2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法講義(含解析)新人教A版選修4-5.doc
《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法講義(含解析)新人教A版選修4-5.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法講義(含解析)新人教A版選修4-5.doc(8頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
一 數(shù)學(xué)歸納法 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的概念 先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如可取n0=1)時(shí)命題成立,然后假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥n0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法. 2.?dāng)?shù)學(xué)歸納法適用范圍 數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明. 3.?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題步驟 (1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如取n0=1或2等)時(shí)命題成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥n0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立. 由此可以斷定,對(duì)于任意不小于n0的正整數(shù)n,命題都成立. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 [例1] 用數(shù)學(xué)歸納法證明12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1. [思路點(diǎn)撥] 首先判斷第1步是否滿足,然后考慮由n=k到n=k+1時(shí)增加了哪些項(xiàng),進(jìn)行分析變形,從而證明等式. [證明] (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12=1,右邊=(-1)0=1,所以等式成立. (2)假設(shè)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí),等式成立,即有12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1. 那么,當(dāng)n=k+1時(shí),則有 12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2 =(-1)k-1+(-1)k(k+1)2 =(-1)k[-k+2(k+1)] =(-1)k, 所以n=k+1時(shí),等式也成立. 由(1)(2)得對(duì)任意n∈N+,有12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn):一是要準(zhǔn)確表述n=n0時(shí)命題的形式,二是要準(zhǔn)確把握由n=k到n=k+1時(shí),命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn).并且一定要記?。涸谧C明n=k+1成立時(shí),必須使用歸納假設(shè). 1.在用數(shù)學(xué)歸納法證明,對(duì)任意的正偶數(shù)n,均有 1-+-+…+-=2 成立時(shí), (1)第一步檢驗(yàn)的初始值n0是多少? (2)第二步歸納假設(shè)n=2k時(shí)(k∈N+)等式成立,需證明n為何值時(shí),方具有遞推性; (3)若第二步歸納假設(shè)n=k(k為正偶數(shù))時(shí)等式成立,需證明n為何值時(shí),等式成立. 解:(1)n0為2.此時(shí)左邊為1-,右邊為2=. (2)假設(shè)n=2k(k∈N+)時(shí),等式成立,就需證明n=2k+2(即下一個(gè)偶數(shù))時(shí),命題也成立. (3)若假設(shè)n=k(k為正偶數(shù))時(shí),等式成立,就需證明n=k+2(即k的下一個(gè)正偶數(shù))時(shí),命題也成立. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明: ++…+=(n∈N+). 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊==, 右邊==, 左邊=右邊,等式成立. (2)假設(shè)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí),等式成立. 即++…+=, 當(dāng)n=k+1時(shí), 左邊=++…++ =+ = = =, ∴當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立. 由(1)(2)知對(duì)任意n∈N+,等式成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 [例2] 求證:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除(n∈N+). [證明] (1)當(dāng)n=1時(shí),a2+(a+1)=a2+a+1,可被a2+a+1整除. (2)假設(shè)n=k(k∈N+,k≥1)時(shí),ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除, 則當(dāng)n=k+1時(shí), ak+2+(a+1)2k+1 =aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1 =a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1, 由假設(shè)可知a[ak+1+(a+1)2k-1]能被a2+a+1整除, 所以ak+2+(a+1)2k+1能被a2+a+1整除, 即n=k+1時(shí)命題也成立. 由(1)(2)可知命題對(duì)所有n∈N+都成立. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除時(shí),關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式.這就往往要涉及到“添項(xiàng)”“減項(xiàng)”“因式分解”等變形技巧,湊出n=k時(shí)的情形,從而利用歸納假設(shè)使問題得證. 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明:(3n+1)7n-1(n∈N+)能被9整除. 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),47-1=27能被9整除命題成立. (2)假設(shè)n=k時(shí)命題成立,即(3k+1)7k-1能被9整除,當(dāng)n=k+1時(shí), [(3k+3)+1]7k+1-1=[3k+1+3]77k-1 =7(3k+1)7k-1+217k =[(3k+1)7k-1]+18k7k+67k+217k =[(3k+1)7k-1]+18k7k+277k, 由歸納假設(shè)(3k+1)7k-1能被9整除, 又因?yàn)?18k7k+277k也能被9整除, 所以[3(k+1)+1]7k+1-1能被9整除,即n=k+1時(shí)命題成立. 則由(1)(2)可知對(duì)所有正整數(shù)n命題成立. 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1-(3+x)n(n∈N+)能被x+2整除. 證明:(1)n=1時(shí),1-(3+x)=-(x+2),能被x+2整除,命題成立. (2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí),1-(3+x)n能被x+2整除,則可設(shè)1-(3+x)k=(x+2)f(x)(f(x)為k-1次多項(xiàng)式), 當(dāng)n=k+1時(shí),1-(3+x)k+1=1-(3+x)(3+x)k =1-(3+x)[1-(x+2)f(x)] =1-(3+x)+(x+2)(3+x)f(x) =-(x+2)+(x+2)(3+x)f(x) =(x+2)[-1+(3+x)f(x)], 能被x+2整除,即當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立. 由(1)(2)可知,對(duì)n∈N+,1-(3+x)n能被x+2整除. 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 [例3] 平面上有n(n≥2,且n∈N+)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條不過同一點(diǎn),求證:這n條直線共有f(n)=個(gè)交點(diǎn). [思路點(diǎn)撥] 本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明幾何命題中的應(yīng)用,解答本題應(yīng)搞清交點(diǎn)隨n的變化而變化的規(guī)律,然后采用數(shù)學(xué)歸納法證明. [證明] (1)當(dāng)n=2時(shí), ∵符合條件是兩直線只有1個(gè)交點(diǎn), 又f(2)=2(2-1)=1. ∴當(dāng)n=2時(shí),命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2且k∈N+)時(shí)命題成立,就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)=k(k-1), 則當(dāng)n=k+1時(shí),任取其中一條直線記為l,如圖,剩下的k條直線為l1,l2,…,lk.由歸納假設(shè)知,它們之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)=. 由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點(diǎn),所以直線l與l1,l2,l3,…,lk的交點(diǎn)共有k個(gè). ∴f(k+1)=f(k)+k =+k= ==. ∴當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立. 由(1)(2)可知,命題對(duì)一切n∈N+且n≥2成立. 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題時(shí),一定要清楚從n=k到n=k+1時(shí),新增加的量是多少.一般地,證明第二步時(shí),常用的方法是加1法,即在原來k的基礎(chǔ)上,再增加一個(gè),當(dāng)然我們也可以從k+1個(gè)中分出1個(gè)來,剩下的k個(gè)利用假設(shè). 5.求證:凸n邊形對(duì)角線條數(shù)f(n)=(n∈N+,n≥3). 證明:(1)當(dāng)n=3時(shí),即f(3)=0時(shí),三角形沒有對(duì)角線,命題成立. (2)假設(shè)n=k(k∈N+,k≥3)時(shí)命題成立,即凸k邊形對(duì)角線條數(shù)f(k)=.將凸k邊形A1A2…Ak在其外面增加一個(gè)新頂點(diǎn)Ak+1,得到凸k+1邊形A1A2…AkAk+1,Ak+1依次與A2,A3,…,Ak-1相連得到對(duì)角線k-2條,原凸k邊形的邊A1Ak變成了凸k+1邊形的一條對(duì)角線,則凸k+1邊形的對(duì)角線條數(shù)為 f(k)+k-2+1=+k-1= ==f(k+1), 即當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論正確. 根據(jù)(1)(2)可知,命題對(duì)任何n∈N+,n≥3都成立. 6.求證:平面內(nèi)有n(n≥2)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條直線不過同一點(diǎn),求證它們彼此互相分割成n2條線段(或射線). 證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),兩條直線不平行,彼此互相分割成4條射線,命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),命題成立,即k條滿足條件的直線彼此互相分割成k2條線段(或射線).那么n=k+1時(shí),取出其中一條直線為l,其余k條直線彼此互相分割成k2條線段(或射線), 直線l把這k條直線又一分為二,多出k條線段(或射線);l又被這k條直線分成k+1部分,所以這k+1條直線彼此互相分割成k2+k+k+1=(k+1)2條線段(或射線),即n=k+1時(shí),命題成立. 由(1)(2)知,命題成立. 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明中,在驗(yàn)證了n=1時(shí)命題正確,假定n=k時(shí)命題正確,此時(shí)k的取值范圍是( ) A.k∈N B.k>1,k∈N+ C.k≥1,k∈N+ D.k>2,k∈N+ 解析:選C 數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法,所以k是正整數(shù),又第一步是遞推的基礎(chǔ),所以k大于等于1. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在驗(yàn)證n=1時(shí),左邊計(jì)算所得的式子為( ) A.1 B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23. 解析:選D 當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+2+22+23. 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”,利用歸納法假設(shè)證明n=k+1時(shí),只需展開( ) A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 解析:選A 假設(shè)n=k時(shí),原式k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3為了能用上面的歸納假設(shè),只需將(k+3)3展開,讓其出現(xiàn)k3即可. 4.平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域,則f(n)的表達(dá)式為( ) A.n+1 B.2n C. D.n2+n+1 解析:選C 1條直線將平面分成1+1個(gè)區(qū)域;2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4個(gè)區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7個(gè)區(qū)域;…;n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=個(gè)區(qū)域. 5.觀察式子1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…猜想第n個(gè)式子應(yīng)為________. 答案:1-4+9-16+…+(-1)n-1n2=(-1)n+1 6.用數(shù)學(xué)歸納法證明:“14+27+310+…+n(3n+1)=n(n+1)2.n∈N+”時(shí),若n=1,則左端應(yīng)為________. 解析:n=1時(shí),左端應(yīng)為14=4. 答案:4 7.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸k+1邊形的內(nèi)角和f(k+1)=f(k)+________. 解析:由凸k邊形變?yōu)橥筴+1邊形時(shí),增加了一個(gè)三角形圖形.故f(k+1)=f(k)+π. 答案:π 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于整數(shù)n≥0,An=11n+2+122n+1能被133整除. 證明:(1)當(dāng)n=0時(shí),A0=112+12=133能被133整除. (2)假設(shè)n=k時(shí),Ak=11k+2+122k+1能被133整除. 當(dāng)n=k+1時(shí), Ak+1=11k+3+122k+3=1111k+2+122122k+1 =1111k+2+11122k+1+(122-11)122k+1 =11(11k+2+122k+1)+133122k+1. ∴n=k+1時(shí),命題也成立. 根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)于任意整數(shù)n≥0,命題都成立. 9.有n個(gè)圓,任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn),任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn),求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)=n2-n+2(n∈N+)個(gè)部分. 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n=1時(shí)命題成立. (2)假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)命題成立. 即k個(gè)圓把平面分成f(k)=k2-k+2個(gè)部分. 則n=k+1時(shí),在k+1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O,剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分,而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn),這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧,每段弧將原平面一分為二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k =(k+1)2-(k+1)+2. ∴當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立. 綜合(1)(2)可知,對(duì)一切n∈N+,命題成立. 10.試用n(n≥2,n∈N+)表示…的值,并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 解:當(dāng)n=2時(shí),原式=1-=; 當(dāng)n=3時(shí),原式==; 當(dāng)n=4時(shí),原式==. 猜想…=. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論. (1)當(dāng)n=2時(shí),易知結(jié)論成立. (2)假設(shè)n=k(k∈N+,k≥2)時(shí)結(jié)論成立, 即…=, 則當(dāng)n=k+1時(shí), … ===, 即當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論成立. 由(1)(2)可知對(duì)一切n∈N+,結(jié)論都成立.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請(qǐng)點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
9.9 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對(duì)作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 數(shù)學(xué)歸納法講義含解析新人教A版選修4-5 2018 2019 學(xué)年 高中數(shù)學(xué) 第四 數(shù)學(xué) 歸納法 證明 不等式 講義 解析 新人 選修
鏈接地址:http://appdesigncorp.com/p-6125481.html