2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明練習(xí) 文.doc

第十二章推理與證明考綱解讀考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測熱度1.合情推理與演繹推理1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行簡單的推理3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異2017課標(biāo)全國,9;2017北京,14;2016課標(biāo)全國,16;2016北京,8;2016山東,12選擇題、填空題、解答題2.直接證明與間接證明1.了解直接證明的兩種基本方法:分析法與綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)2.了解間接證明的一種基本方法:反證法;了解反證法的思考過程、特點(diǎn)2016江蘇,20;2014山東,4;2013湖北,20分析解讀本部分是新課標(biāo)內(nèi)容,高考考查以下幾個方面:1.歸納推理與類比推理以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查學(xué)生的邏輯推理能力,而演繹推理多出現(xiàn)在立體幾何的證明中;2.直接證明與間接證明作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法,常以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)為載體,考查綜合法、分析法及反證法.本節(jié)內(nèi)容在高考中的分值分配:歸納推理與類比推理分值為5分左右,屬中檔題;證明問題以解答題形式出現(xiàn),分值為12分左右,屬中高檔題.五年高考考點(diǎn)一合情推理與演繹推理1.(2016北京,8,5分)某學(xué)校運(yùn)動會的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績,其中有三個數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號12345678910立定跳遠(yuǎn)(單位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩(單位:次)63a7560637270a-1b65在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則()A.2號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B.5號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C.8號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D.9號學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽答案B2.(2017北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件:(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù);(ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù);(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為;該小組人數(shù)的最小值為.答案6123.(2016課標(biāo)全國,16,5分)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是.答案1和34.(2016山東,12,5分)觀察下列等式:sin3-2+sin23-2=4312;sin5-2+sin25-2+sin35-2+sin45-2=4323;sin7-2+sin27-2+sin37-2+sin67-2=4334;sin9-2+sin29-2+sin39-2+sin89-2=4345;照此規(guī)律,sin2n+1-2+sin22n+1-2+sin32n+1-2+sin2n2n+1-2=.答案4n(n+1)35.(2015陜西,16,5分)觀察下列等式1-12=121-12+13-14=13+141-12+13-14+15-16=14+15+16據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為.答案1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n6.(2014課標(biāo),14,5分)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個城市時,甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市;乙說:我沒去過C城市;丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為.答案A教師用書專用(711)7.(2014福建,16,4分)已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三個關(guān)系:a2;b=2;c0有且只有一個正確,則100a+10b+c等于.答案2018.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L.例如圖中ABC是格點(diǎn)三角形,對應(yīng)的S=1,N=0,L=4.(1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對應(yīng)的S,N,L分別是;(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對應(yīng)的N=71,L=18,則S=(用數(shù)值作答).答案(1)3,1,6(2)799.(2013陜西,13,5分)觀察下列等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此規(guī)律,第n個等式可為.答案(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)10.(2014江西,21,14分)將連續(xù)正整數(shù)1,2,n(nN*)從小到大排列構(gòu)成一個數(shù)123n,F(n)為這個數(shù)的位數(shù)(如n=12時,此數(shù)為123 456 789 101 112,共有15個數(shù)字,F(12)=15),現(xiàn)從這個數(shù)中隨機(jī)取一個數(shù)字,p(n)為恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)當(dāng)n2 014時,求F(n)的表達(dá)式;(3)令g(n)為這個數(shù)中數(shù)字0的個數(shù),f(n)為這個數(shù)中數(shù)字9的個數(shù),h(n)=f(n)-g(n),S=n|h(n)=1,n100,nN*,求當(dāng)nS時p(n)的最大值.解析(1)當(dāng)n=100時,這個數(shù)中總共有192個數(shù)字,其中數(shù)字0的個數(shù)為11,所以恰好取到0的概率為p(100)=11192.(2)F(n)=(3)當(dāng)n=b(1b9,bN*)時,g(n)=0;當(dāng)n=10k+b(1k9,0b9,kN*,bN)時,g(n)=k;當(dāng)n=100時,g(n)=11,即g(n)=0,1n9,k,n=10k+b,1k9,0b9,kN*,bN,11,n=100.同理有f(n)=0,1n8,k,n=10k+b-1,1k8,0b9,kN*,bN,n-80,89n98,20,n=99,100.由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以當(dāng)n100時,S=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.當(dāng)n=9時,p(9)=0;當(dāng)n=90時,p(90)=g(90)F(90)=9171=119;當(dāng)n=10k+9(1k8,kN*)時,p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k20k+9,由于y=k20k+9關(guān)于k單調(diào)遞增,故當(dāng)n=10k+9(1k8,kN*)時,p(n)的最大值為p(89)=8169.又8169<119,所以當(dāng)nS時,p(n)的最大值為119.11.(2013江西,21,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=1ax,0xa,11-a(1-x),a<x1.a為常數(shù)且a(0,1).(1)當(dāng)a=12時,求ff13;(2)若x0滿足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,則稱x0為f(x)的二階周期點(diǎn).證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點(diǎn),并求二階周期點(diǎn)x1,x2;(3)對于(2)中的x1,x2,設(shè)A(x1, f(f(x1),B(x2, f(f(x2),C(a2,0),記ABC的面積為S(a),求S(a)在區(qū)間13,12上的最大值和最小值.解析(1)當(dāng)a=12時, f13=23,ff13=f23=21-23=23.(2)f(f(x)=1a2x,0xa2,1a(1-a)(a-x),a2<xa,1(1-a)2(x-a),a<x<a2-a+1,1a(1-a)(1-x),a2-a+1x1.當(dāng)0xa2時,由1a2x=x解得x=0,因?yàn)閒(0)=0,故x=0不是f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)a2<xa時,由1a(1-a)(a-x)=x解得x=a-a2+a+1(a2,a),因fa-a2+a+1=1aa-a2+a+1=1-a2+a+1a-a2+a+1,故x=a-a2+a+1為f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)a<x<a2-a+1時,由1(1-a)2(x-a)=x解得x=12-a(a,a2-a+1),因f12-a=11-a1-12-a=12-a,故x=12-a不是f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)a2-a+1x1時,由1a(1-a)(1-x)=x解得x=1-a2+a+1(a2-a+1,1),因f1-a2+a+1=11-a1-1-a2+a+1=a-a2+a+11-a2+a+1,故x=1-a2+a+1為f(x)的二階周期點(diǎn).因此,函數(shù)f(x)有且僅有兩個二階周期點(diǎn),x1=a-a2+a+1,x2=1-a2+a+1.(3)由(2)得Aa-a2+a+1,a-a2+a+1,B1-a2+a+1,1-a2+a+1,則S(a)=12a2(1-a)-a2+a+1,S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)2,因?yàn)閍13,12,a2+a<1,所以S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)2=12a(a+1)(a-1)2+(1-a2-a)(-a2+a+1)2>0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g(a)=3a2-4a-2=3a-2-103a-2+103,因a(0,1),g(a)<0,所以g(a)在區(qū)間13,12上的最小值為g12=58>0,故對于任意a13,12,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)2>0.則S(a)在區(qū)間13,12上單調(diào)遞增,故S(a)在區(qū)間13,12上的最小值為S13=133,最大值為S12=120.考點(diǎn)二直接證明與間接證明1.(2014山東,4,5分)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個實(shí)根”時,要做的假設(shè)是()A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實(shí)根答案A2.(2013四川,10,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-a(aR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).若存在b0,1使f(f(b)=b成立,則a的取值范圍是()A.1,eB.1,1+eC.e,1+eD.0,1答案A3.(2016江蘇,20,16分)記U=1,2,100.對數(shù)列an(nN*)和U的子集T,若T=,定義ST=0;若T=t1,t2,tk,定義ST=at1+at2+atk.例如:T=1,3,66時,ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè)an(nN*)是公比為3的等比數(shù)列,且當(dāng)T=2,4時,ST=30.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)對任意正整數(shù)k(1k100),若T1,2,k,求證:ST<ak+1;(3)設(shè)CU,DU,SCSD,求證:SC+SCD2SD.解析(1)由已知得an=a13n-1,nN*.于是當(dāng)T=2,4時,ST=a2+a4=3a1+27a1=30a1.又ST=30,故30a1=30,即a1=1.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n-1,nN*.(2)因?yàn)門1,2,k,an=3n-1>0,nN*,所以STa1+a2+ak=1+3+3k-1=12(3k-1)<3k.因此,ST<ak+1.(3)下面分三種情況證明.若D是C的子集,則SC+SCD=SC+SDSD+SD=2SD.若C是D的子集,則SC+SCD=SC+SC=2SC2SD.若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=CUD,F=DUC,則E,F,EF=.于是SC=SE+SCD,SD=SF+SCD,進(jìn)而由SCSD得SESF.設(shè)k為E中的最大數(shù),l為F中的最大數(shù),則k1,l1,kl.由(2)知,SE<ak+1.于是3l-1=alSFSE<ak+1=3k,所以l-1<k,即lk.又kl,故lk-1.從而SFa1+a2+al=1+3+3l-1=3l-123k-1-12=ak-12SE-12,故SE2SF+1,所以SC-SCD2(SD-SCD)+1,即SC+SCD2SD+1.綜合得,SC+SCD2SD.教師用書專用(45)4.(2014天津,20,14分)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n.(1)當(dāng)q=2,n=3時,用列舉法表示集合A;(2)設(shè)s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中ai,biM,i=1,2,n.證明:若an<bn,則s<t.解析(1)當(dāng)q=2,n=3時,M=0,1,A=x|x=x1+x22+x322,xiM,i=1,2,3.可得,A=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)證明:由s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,biM,i=1,2,n及an<bn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1(q-1)+(q-1)q+(q-1)qn-2-qn-1=(q-1)(1-qn-1)1-q-qn-1=-1<0.所以,s<t.5.(2013湖北,20,13分)如圖,某地質(zhì)隊(duì)自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點(diǎn)向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏,再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦,從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3.過AB,AC的中點(diǎn)M,N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面,其面積記為S中.(1)證明:中截面DEFG是梯形;(2)在ABC中,記BC=a,BC邊上的高為h,面積為S.在估測三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量(即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V)時,可用近似公式V估=S中h來估算.已知V=13(d1+d2+d3)S,試判斷V估與V的大小關(guān)系,并加以證明.解析(1)依題意A1A2平面ABC,B1B2平面ABC,C1C2平面ABC,所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3,因此四邊形A1A2B2B1,四邊形A1A2C2C1均是梯形.由AA2平面MEFN,AA2平面AA2B2B,且平面AA2B2B平面MEFN=ME,可得AA2ME,即A1A2DE.同理可證A1A2FG,所以DEFG.又M,N分別為AB,AC的中點(diǎn),則D,E,F,G分別為A1B1,A2B2,A2C2,A1C1的中點(diǎn),即DE,FG分別為梯形A1A2B2B1,梯形A1A2C2C1的中位線.因此DE=12(A1A2+B1B2)=12(d1+d2),FG=12(A1A2+C1C2)=12(d1+d3),而d1<d2<d3,故DE<FG,所以中截面DEFG是梯形.(2)V估<V.證明如下:由A1A2平面ABC,MN平面ABC,可得A1A2MN.而EMA1A2,所以EMMN,同理可得FNMN.由MN是ABC的中位線,可得MN=12BC=12a,即為梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG=12d1+d22+d1+d32a2=a8(2d1+d2+d3),即V估=S中h=ah8(2d1+d2+d3).又S=12ah,所以V=13(d1+d2+d3)S=ah6(d1+d2+d3).于是V-V估=ah6(d1+d2+d3)-ah8(2d1+d2+d3)=ah24(d2-d1)+(d3-d1).由d1<d2<d3,得d2-d1>0,d3-d1>0,故V估<V.三年模擬A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組考點(diǎn)一合情推理與演繹推理1.(2018江西上饒一模,7)老師帶甲、乙、丙、丁四名學(xué)生去參加自主招生考試,考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況,四名學(xué)生的回答如下:甲說:“我們四人都沒考好.”乙說:“我們四人中有人考得好.”丙說:“乙和丁至少有一人沒考好.”丁說:“我沒考好.”成績出來后發(fā)現(xiàn),四名學(xué)生中有且只有兩人說對了,他們是()A.甲、丙B.乙、丁C.丙、丁D.乙、丙答案D2.(2018福建六校聯(lián)考,16)圖甲是應(yīng)用分形幾何學(xué)作出的一個分形規(guī)律圖,按照圖甲所示的分形規(guī)律可得圖乙所示的一個樹形圖,我們采用“坐標(biāo)”來表示圖乙各行中的白圈、黑圈的個數(shù)(橫坐標(biāo)表示白圈的個數(shù),縱坐標(biāo)表示黑圈的個數(shù)),比如第1行記為(0,1),第2行記為(1,2),第3行記為(4,5),照此下去,第5行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為.答案(40,41)3.(2017河北邯鄲質(zhì)檢,15)2016年6月23日15時前后,江蘇鹽城市阜寧、射陽等地突遭強(qiáng)冰雹、龍卷風(fēng)雙重災(zāi)害襲擊,風(fēng)力達(dá)12級.災(zāi)害發(fā)生后,有甲、乙、丙、丁4個輕型救援隊(duì)從A,B,C,D四個不同的方向前往災(zāi)區(qū).已知下面四種說法都是正確的:(1)甲輕型救援隊(duì)所在方向不是C方向,也不是D方向;(2)乙輕型救援隊(duì)所在方向不是A方向,也不是B方向;(3)丙輕型救援隊(duì)所在方向不是A方向,也不是B方向;(4)丁輕型救援隊(duì)所在方向不是A方向,也不是D方向.此外還可確定:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向,有下列判斷:甲所在方向是B方向;乙所在方向是D方向;丙所在方向是D方向;丁所在方向是C方向.其中判斷正確的序號是.答案4.(2017廣東七校第二次聯(lián)考,15)如圖是網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運(yùn)作的蛇形模型:數(shù)字1出現(xiàn)在第1行;數(shù)字2,3出現(xiàn)在第2行,數(shù)字6,5,4(從左至右)出現(xiàn)在第3行;數(shù)字7,8,9,10出現(xiàn)在第4行,依此類推,則第20行從左到右第4個數(shù)字為.答案1945.(人教A選12,二,1,例7,變式)證明函數(shù)f(x)=-x3+3x在(2,+)內(nèi)是增函數(shù).證明f (x)=-3x2+3=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1).當(dāng)x>2時,(x+1)(x-1)>0,f (x)=-3(x+1)(x-1)<0.f(x)=-x3+3x在(2,+)內(nèi)是增函數(shù).考點(diǎn)二直接證明與間接證明6.(2018吉林三校聯(lián)考,4)用反證法證明“自然數(shù)a,b,c中至多有一個偶數(shù)”時,假設(shè)原命題不成立,等價于()A.a,b,c中沒有偶數(shù)B.a,b,c中恰好有一個偶數(shù)C.a,b,c中至少有一個偶數(shù)D.a,b,c中至少有兩個偶數(shù)答案D7.(2017山西大學(xué)附中第二次模擬,17)在等比數(shù)列an中,a3=32,S3=92.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log26a2n+1,且bn為遞增數(shù)列,若cn=1bnbn+1,求證:c1+c2+c3+cn<14.解析(1)設(shè)an的公比為q(q0).a3=32,S3=92,S3-a3=a1+a2=a1(1+q)=3,a3=a1q2=32q=1,a1=32或q=-12,a1=6,an=32或an=6-12n-1.(2)證明:由題意知bn=log26a2n+1=log266-122n=log222n=2n,cn=1bnbn+1=14n(n+1)=141n-1n+1,c1+c2+c3+cn=141-12+12-13+1n-1n+1=141-1n+1=14-14(n+1)<14.8.(2016河南南陽期中,18)已知數(shù)列l(wèi)og2(an-1)(nN*)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)證明1a2-a1+1a3-a2+1an+1-an<1.解析(1)設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2(an-1)的公差為d.由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,故d=1.所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.(2)證明:因?yàn)?an+1-an=12n+1-2n=12n,所以1a2-a1+1a3-a2+1an+1-an=121+122+123+12n=12-12n121-12=1-12n<1,原不等式得證.B組20162018年模擬提升題組(滿分:30分時間:30分鐘)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2018遼寧大連調(diào)研,5)如圖,A,B,C三個開關(guān)控制著1,2,3,4號四盞燈.若開關(guān)A控制著2,3,4號燈(即按一下開關(guān)A,2,3,4號燈亮,再按一下開關(guān)A,2,3,4號燈熄滅),同樣,開關(guān)B控制著1,3,4號燈,開關(guān)C控制著1,2,4號燈.開始時,四盞燈都亮著,那么下列說法正確的是()A.只需要按開關(guān)A,C,可以將四盞燈全部熄滅B.只需要按開關(guān)B,C,可以將四盞燈全部熄滅C.按開關(guān)A,B,C,可以將四盞燈全部熄滅D.按開關(guān)A,B,C,無法將四盞燈全部熄滅答案D2.(2017遼寧六校期中聯(lián)考,10)已知整數(shù)對按如下規(guī)律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),則第60個數(shù)對是()A.(10,1)B.(2,10)C.(5,7)D.(7,5)答案C二、填空題(共5分)3.(2017山東濟(jì)寧3月模擬,11)已知ai>0(i=1,2,3,n),觀察下列不等式:a1+a22a1a2;a1+a2+a333a1a2a3;a1+a2+a3+a444a1a2a3a4;照此規(guī)律,當(dāng)nN*,n2時,a1+a2+ann.答案na1a2an三、解答題(共15分)4.(2017湖北華中師大一附中期中模擬,21)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a=2時,函數(shù)f(x)滿足f(x1)=f(x2)(x1x2),求證x1+x2>4.參考公式:ln(m-x)=1x-m,m為常數(shù)解析(1)f(x)=ln x+ax,f (x)=1x-ax2=x-ax2,x>0,當(dāng)a0時, f (x)0總成立;當(dāng)a>0時,令f (x)=0,得x=a.當(dāng)x(0,a)時, f (x)<0;當(dāng)x(a,+)時, f (x)>0.綜上所述,當(dāng)a0時, f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時, f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+)上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)a=2時, f(x)=ln x+2x.不妨令x1<x2,且x2>x1>0,要證明x1+x2>4,即證x2>4-x1.由(1)知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+)上單調(diào)遞增,則0<x1<2,x2>2,只需證f(x2)>f(4-x1),又f(x1)=f(x2),即證f(x1)>f(4-x1).設(shè)g(x)=f(x)-f(4-x)(0<x<2),則g(x)=ln x+2x-ln(4-x)-24-x,則g(x)=1x-2x2-1x-4-2(x-4)2=-8(x-2)2x2(x-4)2<0,所以g(x)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,所以g(x)>g(2)=0,所以f(x)>f(4-x)(0<x<2),故證得f(x2)>f(4-x1).所以x1+x2>4.C組20162018年模擬方法題組方法1合情推理與演繹推理1.(2018廣東肇慶一模,14)觀察下列不等式:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,照此規(guī)律,第五個不等式為.答案1+122+132+142+152+162<1162.(2017上海浦東期中聯(lián)考,12)在RtABC中,兩直角邊長分別為a、b,設(shè)h為斜邊上的高,則1h2=1a2+1b2,由此類比:三棱錐P-ABC中的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直,且長度分別為a、b、c,設(shè)棱錐底面ABC上的高為h,則.答案1h2=1a2+1b2+1c2方法2直接證明的方法3.(2017皖南八校聯(lián)考,17)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,bn=1Sn,且a2b2=58,S5=352.(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;(2)求證:b1+b2+bn<32.解析(1)設(shè)an的公差為d.bn=1Sn,a2b2=58,S5=352,(a1+d)12a1+d=58,5a1+542d=352,解得a1=32,d=1.an=n+12,Sn=n(n+2)2,bn=2n(n+2).(2)證明:b1+b2+bn=213+224+235+2n(n+2)=1-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2=32-1n+1-1n+2<32.