2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明練習(xí) 文.doc

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第十二章　推理與證明 考綱解讀 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 ?？碱}型 預(yù)測(cè)熱度 1.合情推理與演繹推理 1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理 3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異 Ⅱ 2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,9; 2017北京,14; 2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,16; 2016北京,8; 2016山東,12 選擇題、 填空題、 解答題 ★★★ 2.直接證明與間接證明 1.了解直接證明的兩種基本方法:分析法與綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn) 2.了解間接證明的一種基本方法:反證法;了解反證法的思考過程、特點(diǎn) Ⅲ 2016江蘇,20; 2014山東,4; 2013湖北,20 分析解讀 本部分是新課標(biāo)內(nèi)容,高考考查以下幾個(gè)方面:1.歸納推理與類比推理以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查學(xué)生的邏輯推理能力,而演繹推理多出現(xiàn)在立體幾何的證明中;2.直接證明與間接證明作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法,常以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)為載體,考查綜合法、分析法及反證法.本節(jié)內(nèi)容在高考中的分值分配:①歸納推理與類比推理分值為5分左右,屬中檔題;②證明問題以解答題形式出現(xiàn),分值為12分左右,屬中高檔題. 五年高考 考點(diǎn)一　合情推理與演繹推理 1.(2016北京,8,5分)某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績(jī),其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊. 學(xué)生序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳遠(yuǎn)(單位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳繩(單位:次) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65 在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則(　　) A.2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 B.5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 C.8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 D.9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽 答案　B　 2.(2017北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件: (i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù); (ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù); (iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù). ①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為　　　　; ②該小組人數(shù)的最小值為　　　　. 答案　①6?、?2 3.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,16,5分)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說(shuō):“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是　　　　. 答案　1和3 4.(2016山東,12,5分)觀察下列等式: sinπ3-2+sin2π3-2=4312; sinπ5-2+sin2π5-2+sin3π5-2+sin4π5-2=4323; sinπ7-2+sin2π7-2+sin3π7-2+…+sin6π7-2=4334; sinπ9-2+sin2π9-2+sin3π9-2+…+sin8π9-2=4345; …… 照此規(guī)律, sinπ2n+1-2+sin2π2n+1-2+sin3π2n+1-2+…+sin2nπ2n+1-2=　　　　. 答案　4n(n+1)3 5.(2015陜西,16,5分)觀察下列等式 1-12=12 1-12+13-14=13+14 1-12+13-14+15-16=14+15+16 …… 據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為　　　　　　　　　　　. 答案　1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n 6.(2014課標(biāo)Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個(gè)城市時(shí), 甲說(shuō):我去過的城市比乙多,但沒去過B城市; 乙說(shuō):我沒去過C城市; 丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為　　　　. 答案　A 教師用書專用(7—11) 7.(2014福建,16,4分)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三個(gè)關(guān)系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一個(gè)正確,則100a+10b+c等于　　　　. 答案　201 8.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖中△ABC是格點(diǎn)三角形,對(duì)應(yīng)的S=1,N=0,L=4. (1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S,N,L分別是　　　　; (2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71,L=18,則S=　　　　(用數(shù)值作答). 答案　(1)3,1,6　(2)79 9.(2013陜西,13,5分)觀察下列等式 (1+1)=21 (2+1)(2+2)=2213 (3+1)(3+2)(3+3)=23135 …… 照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為　. 答案　(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n-1) 10.(2014江西,21,14分)將連續(xù)正整數(shù)1,2,…,n(n∈N*)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)123…n,F(n)為這個(gè)數(shù)的位數(shù)(如n=12時(shí),此數(shù)為123 456 789 101 112,共有15個(gè)數(shù)字,F(12)=15),現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字,p(n)為恰好取到0的概率. (1)求p(100); (2)當(dāng)n≤2 014時(shí),求F(n)的表達(dá)式; (3)令g(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù),f(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù),h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求當(dāng)n∈S時(shí)p(n)的最大值. 解析　(1)當(dāng)n=100時(shí),這個(gè)數(shù)中總共有192個(gè)數(shù)字,其中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11,所以恰好取到0的概率為p(100)=11192. (2)F(n)= (3)當(dāng)n=b(1≤b≤9,b∈N*)時(shí),g(n)=0; 當(dāng)n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)時(shí),g(n)=k; 當(dāng)n=100時(shí),g(n)=11, 即g(n)=0,　1≤n≤9,k,n=10k+b,1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N,11,n=100. 同理有f(n) =0,　　　1≤n≤8,k,n=10k+b-1,1≤k≤8,0≤b≤9,k∈N*,b∈N,n-80,89≤n≤98,20,n=99,100. 由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90. 所以當(dāng)n≤100時(shí),S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}. 當(dāng)n=9時(shí),p(9)=0; 當(dāng)n=90時(shí),p(90)=g(90)F(90)=9171=119; 當(dāng)n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)時(shí),p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k20k+9,由于y=k20k+9關(guān)于k單調(diào)遞增,故當(dāng)n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)時(shí),p(n)的最大值為p(89)=8169. 又8169<119,所以當(dāng)n∈S時(shí),p(n)的最大值為119. 11.(2013江西,21,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=1ax,　　　　0≤x≤a,11-a(1-x),a0. 或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g(a)=3a2-4a-2 =3a-2-103a-2+103, 因a∈(0,1),g(a)<0,所以g(a)在區(qū)間13,12上的最小值為g12=58>0, 故對(duì)于任意a∈13,12,g(a)=a3-2a2-2a+2>0, S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)2>0. 則S(a)在區(qū)間13,12上單調(diào)遞增, 故S(a)在區(qū)間13,12上的最小值為S13=133,最大值為S12=120. 考點(diǎn)二　直接證明與間接證明 1.(2014山東,4,5分)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是(　　) A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根 B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根 C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根 D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根 答案　A　 2.(2013四川,10,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-a(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是(　　) A.[1,e] B.[1,1+e] C.[e,1+e] D.[0,1] 答案　A　 3.(2016江蘇,20,16分)記U={1,2,…,100}.對(duì)數(shù)列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=?,定義ST=0;若T={t1,t2,…,tk},定義ST=at1+at2+…+atk.例如:T={1,3,66}時(shí),ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè){an}(n∈N*)是公比為3的等比數(shù)列,且當(dāng)T={2,4}時(shí),ST=30. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)對(duì)任意正整數(shù)k(1≤k≤100),若T?{1,2,…,k},求證:ST0,n∈N*, 所以ST≤a1+a2+…+ak=1+3+…+3k-1=12(3k-1)<3k. 因此,ST0,d3-d1>0,故V估2時(shí),(x+1)(x-1)>0,∴f (x)=-3(x+1)(x-1)<0. ∴f(x)=-x3+3x在(2,+∞)內(nèi)是增函數(shù). 考點(diǎn)二　直接證明與間接證明 6.(2018吉林三校聯(lián)考,4)用反證法證明“自然數(shù)a,b,c中至多有一個(gè)偶數(shù)”時(shí),假設(shè)原命題不成立,等價(jià)于(　　) A.a,b,c中沒有偶數(shù) B.a,b,c中恰好有一個(gè)偶數(shù) C.a,b,c中至少有一個(gè)偶數(shù) D.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù) 答案　D　 7.(2017山西大學(xué)附中第二次模擬,17)在等比數(shù)列{an}中,a3=32,S3=92. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=log26a2n+1,且{bn}為遞增數(shù)列,若cn=1bnbn+1,求證:c1+c2+c3+…+cn<14. 解析　(1)設(shè){an}的公比為q(q≠0).∵a3=32,S3=92, ∴S3-a3=a1+a2=a1(1+q)=3,a3=a1q2=32?q=1,a1=32或q=-12,a1=6, ∴an=32或an=6-12n-1. (2)證明:由題意知bn=log26a2n+1=log266-122n=log222n=2n, ∴cn=1bnbn+1=14n(n+1)=141n-1n+1, ∴c1+c2+c3+…+cn=141-12+12-13+…+1n-1n+1=141-1n+1=14-14(n+1)<14. 8.(2016河南南陽(yáng)期中,18)已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N*)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)證明1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an<1. 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列{log2(an-1)}的公差為d. 由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,故d=1. 所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1. (2)證明:因?yàn)?an+1-an=12n+1-2n=12n, 所以1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an=121+122+123+…+12n=12-12n121-12=1-12n<1,原不等式得證. B組　2016—2018年模擬提升題組 (滿分:30分　時(shí)間:30分鐘) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2018遼寧大連調(diào)研,5)如圖,A,B,C三個(gè)開關(guān)控制著1,2,3,4號(hào)四盞燈.若開關(guān)A控制著2,3,4號(hào)燈(即按一下開關(guān)A,2,3,4號(hào)燈亮,再按一下開關(guān)A,2,3,4號(hào)燈熄滅),同樣,開關(guān)B控制著1,3,4號(hào)燈,開關(guān)C控制著1,2,4號(hào)燈.開始時(shí),四盞燈都亮著,那么下列說(shuō)法正確的是(　　) A.只需要按開關(guān)A,C,可以將四盞燈全部熄滅 B.只需要按開關(guān)B,C,可以將四盞燈全部熄滅 C.按開關(guān)A,B,C,可以將四盞燈全部熄滅 D.按開關(guān)A,B,C,無(wú)法將四盞燈全部熄滅 答案　D　 2.(2017遼寧六校期中聯(lián)考,10)已知整數(shù)對(duì)按如下規(guī)律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……,則第60個(gè)數(shù)對(duì)是(　　) A.(10,1) B.(2,10) C.(5,7) D.(7,5) 答案　C　 二、填空題(共5分) 3.(2017山東濟(jì)寧3月模擬,11)已知ai>0(i=1,2,3,…,n),觀察下列不等式: a1+a22≥a1a2; a1+a2+a33≥3a1a2a3; a1+a2+a3+a44≥4a1a2a3a4; …… 照此規(guī)律,當(dāng)n∈N*,n≥2時(shí),a1+a2+…+ann≥　　　　　. 答案　na1a2…an 三、解答題(共15分) 4.(2017湖北華中師大一附中期中模擬,21)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax. (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)滿足f(x1)=f(x2)(x1≠x2),求證x1+x2>4. 參考公式:[ln(m-x)]=1x-m,m為常數(shù) 解析　(1)∵f(x)=ln x+ax,∴f (x)=1x-ax2=x-ax2,x>0, 當(dāng)a≤0時(shí), f (x)≥0總成立; 當(dāng)a>0時(shí),令f (x)=0,得x=a. 當(dāng)x∈(0,a)時(shí), f (x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí), f (x)>0. 綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí), f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a>0時(shí), f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增. (2)當(dāng)a=2時(shí), f(x)=ln x+2x.不妨令x1x1>0, 要證明x1+x2>4,即證x2>4-x1. 由(1)知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增, 則02,只需證f(x2)>f(4-x1),又f(x1)=f(x2),即證f(x1)>f(4-x1). 設(shè)g(x)=f(x)-f(4-x)(0g(2)=0, 所以f(x)>f(4-x)(0f(4-x1).所以x1+x2>4. C組　2016—2018年模擬方法題組 方法1　合情推理與演繹推理 1.(2018廣東肇慶一模,14)觀察下列不等式:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,……,照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為　　　　　　　　　　　　. 答案　1+122+132+142+152+162<116 2.(2017上海浦東期中聯(lián)考,12)在Rt△ABC中,兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,設(shè)h為斜邊上的高,則1h2=1a2+1b2,由此類比:三棱錐P-ABC中的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直,且長(zhǎng)度分別為a、b、c,設(shè)棱錐底面△ABC上的高為h,則　　　　　　　　. 答案　1h2=1a2+1b2+1c2 方法2　直接證明的方法 3.(2017皖南八校聯(lián)考,17)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,bn=1Sn,且a2b2=58,S5=352. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式; (2)求證:b1+b2+…+bn<32. 解析　(1)設(shè){an}的公差為d. ∵bn=1Sn,a2b2=58,S5=352, ∴(a1+d)12a1+d=58,5a1+542d=352,解得a1=32,d=1. ∴an=n+12,Sn=n(n+2)2,∴bn=2n(n+2). (2)證明:b1+b2+…+bn=213+224+235+…+2n(n+2) =1-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1+1n-1n+2=32-1n+1-1n+2<32.