2018年秋高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第1課時(shí) 組合與組合數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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第1課時(shí) 組合與組合數(shù)公式 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解組合與組合數(shù)的概念．(重點(diǎn))2.會(huì)推導(dǎo)組合數(shù)公式，并會(huì)應(yīng)用公式求值．(重點(diǎn))3.理解組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，并會(huì)求值、化簡(jiǎn)和證明．(難點(diǎn)、易混點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．組合的概念 一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合． 思考：怎樣理解組合，它與排列有何區(qū)別？ [提示] (1)組合要求n個(gè)元素是不同的，被取的m個(gè)元素也是不同的，即從n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出． (2)取出的m個(gè)元素不講究順序，也就是說(shuō)元素沒(méi)有位置的要求，無(wú)序性是組合的特點(diǎn)． (3)辨別一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換某一問(wèn)題中某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問(wèn)題，否則就是組合問(wèn)題． 2．組合數(shù)的概念 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)． 思考：如何理解組合與組合數(shù)這兩個(gè)概念？ [提示] 同“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念一樣，“組合”與“組合數(shù)”也是兩個(gè)不同的概念，“組合”是指“從n個(gè)不同元素中取m(m≤n)個(gè)元素合成一組”，它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；“組合數(shù)”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù)．例如，從3個(gè)不同元素a，b，c中每次取出兩個(gè)元素的組合為ab，ac，bc，其中每一種都叫一個(gè)組合，這些組合共有3個(gè)，則組合數(shù)為3. 3．組合數(shù)公式及其性質(zhì) (1)公式：C＝＝. (2)性質(zhì)：C＝C_，C＋C＝C. (3)規(guī)定：C＝1. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同． ( ) (2)從a1，a2，a3三個(gè)不同元素中任取兩個(gè)元素組成一個(gè)組合，所有組合的個(gè)數(shù)為C. ( ) (3)從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會(huì)調(diào)查，有多少種不同的選法是組合問(wèn)題． ( ) (4)從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名，有3種不同的選法． ( ) (5)現(xiàn)有4枚2015年抗戰(zhàn)勝利70周年紀(jì)念幣送給10人中的4人留念，有多少種送法是排列問(wèn)題． ( ) [解析] (1)√ 因?yàn)橹灰獌蓚€(gè)組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合． (2)√ 由組合數(shù)的定義可知正確． (3) 因?yàn)檫x出2名同學(xué)還要分到不同的兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，這是排列問(wèn)題． (4)√ 因?yàn)閺募?、乙、?人中選兩名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3個(gè)組合，即有3種不同選法． (5) 因?yàn)閷?枚紀(jì)念幣送與4人并無(wú)順序，故該問(wèn)題是組合問(wèn)題． [答案] (1)√ (2)√ (3) (4)√ (5) 2．若C＝28，則n＝( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032046】 A．9 B．8 C．7 D．6 B [C＝＝28，解得n＝8.] 3．甲、乙、丙三地之間有直達(dá)的火車，相互之間的距離均不相等，則車票票價(jià)的種數(shù)是________． 3 [甲、乙、丙三地之間的距離不等，故票價(jià)不同，同距離兩地票價(jià)相同，故該問(wèn)題為組合問(wèn)題，不同票價(jià)的種數(shù)為C＝＝3.] 4．C＝________，C＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032047】 15 18 [C＝＝15，C＝C＝18.] [合 作 探 究攻 重 難] 組合的概念 (1)判斷下列問(wèn)題是組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題： ①設(shè)集合A＝{a，b，c，d，e}，則集合A的子集中含有3個(gè)元素的有多少個(gè)？ ②某鐵路線上有5個(gè)車站，則這條線上共需準(zhǔn)備多少種車票？多少種票價(jià)？ ③2018年元旦期間，某班10名同學(xué)互送賀年卡，表示新年的祝福，賀年卡共有多少?gòu)垼? (2)已知A，B，C，D，E五個(gè)元素，寫出每次取出3個(gè)元素的所有組合. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032048】 [思路點(diǎn)撥] 要確定是組合還是排列問(wèn)題，只需確定取出的元素是否與順序有關(guān)． [解] (1)①因?yàn)楸締?wèn)題與元素順序無(wú)關(guān)，故是組合問(wèn)題． ②因?yàn)榧渍镜揭艺?，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問(wèn)題，但票價(jià)與順序無(wú)關(guān)，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價(jià)，故是組合問(wèn)題． ③甲寫給乙賀卡，與乙寫給甲賀卡是不同的，所以與順序有關(guān)，是排列問(wèn)題． (2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD順序?qū)懗?，? 所以所有組合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. [規(guī)律方法] 1．區(qū)分一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵是看它有無(wú)“順序”，有順序就是排列問(wèn)題，而無(wú)順序就是組合問(wèn)題．而要判定它是否有順序的方法是：先將元素取出來(lái)，看交換元素的順序?qū)Y(jié)果有無(wú)影響，有影響就是“有序”，也就是排列問(wèn)題；沒(méi)有影響就是“無(wú)序”，也就是組合問(wèn)題． 2．寫組合時(shí)，一般先將元素按一定的順序排好，然后按照順序用圖示的方法逐個(gè)地將各個(gè)組合表示出來(lái)，如本題的作法，這樣做直觀、明了、清楚，以防重復(fù)和遺漏． [跟蹤訓(xùn)練] 1．(1)判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題： ①把當(dāng)日動(dòng)物園的4張門票分給5個(gè)人，每人至多分一張，而且票必須分完，有多少種分配方法？ ②從2,3,5,7,11這5個(gè)質(zhì)數(shù)中，每次取2個(gè)數(shù)分別作為分子和分母構(gòu)成一個(gè)分?jǐn)?shù)，共能構(gòu)成多少個(gè)不同的分?jǐn)?shù)？ ③從9名學(xué)生中選出4名參加一個(gè)聯(lián)歡會(huì)，有多少種不同的選法？ (2)已知a，b，c，d這四個(gè)元素，寫出每次取出2個(gè)元素的所有組合． [解] (1)①是組合問(wèn)題．由于4張票是相同的(都是當(dāng)日動(dòng)物園的門票)，不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人，這和順序無(wú)關(guān)． ②是排列問(wèn)題，選出的2個(gè)數(shù)作分子或分母，結(jié)果是不同的． ③是組合問(wèn)題，選出的4人無(wú)角色差異，不需要排列他們的順序． (2)可按a→b→c→d順序?qū)懗觯? 所以所有組合為ab，ac，ad，bc，bd，cd. 組合數(shù)公式的應(yīng)用 (1)計(jì)算C－CA； (2)計(jì)算C＋C. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032049】 [思路探究] 解答此類問(wèn)題要恰當(dāng)選擇組合數(shù)公式，并注意使用組合數(shù)公式的隱含條件． [解] (1)原式＝－(321)＝210－210＝0. 當(dāng)n＝4時(shí)，原式＝C＋C＝5， 當(dāng)n＝5時(shí)，原式＝C＋C＝16. [規(guī)律方法] 1．在具體選擇公式時(shí)，要根據(jù)原題的特點(diǎn)，一般地，公式C＝常用于n為具體數(shù)的數(shù)目，偏向于組合數(shù)的計(jì)算，公式C＝常用于n為字母的題目，偏向于解不等式或證明恒等式． 2．解題時(shí)，一定不要忘記組合數(shù)的意義． [跟蹤訓(xùn)練] 2．求值：C＋C. [解] 由組合數(shù)的公式的性質(zhì)， 解得n＝6. 所以，原式＝C＋C ＝C＋C ＝12＋19＝31. 組合數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用 [探究問(wèn)題] 1．試用兩種方法求：從a，b，c，d，e 5人中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，2人參加英語(yǔ)競(jìng)賽，共有多少種選法？你有什么發(fā)現(xiàn)？你能得到一般結(jié)論嗎？ [提示] 法一：從5人中選出3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，剩余2人參加英語(yǔ)競(jìng)賽，共C＝＝10(種)選法． 法二：從5人中選出2人參加英語(yǔ)競(jìng)賽，剩余3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共C＝＝10(種)不同選法． 經(jīng)求解發(fā)現(xiàn)C＝C.推廣到一般結(jié)論有C＝C. 2．從含有隊(duì)長(zhǎng)的10名排球隊(duì)員中選出6人參加比賽，共有多少種選法？ [提示] 共有C＝＝210(種)選法． 3．在探究2中，若隊(duì)長(zhǎng)必須參加，有多少種選法？若隊(duì)長(zhǎng)不能參加有多少種選法？由探究2、3，你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？你能推廣到一般結(jié)論嗎？ [提示] 若隊(duì)長(zhǎng)必須參加，共C＝126(種)選法．若隊(duì)長(zhǎng)不能參加，共C＝84(種)選法． 由探究2、3發(fā)現(xiàn)從10名隊(duì)員中選出6人可分為隊(duì)長(zhǎng)參賽與隊(duì)長(zhǎng)不參賽兩類，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得：C＝C＋C. 一般地：C＝C＋C. (1)計(jì)算：C＋C＋C＝________； (2)若C>C，則n的取值集合是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032050】 [思路探究] 恰當(dāng)選擇組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求值、解方程與解不等式． (1)5 050 (2){6,7,8,9} [(1)C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝5 050. (2)由C>C，得>，所以n2－9n－10<0，得－1下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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