2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴(kuò)展 專題58 巧選數(shù)學(xué)模型解排列組合問題.doc

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專題58 巧選數(shù)學(xué)模型解排列組合問題 【熱點聚焦與擴(kuò)展】 縱觀近幾年的高考試題，排列組合問題往往以實際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計數(shù)原理，同時考查分類討論的思想及解決問題的能力．除了以選擇、填空的形式考查，也往往在解答題中與古典概型概率計算相結(jié)合進(jìn)行考查． 有一些問題如果直接從題目入手，處理起來比較繁瑣.但若找到解決問題的合適模型，或?qū)栴}進(jìn)行等價的轉(zhuǎn)化.便可巧妙的解決問題.本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，舉例說明. （一）處理排列組合問題的常用思路： 1、特殊優(yōu)先：對于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時優(yōu)先安排，然后再去處理無要求的元素. 例如：用組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有多少種排法？ 2、尋找對立事件：如果一件事從正面入手，考慮的情況較多，則可以考慮該事的對立面，再用全部可能的總數(shù)減去對立面的個數(shù)即可. 3、先取再排（先分組再排列）：排列數(shù)是指從個元素中取出個元素，再將這個元素進(jìn)行排列.但有時會出現(xiàn)所需排列的元素并非前一步選出的元素，所以此時就要將過程拆分成兩個階段，可先將所需元素取出，然后再進(jìn)行排列. （二）排列組合的常見模型 1、捆綁法（整體法）：當(dāng)題目中有“相鄰元素”時，則可將相鄰元素視為一個整體，與其他元素進(jìn)行排列，然后再考慮相鄰元素之間的順序即可. 2、插空法：當(dāng)題目中有“不相鄰元素”時，則可考慮用剩余元素“搭臺”，不相鄰元素進(jìn)行“插空”，然后再進(jìn)行各自的排序 注：（1）要注意在插空的過程中是否可以插在兩邊 （2）要從題目中判斷是否需要各自排序 3、錯位排列：排列好的個元素，經(jīng)過一次再排序后，每個元素都不在原先的位置上，則稱為這個元素的一個錯位排列.例如對于，則是其中一個錯位排列.3個元素的錯位排列有2種，4個元素的錯位排列有9種，5個元素的錯位排列有44種.以上三種情況可作為結(jié)論記住 4、依次插空：如果在個元素的排列中有個元素保持相對位置不變，則可以考慮先將這個元素排好位置，再將個元素一個個插入到隊伍當(dāng)中（注意每插入一個元素，下一個元素可選擇的空） 5、不同元素分組：將個不同元素放入個不同的盒中 6、相同元素分組：將個相同元素放入個不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有種.解決此類問題常用的方法是“擋板法”，因為元素相同，所以只需考慮每個盒子里所含元素個數(shù)，則可將這個元素排成一列，共有個空，使用個“擋板”進(jìn)入空檔處，則可將這個元素劃分為個區(qū)域，剛好對應(yīng)那個盒子. 7、涂色問題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可. 【經(jīng)典例題】 例1.【2018屆湖北省黃岡中學(xué)5月三模】對33000分解質(zhì)因數(shù)得，則的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是（ ） A. 48 B. 72 C. 64 D. 96 【答案】A 由分步計數(shù)乘法原理可得的因數(shù)共有， 不含的共有， 正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)有個， 即的正偶數(shù)因數(shù)的個數(shù)是，故選A. 例2.【2018屆貴州省凱里市第一中學(xué)四模】集合，從集合中各取一個數(shù)，能組成（ ）個沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B 【解析】分析：分別從集合A，B取一個數(shù)字，再全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理即可得到答案． 詳解： 故選：B 例3.【2018屆四川省 “聯(lián)測促改”】中國古代十進(jìn)制的算籌計數(shù)法，在世界數(shù)學(xué)史上是一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同樣長短的小木棍，如圖，算籌表示數(shù)1～9的方法的一種. 例如：163可表示為“”27可表示為“”問現(xiàn)有8根算籌可以表示三位數(shù)的個數(shù)（算籌不能剩余）為（ ） A. 48 B. 60 C. 96 D. 120 【答案】C 對于，組合出的可能的算籌為： 共6種， 可以組成的三位數(shù)的個數(shù)為： 種， 同理可以組成的三位數(shù)的個數(shù)為： 種， 利用加法原理可得：8根算籌可以表示三位數(shù)的個數(shù)（算籌不能剩余）為. 本題選擇C選項. 例4.已知集合， ，定義集合，則中元素個數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 例5.如圖所示22方格，在每一個方格中填入一個數(shù)字，數(shù)字可以是1、2、3、4中的任何一個，允許重復(fù)．若填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則不同的填法共有(　　) A. 192種 B. 128種 C. 96種 D. 12種 【答案】C 【解析】試題分析：根據(jù)題意，先分析A、B兩個方格，由于其大小有序，則可以在l、2、3、4中的任選2個，大的放進(jìn)A方格，小的放進(jìn)B方格，由組合數(shù)公式計算可得其填法數(shù)目，對于C、D兩個方格，每個方格有4種情況，由分步計數(shù)原理可得其填法數(shù)目，最后由分步計數(shù)原理，計算可得答案． 根據(jù)題意，對于A、B兩個方格，可在l、2、3、4中的任選2個，大的放進(jìn)A方格，小的放進(jìn)B方格，有種情況， 對于C、D兩個方格，每個方格有4種情況，則共有44=16種情況，則不同的填法共有166=96種， 故選C． 例6.【2018屆黑龍江省牡丹江市第一高級中學(xué)高三上期末】將數(shù)字1,2,3,4，填入右側(cè)的表格內(nèi)，要求每行、每列的數(shù)字互不相同，如圖所示，則不同的填表方式共有（ ）種 A. 432 B. 576 C. 720 D. 864 【答案】B 【解析】對符合題意的一種填法如圖，行交換共有種，列交換共有種，所以根據(jù)分步計數(shù)原理得到不同的填表方式共有種，故選B. 例7. 設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 例8.已知，且中有三個元素，若中的元素可構(gòu)成等差數(shù)列，則這樣的集合共有（ ）個 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】思路：設(shè)中構(gòu)成等差數(shù)列的元素為，則有，由此可得應(yīng)該同奇同偶，而當(dāng)同奇同偶時，則必存在中間項，所以問題轉(zhuǎn)變?yōu)橹恍柙谥袑ふ彝嫱紨?shù)的情況.同為奇數(shù)的可能的情況為，同為偶數(shù)的可能的情況為，所以一共有種. 例9.【2018屆云南省昆明市第二次統(tǒng)考】定義“有增有減”數(shù)列如下： ，滿足，且，滿足.已知“有增有減”數(shù)列共4項，若，且，則數(shù)列共有（ ） A. 64個 B. 57個 C. 56個 D. 54個 【答案】D 例10：方程的正整數(shù)解有多少組？非負(fù)整數(shù)解有多少組？ 【答案】正整數(shù)解有84種，非負(fù)整數(shù)解有286種 【解析】思路：本題可將10理解為10個1相加，而相當(dāng)于四個盒子，每個盒子里裝入了多少個1，則這個變量的值就為多少.從而將問題轉(zhuǎn)化為相同元素分組的模型，可以使用擋板法得：種；非負(fù)整數(shù)解相當(dāng)于允許盒子里為空，而擋板法適用于盒子非空的情況，所以考慮進(jìn)行化歸：，則這四個盒子非空即可.所以使用擋板法得：種 【精選精練】 1.【2018屆山東省濰坊市二?！恐袊糯械摹岸Y、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團(tuán)開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同排課順序共有（ ） A. 種 B. 種 C. 種 D. 種 【答案】A 【解析】分析：該題屬于有限制條件的排列問題，在解題的過程中，需要分情況討論，因為“數(shù)”必須排在前三節(jié)，這個就是不動的，就剩下了五個不同的元素，所以需要對“數(shù)”的位置分三種情況，對于相鄰元素應(yīng)用捆綁法來解決即可. 詳解：當(dāng)“數(shù)”排在第一節(jié)時有排法，當(dāng)“數(shù)”排在第二節(jié)時有種排法，當(dāng)“數(shù)”排在第三節(jié)時，當(dāng)“射”和“御”兩門課程排在第一、二節(jié)時有種排法，當(dāng)“射”和“御”兩門課程排在后三節(jié)的時候有種排法，所以滿足條件的共有種排法，故選A. 點睛：在解決問題時一是注意對“數(shù)”的位置分三種情況，二是在“數(shù)”排在第三節(jié)時，要對兩個相鄰元素的位置分類討論，再者還要注意“數(shù)”排在第二節(jié)時，兩個相鄰元只能排在后四節(jié). 2.【2018屆北京師范大學(xué)附中二?！咳糇匀粩?shù)使得作豎式加法均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，則稱為“開心數(shù)”．例如：32是“開心數(shù)”．因不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象；23不是“開心數(shù)”，因產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，那么，小于100的“開心數(shù)”的個數(shù)為（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 3.【2018屆廣東省廣州市第一次調(diào)研】某學(xué)校獲得5個高校自主招生推薦名額，其中甲大學(xué)2名，乙大學(xué)2名，丙大學(xué)1名，并且甲大學(xué)和乙大學(xué)都要求必須有男生參加，學(xué)校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有 A. 36種 B. 24種 C. 22種 D. 20種 【答案】B 【解析】第一類：男生分為，女生全排，男生全排得，第二類：男生分為，所以男生兩堆全排后女生全排，不同的推薦方法共有 ，故選B. 4. 設(shè)是整數(shù)集的一個非空子集，對于，如果且，那么稱是集合的一個“孤立元”，給定，則的3個元素構(gòu)成的所有集合中，其元素都是“孤立元”的集合個數(shù)是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】思路：首先要理解“，則且”，意味著“獨立元”不含相鄰的數(shù)，元素均為獨立元，則說明3個元素彼此不相鄰，從而將問題轉(zhuǎn)化為不相鄰取元素問題，利用插空法可得：種 5.一個含有10項的數(shù)列滿足：，則符合這樣條件的數(shù)列有（ ）個 A. 30 B. 35 C. 36 D. 40 【答案】36種 6.【2018屆浙江省金麗衢十二校第二次聯(lián)考】用0，1，2，3，4可以組成的無重復(fù)數(shù)字的能被3整除的三位數(shù)的個數(shù)是（　?。? A. 20 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】分析：先根據(jù)能被3整除的三位數(shù)字組成為012，024，123，234四種情況，再分類討論排列數(shù)，最后相加得結(jié)果. 詳解：因為能被3整除的三位數(shù)字組成為012，024，123，234四種情況，所以對應(yīng)排列數(shù)分別為 因此一共有， 選A. 7．【2018屆上海市松江、閔行區(qū)二?！?3．設(shè)，那么滿足的所有有序數(shù)組的組數(shù)為___________. 【答案】 【解析】分類討論： ① ，則這四個數(shù)為或， 有組； ② ，則這四個數(shù)為或， 有組； ③ ，則這四個數(shù)為或或， 有組； 綜上可得，所有有序數(shù)組的組數(shù)為. 點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法． 8．【2018屆天津市十二重點中學(xué)聯(lián)考（一）】用0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，要求奇數(shù)不相鄰，且0不與另外兩個偶數(shù)相鄰，這樣的五位數(shù)一共有_______個.（用數(shù)字作答） 【答案】 9．對于各數(shù)互不相等的整數(shù)數(shù)組（是不小于的正整數(shù)）,對于任意的,當(dāng)時有,則稱是該數(shù)組的一個“逆序”,一個數(shù)組中所有“逆序”的個數(shù)稱為該數(shù)組的“逆序數(shù)”,則數(shù)組中的逆序數(shù)為___________;若數(shù)組中的逆序數(shù)為,則數(shù)組中的逆序數(shù)為___________. 【答案】 3 10．已知集合，集合的所有非空子集依次記為：，設(shè)分別是上述每一個子集內(nèi)元素的乘積.(如果的子集中只有一個元素，規(guī)定其積等于該元素本身)，那么__________． 【答案】5 【解析】 所有子集的“乘積”之和即 展開式中所有項的系數(shù)之和T-1， 令 ，則 故答案為5 11．【2018屆浙江省嵊州市高三上期末】9某學(xué)校要安排位數(shù)學(xué)老師、位英語老師和位化學(xué)老師分別擔(dān)任高三年級中個不同班級的班主任，每個班級安排個班主任．由于某種原因，數(shù)學(xué)老師不擔(dān)任班的班主任，英語老師不擔(dān)任班的班主任，化學(xué)老師不擔(dān)班和班的班主任， 則共有__________種不同的安排方法．（用數(shù)字作答）． 【答案】32 【解析】若數(shù)學(xué)老師分到兩班，共有種分法，若數(shù)學(xué)老師分到兩班，共有種分法，若數(shù)學(xué)老師分到兩班，共有種分法，若數(shù)學(xué)老師分到兩班，共有種分法，若數(shù)學(xué)老師分到兩班，共有種分法，若數(shù)學(xué)老師分到兩班，共有種分法，共有種安排方法，故答案為 . 12.圓周上有20個點，過任意兩點連接一條弦，這些弦在圓內(nèi)的交點最多有多少個 【答案】個