2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法講義(含解析)新人教A版選修4-5.doc
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一 數(shù)學(xué)歸納法 1數(shù)學(xué)歸納法的概念先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如可取n01)時(shí)命題成立,然后假設(shè)當(dāng)nk(kN,kn0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法2數(shù)學(xué)歸納法適用范圍數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明3數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題步驟(1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如取n01或2等)時(shí)命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN,kn0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立由此可以斷定,對(duì)于任意不小于n0的正整數(shù)n,命題都成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例1用數(shù)學(xué)歸納法證明12223242(1)n1n2(1)n1.思路點(diǎn)撥首先判斷第1步是否滿足,然后考慮由nk到nk1時(shí)增加了哪些項(xiàng),進(jìn)行分析變形,從而證明等式證明(1)當(dāng)n1時(shí),左邊121,右邊(1)01,所以等式成立(2)假設(shè)nk(kN,k1)時(shí),等式成立,即有12223242(1)k1k2(1)k1.那么,當(dāng)nk1時(shí),則有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k,所以nk1時(shí),等式也成立由(1)(2)得對(duì)任意nN,有12223242(1)n1n2(1)n1.利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時(shí)要注意兩點(diǎn):一是要準(zhǔn)確表述nn0時(shí)命題的形式,二是要準(zhǔn)確把握由nk到nk1時(shí),命題結(jié)構(gòu)的變化特點(diǎn)并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時(shí),必須使用歸納假設(shè)1在用數(shù)學(xué)歸納法證明,對(duì)任意的正偶數(shù)n,均有12成立時(shí),(1)第一步檢驗(yàn)的初始值n0是多少?(2)第二步歸納假設(shè)n2k時(shí)(kN)等式成立,需證明n為何值時(shí),方具有遞推性;(3)若第二步歸納假設(shè)nk(k為正偶數(shù))時(shí)等式成立,需證明n為何值時(shí),等式成立解:(1)n0為2.此時(shí)左邊為1,右邊為2.(2)假設(shè)n2k(kN)時(shí),等式成立,就需證明n2k2(即下一個(gè)偶數(shù))時(shí),命題也成立(3)若假設(shè)nk(k為正偶數(shù))時(shí),等式成立,就需證明nk2(即k的下一個(gè)正偶數(shù))時(shí),命題也成立2用數(shù)學(xué)歸納法證明:(nN)證明:(1)當(dāng)n1時(shí),左邊,右邊,左邊右邊,等式成立(2)假設(shè)nk(kN,k1)時(shí),等式成立即,當(dāng)nk1時(shí),左邊,當(dāng)nk1時(shí),等式也成立由(1)(2)知對(duì)任意nN,等式成立用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題例2求證:an1(a1)2n1能被a2a1整除(nN)證明(1)當(dāng)n1時(shí),a2(a1)a2a1,可被a2a1整除(2)假設(shè)nk(kN,k1)時(shí),ak1(a1)2k1能被a2a1整除,則當(dāng)nk1時(shí),ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1,由假設(shè)可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除,所以ak2(a1)2k1能被a2a1整除,即nk1時(shí)命題也成立由(1)(2)可知命題對(duì)所有nN都成立利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除時(shí),關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式這就往往要涉及到“添項(xiàng)”“減項(xiàng)”“因式分解”等變形技巧,湊出nk時(shí)的情形,從而利用歸納假設(shè)使問(wèn)題得證3用數(shù)學(xué)歸納法證明:(3n1)7n1(nN)能被9整除證明:(1)當(dāng)n1時(shí),47127能被9整除命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立,即(3k1)7k1能被9整除,當(dāng)nk1時(shí),(3k3)17k113k1377k17(3k1)7k1217k(3k1)7k118k7k67k217k(3k1)7k118k7k277k,由歸納假設(shè)(3k1)7k1能被9整除,又因?yàn)?18k7k277k也能被9整除,所以3(k1)17k11能被9整除,即nk1時(shí)命題成立則由(1)(2)可知對(duì)所有正整數(shù)n命題成立4用數(shù)學(xué)歸納法證明:1(3x)n(nN)能被x2整除證明:(1)n1時(shí),1(3x)(x2),能被x2整除,命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時(shí),1(3x)n能被x2整除,則可設(shè)1(3x)k(x2)f(x)(f(x)為k1次多項(xiàng)式),當(dāng)nk1時(shí),1(3x)k11(3x)(3x)k1(3x)1(x2)f(x)1(3x)(x2)(3x)f(x)(x2)(x2)(3x)f(x)(x2)1(3x)f(x),能被x2整除,即當(dāng)nk1時(shí)命題成立由(1)(2)可知,對(duì)nN,1(3x)n能被x2整除.用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題例3平面上有n(n2,且nN)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條不過(guò)同一點(diǎn),求證:這n條直線共有f(n)個(gè)交點(diǎn)思路點(diǎn)撥本題考查數(shù)學(xué)歸納法在證明幾何命題中的應(yīng)用,解答本題應(yīng)搞清交點(diǎn)隨n的變化而變化的規(guī)律,然后采用數(shù)學(xué)歸納法證明證明(1)當(dāng)n2時(shí),符合條件是兩直線只有1個(gè)交點(diǎn),又f(2)2(21)1.當(dāng)n2時(shí),命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN)時(shí)命題成立,就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)k(k1),則當(dāng)nk1時(shí),任取其中一條直線記為l,如圖,剩下的k條直線為l1,l2,lk.由歸納假設(shè)知,它們之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k).由于l與這k條直線均相交且任意三條不過(guò)同一點(diǎn),所以直線l與l1,l2,l3,lk的交點(diǎn)共有k個(gè)f(k1)f(k)kk.當(dāng)nk1時(shí),命題成立由(1)(2)可知,命題對(duì)一切nN且n2成立用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題時(shí),一定要清楚從nk到nk1時(shí),新增加的量是多少一般地,證明第二步時(shí),常用的方法是加1法,即在原來(lái)k的基礎(chǔ)上,再增加一個(gè),當(dāng)然我們也可以從k1個(gè)中分出1個(gè)來(lái),剩下的k個(gè)利用假設(shè)5求證:凸n邊形對(duì)角線條數(shù)f(n)(nN,n3)證明:(1)當(dāng)n3時(shí),即f(3)0時(shí),三角形沒(méi)有對(duì)角線,命題成立(2)假設(shè)nk(kN,k3)時(shí)命題成立,即凸k邊形對(duì)角線條數(shù)f(k).將凸k邊形A1A2Ak在其外面增加一個(gè)新頂點(diǎn)Ak1,得到凸k1邊形A1A2AkAk1,Ak1依次與A2,A3,Ak1相連得到對(duì)角線k2條,原凸k邊形的邊A1Ak變成了凸k1邊形的一條對(duì)角線,則凸k1邊形的對(duì)角線條數(shù)為f(k)k21k1f(k1),即當(dāng)nk1時(shí),結(jié)論正確根據(jù)(1)(2)可知,命題對(duì)任何nN,n3都成立6求證:平面內(nèi)有n(n2)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn),求證它們彼此互相分割成n2條線段(或射線)證明:(1)當(dāng)n2時(shí),兩條直線不平行,彼此互相分割成4條射線,命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí),命題成立,即k條滿足條件的直線彼此互相分割成k2條線段(或射線)那么nk1時(shí),取出其中一條直線為l,其余k條直線彼此互相分割成k2條線段(或射線),直線l把這k條直線又一分為二,多出k條線段(或射線);l又被這k條直線分成k1部分,所以這k1條直線彼此互相分割成k2kk1(k1)2條線段(或射線),即nk1時(shí),命題成立由(1)(2)知,命題成立1數(shù)學(xué)歸納法證明中,在驗(yàn)證了n1時(shí)命題正確,假定nk時(shí)命題正確,此時(shí)k的取值范圍是()AkNBk1,kNCk1,kN Dk2,kN解析:選C數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法,所以k是正整數(shù),又第一步是遞推的基礎(chǔ),所以k大于等于1.2用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n22n31”,在驗(yàn)證n1時(shí),左邊計(jì)算所得的式子為()A1 B12C1222 D122223.解析:選D當(dāng)n1時(shí),左邊122223.3用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除”,利用歸納法假設(shè)證明nk1時(shí),只需展開(kāi)()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)3解析:選A假設(shè)nk時(shí),原式k3(k1)3(k2)3能被9整除,當(dāng)nk1時(shí),(k1)3(k2)3(k3)3為了能用上面的歸納假設(shè),只需將(k3)3展開(kāi),讓其出現(xiàn)k3即可4平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域,則f(n)的表達(dá)式為()An1 B2nC. Dn2n1解析:選C1條直線將平面分成11個(gè)區(qū)域;2條直線最多可將平面分成1(12)4個(gè)區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1(123)7個(gè)區(qū)域;n條直線最多可將平面分成1(123n)1個(gè)區(qū)域5觀察式子11,14(12),149123,猜想第n個(gè)式子應(yīng)為_(kāi)答案:14916(1)n1n2(1)n16用數(shù)學(xué)歸納法證明:“1427310n(3n1)n(n1)2.nN”時(shí),若n1,則左端應(yīng)為_(kāi)解析:n1時(shí),左端應(yīng)為144.答案:47記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)_.解析:由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時(shí),增加了一個(gè)三角形圖形故f(k1)f(k).答案:8用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于整數(shù)n0,An11n2122n1能被133整除證明:(1)當(dāng)n0時(shí),A011212133能被133整除(2)假設(shè)nk時(shí),Ak11k2122k1能被133整除當(dāng)nk1時(shí),Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1.nk1時(shí),命題也成立根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)于任意整數(shù)n0,命題都成立9有n個(gè)圓,任意兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn),任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn),求證這n個(gè)圓將平面分成f(n)n2n2(nN)個(gè)部分證明:(1)當(dāng)n1時(shí),一個(gè)圓將平面分成兩個(gè)部分,且f(1)1122,所以n1時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk(k1)時(shí)命題成立即k個(gè)圓把平面分成f(k)k2k2個(gè)部分則nk1時(shí),在k1個(gè)圓中任取一個(gè)圓O,剩下的k個(gè)圓將平面分成f(k)個(gè)部分,而圓O與k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn),這2k個(gè)點(diǎn)將圓O分成2k段弧,每段弧將原平面一分為二,故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.當(dāng)nk1時(shí),命題成立綜合(1)(2)可知,對(duì)一切nN,命題成立10試用n(n2,nN)表示的值,并用數(shù)學(xué)歸納法證明解:當(dāng)n2時(shí),原式1;當(dāng)n3時(shí),原式;當(dāng)n4時(shí),原式.猜想.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論(1)當(dāng)n2時(shí),易知結(jié)論成立(2)假設(shè)nk(kN,k2)時(shí)結(jié)論成立,即,則當(dāng)nk1時(shí), 即當(dāng)nk1時(shí),結(jié)論成立由(1)(2)可知對(duì)一切nN,結(jié)論都成立- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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