2019-2020年人教版高中數(shù)學必修三教案：3-2-1 古典概型.doc

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2019-2020年人教版高中數(shù)學必修三教案：3-2-1 古典概型 項目 內(nèi)容 課題 3.2.1 古典概型 （共 1 課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 1.根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學生的實際水平,通過模擬試驗讓學生理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性,觀察類比各個試驗,正確理解古典概型的兩大特點；樹立從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義觀點,培養(yǎng)學生用隨機的觀點來理性地理解世界,使得學生在體會概率意義的同時,感受與他人合作的重要性以及初步形成實事求是的科學態(tài)度和鍥而不舍的求學精神. 2.鼓勵學生通過觀察、類比,提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力,歸納總結(jié)出古典概型的概率計算公式,掌握古典概型的概率計算公式；注意公式：P（A）=的使用條件——古典概型,體現(xiàn)了化歸的重要思想.掌握列舉法,學會運用分類討論的思想解決概率的計算問題,增強學生數(shù)學思維情趣,形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度. 教學重、 難點 教學重點：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率. 教學難點：如何判斷一個試驗是否是古典概型,分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù). 教學 準備 多媒體課件 教學過程 導入新課 (1)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,結(jié)果只有2個,即“正面朝上”或“反面朝上”,它們都是隨機事件. (2)一個盒子中有10個完全相同的球,分別標以號碼1,2,3,…,10,從中任取一球,只有10種不同的結(jié)果,即標號為1,2,3，…,10. 思考討論根據(jù)上述情況,你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點？ 為此我們學習古典概型,教師板書課題. 推進新課 新知探究 提出問題 試驗一：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,分別記錄“正面朝上”和“反面朝上”的次數(shù),要求每個數(shù)學小組至少完成20次（最好是整十數(shù)）,最后由學科代表匯總； 試驗二：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,分別記錄“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”和“6點”的次數(shù),要求每個數(shù)學小組至少完成60次（最好是整十數(shù)）,最后由學科代表匯總. （1）用模擬試驗的方法來求某一隨機事件的概率好不好？為什么？ （2）根據(jù)以前的學習,上述兩個模擬試驗的每個結(jié)果之間都有什么特點？ （3）什么是基本事件？基本事件具有什么特點？ （4）什么是古典概型？它具有什么特點？ （5）對于古典概型,應怎樣計算事件的概率？ 活動：學生展示模擬試驗的操作方法和試驗結(jié)果,并與同學交流活動感受,討論可能出現(xiàn)的情況,師生共同匯總方法、結(jié)果和感受. 討論結(jié)果：（1）用模擬試驗的方法來求某一隨機事件的概率不好,因為需要進行大量的試驗,同時我們只是把隨機事件出現(xiàn)的頻率近似地認為隨機事件的概率,存在一定的誤差. （2）上述試驗一的兩個結(jié)果是“正面朝上”和“反面朝上”,它們都是隨機事件,出現(xiàn)的概率是相等的,都是0.5.上述試驗二的6個結(jié)果是“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”和“6點”,它們也都是隨機事件,出現(xiàn)的概率是相等的,都是. （3）根據(jù)以前的學習,上述試驗一的兩個結(jié)果“正面朝上”和“反面朝上”,它們都是隨機事件；上述試驗二的6個結(jié)果“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”和“6點”,它們都是隨機事件,像這類隨機事件我們稱為基本事件（elementary event）；它是試驗的每一個可能結(jié)果. 基本事件具有如下的兩個特點： ①任何兩個基本事件是互斥的； ②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. （4）在一個試驗中如果 ①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（有限性） ②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.（等可能性） 我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型（classical models of probability）,簡稱古典概型. 向一個圓面內(nèi)隨機地投射一個點,如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的,你認為這是古典概型嗎?為什么？ 因為試驗的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)所有的點,試驗的所有可能結(jié)果數(shù)是無限的,雖然每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的“可能性相同”,但這個試驗不滿足古典概型的第一個條件. 如下圖,某同學隨機地向一靶心進行射擊,這一試驗的結(jié)果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán).你認為這是古典概型嗎？為什么？ 不是古典概型,因為試驗的所有可能結(jié)果只有7個,而命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的,即不滿足古典概型的第二個條件. （5）古典概型,隨機事件的概率計算 對于實驗一中,出現(xiàn)正面朝上的概率與反面朝上的概率相等,即 P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”） 由概率的加法公式,得 P（“正面朝上”）+P（“反面朝上”）=P（必然事件）=1. 因此 P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）=. 即P（“出現(xiàn)正面朝上”)=. 試驗二中,出現(xiàn)各個點的概率相等,即 P（“1點”）=P（“2點”）=P（“3點”）=P（“4點”）=P（“5點”）=P（“6點”）. 反復利用概率的加法公式,我們有P（“1點”）+P（“2點”）+P（“3點”）+P（“4點”）+P（“5點”）+P（“6點”）=P（必然事件）=1. 所以P（“1點”）=P（“2點”）=P（“3點”）=P（“4點”）=P（“5點”）=P（“6點”）=. 進一步地,利用加法公式還可以計算這個試驗中任何一個事件的概率,例如, P（“出現(xiàn)偶數(shù)點”）=P（“2點”）+P（“4點”）+P（“6點”）=++==. 即P（“出現(xiàn)偶數(shù)點”）=. 因此根據(jù)上述兩則模擬試驗,可以概括總結(jié)出,古典概型計算任何事件的概率計算公式為： P（A）=. 在使用古典概型的概率公式時,應該注意： ①要判斷該概率模型是不是古典概型； ②要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù). 下面我們看它們的應用. 應用示例 例1 從字母a,b,c,d中任意取出兩個不同字母的試驗中,有哪些基本事件？ 活動：師生交流或討論,我們可以按照字典排序的順序,把所有可能的結(jié)果都列出來. 解：基本事件共有6個: A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c,d}. 點評：一般用列舉法列出所有基本事件的結(jié)果,畫樹狀圖是列舉法的基本方法. 分布完成的結(jié)果(兩步以上)可以用樹狀圖進行列舉. 變式訓練 用不同的顏色給下圖中的3個矩形隨機地涂色,每個矩形只涂一種顏色,求: (1)3個矩形顏色都相同的概率； (2)3個矩形顏色都不同的概率. 分析：本題中基本事件比較多,為了更清楚地枚舉出所有的基本事件,可以畫圖枚舉如下：（樹形圖） 解：基本事件共有27個. (1)記事件A=“3個矩形涂同一種顏色”,由上圖可以知道事件A包含的基本事件有13=3個,故P(A)=. (2)記事件B=“3個矩形顏色都不同”,由上圖可以知道事件B包含的基本事件有23=6個,故P(B)=. 答：3個矩形顏色都相同的概率為；3個矩形顏色都不同的概率為. 例2 單選題是標準化考試中常用的題型,一般是從A,B,C,D四個選項中選擇一個正確答案.如果考生掌握了考查的內(nèi)容,他可以選擇唯一正確的答案.假設考生不會做,他隨機地選擇一個答案,問他答對的概率是多少？ 活動：學生閱讀題目,搜集信息,交流討論,教師引導,解決這個問題的關(guān)鍵,即討論這個問題什么情況下可以看成古典概型.如果學生掌握或者掌握了部分考查內(nèi)容,這都不滿足古典概型的第2個條件——等可能性,因此,只有在假定學生不會做,隨機地選擇了一個答案的情況下,才可以化為古典概型. 解：這是一個古典概型,因為試驗的可能結(jié)果只有4個：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D,即基本事件共有4個,考生隨機地選擇一個答案是選擇A,B,C,D的可能性是相等的.從而由古典概型的概率計算公式得：P（“答對”）==0.25. 點評：古典概型解題步驟: （1）閱讀題目,搜集信息； （2）判斷是否是等可能事件,并用字母表示事件； （3）求出基本事件總數(shù)n和事件A所包含的結(jié)果數(shù)m； （4）用公式P(A)=求出概率并下結(jié)論. 變式訓練 1.兩枚均勻硬幣,求出現(xiàn)兩個正面的概率. 解：樣本空間：{甲正乙正,甲正乙反,甲反乙正,甲反乙反}. 這里四個基本事件是等可能發(fā)生的,故屬古典概型. n=4,m=1,P=. 2.一次投擲兩顆骰子,求出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率. 解法一:設表示“出現(xiàn)點數(shù)之和為奇數(shù)”,用(i,j)記“第一顆骰子出現(xiàn)i點, 第二顆骰子出現(xiàn)j點”,i,j=1,2,…6.顯然出現(xiàn)的36個基本事件組成等概樣本空間,其中A包含的基本事件個數(shù)為k=33+33=18,故P(A)=. 解法二:若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為：（奇,奇）,（奇,偶）,（偶,奇）,（偶,偶）,則它們也組成等概率樣本空間.基本事件總數(shù)n=4,A包含的基本事件個數(shù)k=2,故P(A)=. 解法三:若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為：{點數(shù)和為奇數(shù)},{點數(shù)和為偶數(shù)},也組成等概率樣本空間,基本事件總數(shù)n=2,A所含基本事件數(shù)為1,故P(A)=. 注：找出的基本事件組構(gòu)成的樣本空間,必須是等概率的.解法2中倘若解為：（兩個奇）,（一奇一偶）,（兩個偶）當作基本事件組成樣本空間,則得出P(A)=,錯的原因就是它不是等概率的.例如P（兩個奇）=,而P（一奇一偶）=.本例又告訴我們,同一問題可取不同的樣本空間解答. 例3 同時擲兩個骰子,計算： (1)一共有多少種不同的結(jié)果? (2)其中向上的點數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種? (3)向上的點數(shù)之和是5的概率是多少? 解：(1)擲一個骰子的結(jié)果有6種.我們把兩個骰子標上記號1,2以便區(qū)分,由于1號骰子的每一個結(jié)果都可與2號骰子的任意一個結(jié)果配對,組成同時擲兩個骰子的一個結(jié)果,因此同時擲兩個骰子的結(jié)果共有36種. (2)在上面的所有結(jié)果中,向上的點數(shù)之和為5的結(jié)果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一個數(shù)表示1號骰子的結(jié)果,第二個數(shù)表示2號骰子的結(jié)果. (3)由于所有36種結(jié)果是等可能的,其中向上點數(shù)之和為5的結(jié)果(記為事件A)有4種,因此,由古典概型的概率計算公式可得P(A)=. 例4 假設儲蓄卡的密碼由4個數(shù)字組成,每個數(shù)字可以是0,1,2,…,9十個數(shù)字中的任意一個.假設一個人完全忘記了自己的儲蓄卡密碼,問他到自動取款機上隨機試一次密碼就能取到錢的概率是多少? 解：一個密碼相當于一個基本事件,總共有10 000個基本事件,它們分別是0000,0001,0002,…,9998,9999.隨機地試密碼,相當于試到任何一個密碼的可能性都是相等的,所以這是一個古典概型.事件“試一次密碼就能取到錢”由1個基本事件構(gòu)成,即由正確的密碼構(gòu)成.所以P(“試一次密碼就能取到錢”)=. 發(fā)生概率為的事件是小概率事件,通常我們認為這樣的事件在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的,也就是通過隨機試驗的方法取到儲蓄卡中的錢的概率是很小的.但我們知道,如果試驗很多次,比如100 000次,那么這個小概率事件是可能發(fā)生的.所以,為了安全,自動取款機一般允許取款人最多試3次密碼,如果第4次鍵入的號碼仍是錯誤的,那么取款機將“沒收”儲蓄卡.另外,為了使通過隨機試驗的方法取到儲蓄卡中的錢的概率更小,現(xiàn)在儲蓄卡可以使用6位數(shù)字作密碼. 人們?yōu)榱朔奖阌洃?通常用自己的生日作為儲蓄卡的密碼.當錢包里既有身份證又有儲蓄卡時,密碼泄密的概率很大.因此用身份證上的號碼作密碼是不安全的. 例5 某種飲料每箱裝6聽,如果其中有2聽不合格,問質(zhì)檢人員從中隨機抽出2聽,檢測出不合格產(chǎn)品的概率有多大? 解：我們把每聽飲料標上號碼,合格的4聽分別記作:1,2,3,4,不合格的2聽分別記作a,b,只要檢測的2聽中有1聽不合格,就表示查出了不合格產(chǎn)品. 依次不放回地從箱中取出2聽飲料,得到的兩個標記分別記為x和y,則(x,y)表示一次抽取的結(jié)果,即基本事件.由于是隨機抽取,所以抽取到任何基本事件的概率相等.用A表示“抽出的2聽飲料中有不合格產(chǎn)品”,A1表示“僅第一次抽出的是不合格產(chǎn)品”,A2表示“僅第二次抽出的是不合格產(chǎn)品”,A12表示“兩次抽出的都是不合格產(chǎn)品”,則A1,A2和A12是互不相容的事件,且A=A1∪A2∪A12,從而P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A12). 因為A1中的基本事件的個數(shù)為8,A2中的基本事件的個數(shù)為8,A12中的基本事件的個數(shù)為2,全部基本事件的總數(shù)為30,所以P(A)==0.6. 知能訓練 本節(jié)練習1、2、3. 拓展提升 一個各面都涂有色彩的正方體,被鋸成1 000個同樣大小的小正方體,將這些正方體混合后,從中任取一個小正方體,求：（1）有一面涂有色彩的概率；（2）有兩面涂有色彩的概率；（3）有三面涂有色彩的概率. 解：在1 000個小正方體中,一面涂有色彩的有826個,兩面涂有色彩的有812個,三面涂有色彩的有8個,∴（1）有一面涂有色彩的概率為P1==0.384； （2）有兩面涂有色彩的概率為P2==0.096； （3）有三面涂有色彩的概率為P3==0.008. 答：（1）一面涂有色彩的概率為0.384；（2）有兩面涂有色彩的概率為0.096；（3）有三面涂有色彩的概率為0.008. 課堂小結(jié) 1.古典概型 我們將具有 （1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（有限性） （2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.（等可能性） 這樣兩個特點的概率模型稱為古典概率概型,簡稱古典概型. 2.古典概型計算任何事件的概率計算公式 P（A）=. 3.求某個隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和實驗中基本事件的總數(shù)的常用方法是列舉法（畫樹狀圖和列表）,應做到不重不漏. 作業(yè) 習題3.2 A組1、2、3、4. 板書設計 教學反思 本節(jié)課的教學通過提出問題,引導學生發(fā)現(xiàn)問題,經(jīng)歷思考交流概括歸納后得出古典概型的概念,由兩個問題的提出進一步加深對古典概型的兩個特點的理解；再通過學生觀察類比推導出古典概型的概率計算公式.這一過程能夠培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力. 在解決概率的計算上,教師鼓勵學生嘗試列表和畫出樹狀圖,讓學生感受求基本事件個數(shù)的一般方法,從而化解由于沒有學習排列組合而學習概率這一教學困惑.由此,整個教學設計可以在教師的期盼中實施.