2018-2019學年高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 一 數(shù)學歸納法講義(含解析)新人教A版選修4-5.doc
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一 數(shù)學歸納法 1.數(shù)學歸納法的概念 先證明當n取第一個值n0(例如可取n0=1)時命題成立,然后假設當n=k(k∈N+,k≥n0)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.這種證明方法叫做數(shù)學歸納法. 2.數(shù)學歸納法適用范圍 數(shù)學歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的證明. 3.數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題步驟 (1)證明當n取第一個值n0(如取n0=1或2等)時命題成立; (2)假設當n=k(k∈N+,k≥n0)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立. 由此可以斷定,對于任意不小于n0的正整數(shù)n,命題都成立. 利用數(shù)學歸納法證明等式 [例1] 用數(shù)學歸納法證明12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1. [思路點撥] 首先判斷第1步是否滿足,然后考慮由n=k到n=k+1時增加了哪些項,進行分析變形,從而證明等式. [證明] (1)當n=1時,左邊=12=1,右邊=(-1)0=1,所以等式成立. (2)假設n=k(k∈N+,k≥1)時,等式成立,即有12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1. 那么,當n=k+1時,則有 12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2 =(-1)k-1+(-1)k(k+1)2 =(-1)k[-k+2(k+1)] =(-1)k, 所以n=k+1時,等式也成立. 由(1)(2)得對任意n∈N+,有12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1. 利用數(shù)學歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點:一是要準確表述n=n0時命題的形式,二是要準確把握由n=k到n=k+1時,命題結構的變化特點.并且一定要記?。涸谧C明n=k+1成立時,必須使用歸納假設. 1.在用數(shù)學歸納法證明,對任意的正偶數(shù)n,均有 1-+-+…+-=2 成立時, (1)第一步檢驗的初始值n0是多少? (2)第二步歸納假設n=2k時(k∈N+)等式成立,需證明n為何值時,方具有遞推性; (3)若第二步歸納假設n=k(k為正偶數(shù))時等式成立,需證明n為何值時,等式成立. 解:(1)n0為2.此時左邊為1-,右邊為2=. (2)假設n=2k(k∈N+)時,等式成立,就需證明n=2k+2(即下一個偶數(shù))時,命題也成立. (3)若假設n=k(k為正偶數(shù))時,等式成立,就需證明n=k+2(即k的下一個正偶數(shù))時,命題也成立. 2.用數(shù)學歸納法證明: ++…+=(n∈N+). 證明:(1)當n=1時,左邊==, 右邊==, 左邊=右邊,等式成立. (2)假設n=k(k∈N+,k≥1)時,等式成立. 即++…+=, 當n=k+1時, 左邊=++…++ =+ = = =, ∴當n=k+1時,等式也成立. 由(1)(2)知對任意n∈N+,等式成立. 用數(shù)學歸納法證明整除問題 [例2] 求證:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除(n∈N+). [證明] (1)當n=1時,a2+(a+1)=a2+a+1,可被a2+a+1整除. (2)假設n=k(k∈N+,k≥1)時,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除, 則當n=k+1時, ak+2+(a+1)2k+1 =aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1 =a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1, 由假設可知a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除, 所以ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除, 即n=k+1時命題也成立. 由(1)(2)可知命題對所有n∈N+都成立. 利用數(shù)學歸納法證明整除時,關鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式.這就往往要涉及到“添項”“減項”“因式分解”等變形技巧,湊出n=k時的情形,從而利用歸納假設使問題得證. 3.用數(shù)學歸納法證明:(3n+1)7n-1(n∈N+)能被9整除. 證明:(1)當n=1時,47-1=27能被9整除命題成立. (2)假設n=k時命題成立,即(3k+1)7k-1能被9整除,當n=k+1時, [(3k+3)+1]7k+1-1=[3k+1+3]77k-1 =7(3k+1)7k-1+217k =[(3k+1)7k-1]+18k7k+67k+217k =[(3k+1)7k-1]+18k7k+277k, 由歸納假設(3k+1)7k-1能被9整除, 又因為 18k7k+277k也能被9整除, 所以[3(k+1)+1]7k+1-1能被9整除,即n=k+1時命題成立. 則由(1)(2)可知對所有正整數(shù)n命題成立. 4.用數(shù)學歸納法證明:1-(3+x)n(n∈N+)能被x+2整除. 證明:(1)n=1時,1-(3+x)=-(x+2),能被x+2整除,命題成立. (2)假設n=k(k≥1)時,1-(3+x)n能被x+2整除,則可設1-(3+x)k=(x+2)f(x)(f(x)為k-1次多項式), 當n=k+1時,1-(3+x)k+1=1-(3+x)(3+x)k =1-(3+x)[1-(x+2)f(x)] =1-(3+x)+(x+2)(3+x)f(x) =-(x+2)+(x+2)(3+x)f(x) =(x+2)[-1+(3+x)f(x)], 能被x+2整除,即當n=k+1時命題成立. 由(1)(2)可知,對n∈N+,1-(3+x)n能被x+2整除. 用數(shù)學歸納法證明幾何問題 [例3] 平面上有n(n≥2,且n∈N+)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條不過同一點,求證:這n條直線共有f(n)=個交點. [思路點撥] 本題考查數(shù)學歸納法在證明幾何命題中的應用,解答本題應搞清交點隨n的變化而變化的規(guī)律,然后采用數(shù)學歸納法證明. [證明] (1)當n=2時, ∵符合條件是兩直線只有1個交點, 又f(2)=2(2-1)=1. ∴當n=2時,命題成立. (2)假設當n=k(k≥2且k∈N+)時命題成立,就是該平面內滿足題設的任何k條直線的交點個數(shù)為f(k)=k(k-1), 則當n=k+1時,任取其中一條直線記為l,如圖,剩下的k條直線為l1,l2,…,lk.由歸納假設知,它們之間的交點個數(shù)為f(k)=. 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點,所以直線l與l1,l2,l3,…,lk的交點共有k個. ∴f(k+1)=f(k)+k =+k= ==. ∴當n=k+1時,命題成立. 由(1)(2)可知,命題對一切n∈N+且n≥2成立. 用數(shù)學歸納法證明幾何問題時,一定要清楚從n=k到n=k+1時,新增加的量是多少.一般地,證明第二步時,常用的方法是加1法,即在原來k的基礎上,再增加一個,當然我們也可以從k+1個中分出1個來,剩下的k個利用假設. 5.求證:凸n邊形對角線條數(shù)f(n)=(n∈N+,n≥3). 證明:(1)當n=3時,即f(3)=0時,三角形沒有對角線,命題成立. (2)假設n=k(k∈N+,k≥3)時命題成立,即凸k邊形對角線條數(shù)f(k)=.將凸k邊形A1A2…Ak在其外面增加一個新頂點Ak+1,得到凸k+1邊形A1A2…AkAk+1,Ak+1依次與A2,A3,…,Ak-1相連得到對角線k-2條,原凸k邊形的邊A1Ak變成了凸k+1邊形的一條對角線,則凸k+1邊形的對角線條數(shù)為 f(k)+k-2+1=+k-1= ==f(k+1), 即當n=k+1時,結論正確. 根據(jù)(1)(2)可知,命題對任何n∈N+,n≥3都成立. 6.求證:平面內有n(n≥2)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條直線不過同一點,求證它們彼此互相分割成n2條線段(或射線). 證明:(1)當n=2時,兩條直線不平行,彼此互相分割成4條射線,命題成立. (2)假設當n=k時,命題成立,即k條滿足條件的直線彼此互相分割成k2條線段(或射線).那么n=k+1時,取出其中一條直線為l,其余k條直線彼此互相分割成k2條線段(或射線), 直線l把這k條直線又一分為二,多出k條線段(或射線);l又被這k條直線分成k+1部分,所以這k+1條直線彼此互相分割成k2+k+k+1=(k+1)2條線段(或射線),即n=k+1時,命題成立. 由(1)(2)知,命題成立. 1.數(shù)學歸納法證明中,在驗證了n=1時命題正確,假定n=k時命題正確,此時k的取值范圍是( ) A.k∈N B.k>1,k∈N+ C.k≥1,k∈N+ D.k>2,k∈N+ 解析:選C 數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法,所以k是正整數(shù),又第一步是遞推的基礎,所以k大于等于1. 2.用數(shù)學歸納法證明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在驗證n=1時,左邊計算所得的式子為( ) A.1 B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23. 解析:選D 當n=1時,左邊=1+2+22+23. 3.用數(shù)學歸納法證明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”,利用歸納法假設證明n=k+1時,只需展開( ) A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 解析:選A 假設n=k時,原式k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,當n=k+1時,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3為了能用上面的歸納假設,只需將(k+3)3展開,讓其出現(xiàn)k3即可. 4.平面內有n條直線,最多可將平面分成f(n)個區(qū)域,則f(n)的表達式為( ) A.n+1 B.2n C. D.n2+n+1 解析:選C 1條直線將平面分成1+1個區(qū)域;2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4個區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7個區(qū)域;…;n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=個區(qū)域. 5.觀察式子1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…猜想第n個式子應為________. 答案:1-4+9-16+…+(-1)n-1n2=(-1)n+1 6.用數(shù)學歸納法證明:“14+27+310+…+n(3n+1)=n(n+1)2.n∈N+”時,若n=1,則左端應為________. 解析:n=1時,左端應為14=4. 答案:4 7.記凸k邊形的內角和為f(k),則凸k+1邊形的內角和f(k+1)=f(k)+________. 解析:由凸k邊形變?yōu)橥筴+1邊形時,增加了一個三角形圖形.故f(k+1)=f(k)+π. 答案:π 8.用數(shù)學歸納法證明對于整數(shù)n≥0,An=11n+2+122n+1能被133整除. 證明:(1)當n=0時,A0=112+12=133能被133整除. (2)假設n=k時,Ak=11k+2+122k+1能被133整除. 當n=k+1時, Ak+1=11k+3+122k+3=1111k+2+122122k+1 =1111k+2+11122k+1+(122-11)122k+1 =11(11k+2+122k+1)+133122k+1. ∴n=k+1時,命題也成立. 根據(jù)(1)(2)可知,對于任意整數(shù)n≥0,命題都成立. 9.有n個圓,任意兩個圓都相交于兩點,任意三個圓不相交于同一點,求證這n個圓將平面分成f(n)=n2-n+2(n∈N+)個部分. 證明:(1)當n=1時,一個圓將平面分成兩個部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n=1時命題成立. (2)假設n=k(k≥1)時命題成立. 即k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2個部分. 則n=k+1時,在k+1個圓中任取一個圓O,剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分,而圓O與k個圓有2k個交點,這2k個點將圓O分成2k段弧,每段弧將原平面一分為二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k =(k+1)2-(k+1)+2. ∴當n=k+1時,命題成立. 綜合(1)(2)可知,對一切n∈N+,命題成立. 10.試用n(n≥2,n∈N+)表示…的值,并用數(shù)學歸納法證明. 解:當n=2時,原式=1-=; 當n=3時,原式==; 當n=4時,原式==. 猜想…=. 下面用數(shù)學歸納法證明這個結論. (1)當n=2時,易知結論成立. (2)假設n=k(k∈N+,k≥2)時結論成立, 即…=, 則當n=k+1時, … ===, 即當n=k+1時,結論成立. 由(1)(2)可知對一切n∈N+,結論都成立.- 配套講稿:
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