求面積S＝1＝.