《新編高考數(shù)學(xué)文復(fù)習(xí)檢測(cè):選修4-5 不等式選講 課時(shí)作業(yè)69 Word版含答案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)文復(fù)習(xí)檢測(cè):選修4-5 不等式選講 課時(shí)作業(yè)69 Word版含答案(3頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時(shí)作業(yè)69 不等式的證明
1.(1)已知a,b都是正數(shù),且a≠b,求證:a3+b3>a2b+ab2;
(2)已知a,b,c都是正數(shù),求證:≥abc.
證明:(1)(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2.
因?yàn)閍,b都是正數(shù),所以a+b>0.
又因?yàn)閍≠b,所以(a-b)2>0.
于是(a+b)(a-b)2>0,即(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,所以a3+b3>a2b+ab2.
(2)因?yàn)閎2+c2≥2bc,a2>0,所以a2(b2+c2)≥2a2bc. ①
同理b2(a2+c2)≥2ab2c,?、?
c2(a2+b2)≥2abc2.
①②
2、③相加得2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2a2bc+2ab2c+2abc2,
從而a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
由a,b,c都是正數(shù),得a+b+c>0,
因此≥abc.
2.已知函數(shù)f(x)=2x,x1,x2是任意實(shí)數(shù)且x1≠x2,證明:
[f(x1)+f(x2)]>f.
證明:[f(x1)+f(x2)]-f
=
=[2+2-2×2]
=[2-2·2-2·2+2]
=[2 (2-2)-2 (2-2)]
=(2-2)(2-2)=(2-2)2.
因?yàn)閤1≠x2,2≠2,所以(2-2)2>0,即[f(x1)+f(x2)]-f>0,所以[f(x1)+
3、f(x2)]>f.
3.設(shè)a>0,b>0,且a+b=+.證明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立.
證明:由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.
(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立.
(2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立,
則由a2+a<2及a>0得00,b>0,c>0.若函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為
4、2.
(1)求a+b+c的值;
(2)求++的最小值.
解:(1)因?yàn)閒(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,當(dāng)且僅當(dāng)-a≤x≤b時(shí),等號(hào)成立,又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值為a+b+c,所以a+b+c=2.
(2)由(1)知a+b+c=2,所以++=(++)×=×[3+(+)+(+)+(+)]≥×(3+2+2+2)=,當(dāng)且僅當(dāng)=,=,=,即a=b=c=時(shí),等號(hào)成立.所以++的最小值為.
2.(20xx·昆明檢測(cè))已知函數(shù)
f(x)=.
(1)求函數(shù)f(x)的值域;
(2)若函數(shù)f(x)的值域是[m,
5、n],且a2+b2=m,c2+d2=n,求ac+bd的取值范圍.
解:(1)設(shè)g(x)=|x+3|-|x-1|+5,則g(x)=,所以g(x)∈[1,9].所以函數(shù)f(x)的值域是[1,3].
(2)由(1)知a2+b2=1,c2+d2=3,由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),取等號(hào),即(ac+bd)2≤3,解得-≤ac+bd≤,所以ac+bd∈[-,].
3.(20xx·衡陽(yáng)二聯(lián))已知函數(shù)f(x)=|x-3|.
(1)若不等式f(x-1)+f(x)f().
證明:要證 >f(),只需證|ab-3|
>|b-3a|,即證(ab-3)2>(b-3a)2,又(ab-3)2-(b-3a)2=a2b2-9a2-b2+9=(a2-1)(b2-9).因?yàn)閨a|<1,|b|<3,所以(ab-3)2>(b-3a)2成立,所以原不等式成立.