2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題58 巧選數(shù)學模型解排列組合問題.doc

專題58 巧選數(shù)學模型解排列組合問題【熱點聚焦與擴展】縱觀近幾年的高考試題，排列組合問題往往以實際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計數(shù)原理，同時考查分類討論的思想及解決問題的能力除了以選擇、填空的形式考查，也往往在解答題中與古典概型概率計算相結合進行考查有一些問題如果直接從題目入手，處理起來比較繁瑣.但若找到解決問題的合適模型，或將問題進行等價的轉化.便可巧妙的解決問題.本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎上，舉例說明.（一）處理排列組合問題的常用思路：1、特殊優(yōu)先：對于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時優(yōu)先安排，然后再去處理無要求的元素.例如：用組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，共有多少種排法？2、尋找對立事件：如果一件事從正面入手，考慮的情況較多，則可以考慮該事的對立面，再用全部可能的總數(shù)減去對立面的個數(shù)即可.3、先取再排（先分組再排列）：排列數(shù)是指從個元素中取出個元素，再將這個元素進行排列.但有時會出現(xiàn)所需排列的元素并非前一步選出的元素，所以此時就要將過程拆分成兩個階段，可先將所需元素取出，然后再進行排列.（二）排列組合的常見模型1、捆綁法（整體法）：當題目中有“相鄰元素”時，則可將相鄰元素視為一個整體，與其他元素進行排列，然后再考慮相鄰元素之間的順序即可.2、插空法：當題目中有“不相鄰元素”時，則可考慮用剩余元素“搭臺”，不相鄰元素進行“插空”，然后再進行各自的排序注：（1）要注意在插空的過程中是否可以插在兩邊 （2）要從題目中判斷是否需要各自排序3、錯位排列：排列好的個元素，經過一次再排序后，每個元素都不在原先的位置上，則稱為這個元素的一個錯位排列.例如對于，則是其中一個錯位排列.3個元素的錯位排列有2種，4個元素的錯位排列有9種，5個元素的錯位排列有44種.以上三種情況可作為結論記住4、依次插空：如果在個元素的排列中有個元素保持相對位置不變，則可以考慮先將這個元素排好位置，再將個元素一個個插入到隊伍當中（注意每插入一個元素，下一個元素可選擇的空）5、不同元素分組：將個不同元素放入個不同的盒中6、相同元素分組：將個相同元素放入個不同的盒內，且每盒不空，則不同的方法共有種.解決此類問題常用的方法是“擋板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數(shù)，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進入空檔處，則可將這個元素劃分為個區(qū)域，剛好對應那個盒子. 7、涂色問題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進行涂色即可.【經典例題】例1.【2018屆湖北省黃岡中學5月三模】對33000分解質因數(shù)得，則的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是（ ）A. 48 B. 72 C. 64 D. 96【答案】A由分步計數(shù)乘法原理可得的因數(shù)共有，不含的共有，正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)有個，即的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是，故選A.例2.【2018屆貴州省凱里市第一中學四?！考?，從集合中各取一個數(shù)，能組成（ ）個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)？A. 52 B. 58 C. 64 D. 70【答案】B【解析】分析：分別從集合A，B取一個數(shù)字，再全排列，根據分步計數(shù)原理即可得到答案詳解：故選：B例3.【2018屆四川省 “聯(lián)測促改”】中國古代十進制的算籌計數(shù)法，在世界數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同樣長短的小木棍，如圖，算籌表示數(shù)19的方法的一種.例如：163可表示為“”27可表示為“”問現(xiàn)有8根算籌可以表示三位數(shù)的個數(shù)（算籌不能剩余）為（ ）A. 48 B. 60 C. 96 D. 120【答案】C對于，組合出的可能的算籌為：共6種，可以組成的三位數(shù)的個數(shù)為： 種，同理可以組成的三位數(shù)的個數(shù)為： 種，利用加法原理可得：8根算籌可以表示三位數(shù)的個數(shù)（算籌不能剩余）為.本題選擇C選項.例4.已知集合， ，定義集合，則中元素個數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】C例5.如圖所示22方格，在每一個方格中填入一個數(shù)字，數(shù)字可以是1、2、3、4中的任何一個，允許重復若填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不同的填法共有()A. 192種 B. 128種 C. 96種 D. 12種【答案】C【解析】試題分析：根據題意，先分析A、B兩個方格，由于其大小有序，則可以在l、2、3、4中的任選2個，大的放進A方格，小的放進B方格，由組合數(shù)公式計算可得其填法數(shù)目，對于C、D兩個方格，每個方格有4種情況，由分步計數(shù)原理可得其填法數(shù)目，最后由分步計數(shù)原理，計算可得答案根據題意，對于A、B兩個方格，可在l、2、3、4中的任選2個，大的放進A方格，小的放進B方格，有種情況，對于C、D兩個方格，每個方格有4種情況，則共有44=16種情況，則不同的填法共有166=96種，故選C例6.【2018屆黑龍江省牡丹江市第一高級中學高三上期末】將數(shù)字1,2,3,4，填入右側的表格內，要求每行、每列的數(shù)字互不相同，如圖所示，則不同的填表方式共有（ ）種A. 432 B. 576 C. 720 D. 864【答案】B【解析】對符合題意的一種填法如圖，行交換共有種，列交換共有種，所以根據分步計數(shù)原理得到不同的填表方式共有種，故選B. 例7. 設集合，那么集合中滿足條件“”的元素個數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】D例8.已知，且中有三個元素，若中的元素可構成等差數(shù)列，則這樣的集合共有（ ）個A. B. C. D. 【答案】C【解析】思路：設中構成等差數(shù)列的元素為，則有，由此可得應該同奇同偶，而當同奇同偶時，則必存在中間項，所以問題轉變?yōu)橹恍柙谥袑ふ彝嫱紨?shù)的情況.同為奇數(shù)的可能的情況為，同為偶數(shù)的可能的情況為，所以一共有種.例9.【2018屆云南省昆明市第二次統(tǒng)考】定義“有增有減”數(shù)列如下： ，滿足，且，滿足.已知“有增有減”數(shù)列共4項，若，且，則數(shù)列共有（ ）A. 64個 B. 57個 C. 56個 D. 54個【答案】D例10：方程的正整數(shù)解有多少組？非負整數(shù)解有多少組？【答案】正整數(shù)解有84種，非負整數(shù)解有286種 【解析】思路：本題可將10理解為10個1相加，而相當于四個盒子，每個盒子里裝入了多少個1，則這個變量的值就為多少.從而將問題轉化為相同元素分組的模型，可以使用擋板法得：種；非負整數(shù)解相當于允許盒子里為空，而擋板法適用于盒子非空的情況，所以考慮進行化歸：，則這四個盒子非空即可.所以使用擋板法得：種【精選精練】1.【2018屆山東省濰坊市二模】中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同排課順序共有（ ）A. 種 B. 種 C. 種 D. 種【答案】A【解析】分析：該題屬于有限制條件的排列問題，在解題的過程中，需要分情況討論，因為“數(shù)”必須排在前三節(jié)，這個就是不動的，就剩下了五個不同的元素，所以需要對“數(shù)”的位置分三種情況，對于相鄰元素應用捆綁法來解決即可.詳解：當“數(shù)”排在第一節(jié)時有排法，當“數(shù)”排在第二節(jié)時有種排法，當“數(shù)”排在第三節(jié)時，當“射”和“御”兩門課程排在第一、二節(jié)時有種排法，當“射”和“御”兩門課程排在后三節(jié)的時候有種排法，所以滿足條件的共有種排法，故選A.點睛：在解決問題時一是注意對“數(shù)”的位置分三種情況，二是在“數(shù)”排在第三節(jié)時，要對兩個相鄰元素的位置分類討論，再者還要注意“數(shù)”排在第二節(jié)時，兩個相鄰元只能排在后四節(jié).2.【2018屆北京師范大學附中二?！咳糇匀粩?shù)使得作豎式加法均不產生進位現(xiàn)象，則稱為“開心數(shù)”例如：32是“開心數(shù)”因不產生進位現(xiàn)象；23不是“開心數(shù)”，因產生進位現(xiàn)象，那么，小于100的“開心數(shù)”的個數(shù)為（ ）A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】D3.【2018屆廣東省廣州市第一次調研】某學校獲得5個高校自主招生推薦名額，其中甲大學2名，乙大學2名，丙大學1名，并且甲大學和乙大學都要求必須有男生參加，學校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有A. 36種 B. 24種 C. 22種 D. 20種【答案】B【解析】第一類：男生分為，女生全排，男生全排得，第二類：男生分為，所以男生兩堆全排后女生全排，不同的推薦方法共有 ，故選B.4. 設是整數(shù)集的一個非空子集，對于，如果且，那么稱是集合的一個“孤立元”，給定，則的3個元素構成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合個數(shù)是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】思路：首先要理解“，則且”，意味著“獨立元”不含相鄰的數(shù)，元素均為獨立元，則說明3個元素彼此不相鄰，從而將問題轉化為不相鄰取元素問題，利用插空法可得：種 5.一個含有10項的數(shù)列滿足：，則符合這樣條件的數(shù)列有（ ）個A. 30 B. 35 C. 36 D. 40【答案】36種6.【2018屆浙江省金麗衢十二校第二次聯(lián)考】用0，1，2，3，4可以組成的無重復數(shù)字的能被3整除的三位數(shù)的個數(shù)是（）A. 20 B. 24 C. 36 D. 48【答案】A【解析】分析：先根據能被3整除的三位數(shù)字組成為012，024，123，234四種情況，再分類討論排列數(shù)，最后相加得結果.詳解：因為能被3整除的三位數(shù)字組成為012，024，123，234四種情況，所以對應排列數(shù)分別為因此一共有，選A.7【2018屆上海市松江、閔行區(qū)二?！?3設，那么滿足的所有有序數(shù)組的組數(shù)為_.【答案】【解析】分類討論： ，則這四個數(shù)為或，有組； ，則這四個數(shù)為或，有組； ，則這四個數(shù)為或或，有組；綜上可得，所有有序數(shù)組的組數(shù)為.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配在分組時，通常有三種類型：不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法8【2018屆天津市十二重點中學聯(lián)考（一）】用0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)，要求奇數(shù)不相鄰，且0不與另外兩個偶數(shù)相鄰，這樣的五位數(shù)一共有_個.（用數(shù)字作答）【答案】9對于各數(shù)互不相等的整數(shù)數(shù)組（是不小于的正整數(shù)）,對于任意的,當時有,則稱是該數(shù)組的一個“逆序”,一個數(shù)組中所有“逆序”的個數(shù)稱為該數(shù)組的“逆序數(shù)”,則數(shù)組中的逆序數(shù)為_;若數(shù)組中的逆序數(shù)為,則數(shù)組中的逆序數(shù)為_.【答案】 3 10已知集合，集合的所有非空子集依次記為：，設分別是上述每一個子集內元素的乘積.(如果的子集中只有一個元素，規(guī)定其積等于該元素本身)，那么_【答案】5【解析】 所有子集的“乘積”之和即 展開式中所有項的系數(shù)之和T-1，令 ，則 故答案為511【2018屆浙江省嵊州市高三上期末】9某學校要安排位數(shù)學老師、位英語老師和位化學老師分別擔任高三年級中個不同班級的班主任，每個班級安排個班主任由于某種原因，數(shù)學老師不擔任班的班主任，英語老師不擔任班的班主任，化學老師不擔班和班的班主任， 則共有_種不同的安排方法（用數(shù)字作答）【答案】32【解析】若數(shù)學老師分到兩班，共有種分法，若數(shù)學老師分到兩班，共有種分法，若數(shù)學老師分到兩班，共有種分法，若數(shù)學老師分到兩班，共有種分法，若數(shù)學老師分到兩班，共有種分法，若數(shù)學老師分到兩班，共有種分法，共有種安排方法，故答案為 .12.圓周上有20個點，過任意兩點連接一條弦，這些弦在圓內的交點最多有多少個【答案】個