2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明練習(xí) 文.doc
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第十二章推理與證明考綱解讀考點(diǎn)內(nèi)容解讀要求高考示例??碱}型預(yù)測(cè)熱度1.合情推理與演繹推理1.了解合情推理的含義,能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用2.了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異2017課標(biāo)全國(guó),9;2017北京,14;2016課標(biāo)全國(guó),16;2016北京,8;2016山東,12選擇題、填空題、解答題2.直接證明與間接證明1.了解直接證明的兩種基本方法:分析法與綜合法;了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)2.了解間接證明的一種基本方法:反證法;了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)2016江蘇,20;2014山東,4;2013湖北,20分析解讀本部分是新課標(biāo)內(nèi)容,高考考查以下幾個(gè)方面:1.歸納推理與類(lèi)比推理以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),考查學(xué)生的邏輯推理能力,而演繹推理多出現(xiàn)在立體幾何的證明中;2.直接證明與間接證明作為證明和推理數(shù)學(xué)命題的方法,常以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)為載體,考查綜合法、分析法及反證法.本節(jié)內(nèi)容在高考中的分值分配:歸納推理與類(lèi)比推理分值為5分左右,屬中檔題;證明問(wèn)題以解答題形式出現(xiàn),分值為12分左右,屬中高檔題.五年高考考點(diǎn)一合情推理與演繹推理1.(2016北京,8,5分)某學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的立定跳遠(yuǎn)和30秒跳繩兩個(gè)單項(xiàng)比賽分成預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績(jī),其中有三個(gè)數(shù)據(jù)模糊.學(xué)生序號(hào)12345678910立定跳遠(yuǎn)(單位:米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳繩(單位:次)63a7560637270a-1b65在這10名學(xué)生中,進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的有8人,同時(shí)進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽和30秒跳繩決賽的有6人,則()A.2號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽B.5號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽C.8號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽D.9號(hào)學(xué)生進(jìn)入30秒跳繩決賽答案B2.(2017北京,14,5分)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù);(ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù);(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為;該小組人數(shù)的最小值為.答案6123.(2016課標(biāo)全國(guó),16,5分)有三張卡片,分別寫(xiě)有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說(shuō):“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是.答案1和34.(2016山東,12,5分)觀(guān)察下列等式:sin3-2+sin23-2=4312;sin5-2+sin25-2+sin35-2+sin45-2=4323;sin7-2+sin27-2+sin37-2+sin67-2=4334;sin9-2+sin29-2+sin39-2+sin89-2=4345;照此規(guī)律,sin2n+1-2+sin22n+1-2+sin32n+1-2+sin2n2n+1-2=.答案4n(n+1)35.(2015陜西,16,5分)觀(guān)察下列等式1-12=121-12+13-14=13+141-12+13-14+15-16=14+15+16據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為.答案1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n6.(2014課標(biāo),14,5分)甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A,B,C三個(gè)城市時(shí),甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒(méi)去過(guò)B城市;乙說(shuō):我沒(méi)去過(guò)C城市;丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市.由此可判斷乙去過(guò)的城市為.答案A教師用書(shū)專(zhuān)用(711)7.(2014福建,16,4分)已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三個(gè)關(guān)系:a2;b=2;c0有且只有一個(gè)正確,則100a+10b+c等于.答案2018.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y均為整數(shù),則稱(chēng)點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn),則稱(chēng)該多邊形為格點(diǎn)多邊形.格點(diǎn)多邊形的面積記為S,其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N,邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L(zhǎng).例如圖中ABC是格點(diǎn)三角形,對(duì)應(yīng)的S=1,N=0,L=4.(1)圖中格點(diǎn)四邊形DEFG對(duì)應(yīng)的S,N,L分別是;(2)已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=aN+bL+c,其中a,b,c為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對(duì)應(yīng)的N=71,L=18,則S=(用數(shù)值作答).答案(1)3,1,6(2)799.(2013陜西,13,5分)觀(guān)察下列等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為.答案(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)10.(2014江西,21,14分)將連續(xù)正整數(shù)1,2,n(nN*)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)123n,F(n)為這個(gè)數(shù)的位數(shù)(如n=12時(shí),此數(shù)為123 456 789 101 112,共有15個(gè)數(shù)字,F(12)=15),現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字,p(n)為恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)當(dāng)n2 014時(shí),求F(n)的表達(dá)式;(3)令g(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù),f(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù),h(n)=f(n)-g(n),S=n|h(n)=1,n100,nN*,求當(dāng)nS時(shí)p(n)的最大值.解析(1)當(dāng)n=100時(shí),這個(gè)數(shù)中總共有192個(gè)數(shù)字,其中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11,所以恰好取到0的概率為p(100)=11192.(2)F(n)=(3)當(dāng)n=b(1b9,bN*)時(shí),g(n)=0;當(dāng)n=10k+b(1k9,0b9,kN*,bN)時(shí),g(n)=k;當(dāng)n=100時(shí),g(n)=11,即g(n)=0,1n9,k,n=10k+b,1k9,0b9,kN*,bN,11,n=100.同理有f(n)=0,1n8,k,n=10k+b-1,1k8,0b9,kN*,bN,n-80,89n98,20,n=99,100.由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以當(dāng)n100時(shí),S=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.當(dāng)n=9時(shí),p(9)=0;當(dāng)n=90時(shí),p(90)=g(90)F(90)=9171=119;當(dāng)n=10k+9(1k8,kN*)時(shí),p(n)=g(n)F(n)=k2n-9=k20k+9,由于y=k20k+9關(guān)于k單調(diào)遞增,故當(dāng)n=10k+9(1k8,kN*)時(shí),p(n)的最大值為p(89)=8169.又8169119,所以當(dāng)nS時(shí),p(n)的最大值為119.11.(2013江西,21,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=1ax,0xa,11-a(1-x),ax1.a為常數(shù)且a(0,1).(1)當(dāng)a=12時(shí),求ff13;(2)若x0滿(mǎn)足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,則稱(chēng)x0為f(x)的二階周期點(diǎn).證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn),并求二階周期點(diǎn)x1,x2;(3)對(duì)于(2)中的x1,x2,設(shè)A(x1, f(f(x1),B(x2, f(f(x2),C(a2,0),記ABC的面積為S(a),求S(a)在區(qū)間13,12上的最大值和最小值.解析(1)當(dāng)a=12時(shí), f13=23,ff13=f23=21-23=23.(2)f(f(x)=1a2x,0xa2,1a(1-a)(a-x),a2xa,1(1-a)2(x-a),axa2-a+1,1a(1-a)(1-x),a2-a+1x1.當(dāng)0xa2時(shí),由1a2x=x解得x=0,因?yàn)閒(0)=0,故x=0不是f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)a2xa時(shí),由1a(1-a)(a-x)=x解得x=a-a2+a+1(a2,a),因fa-a2+a+1=1aa-a2+a+1=1-a2+a+1a-a2+a+1,故x=a-a2+a+1為f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)axa2-a+1時(shí),由1(1-a)2(x-a)=x解得x=12-a(a,a2-a+1),因f12-a=11-a1-12-a=12-a,故x=12-a不是f(x)的二階周期點(diǎn);當(dāng)a2-a+1x1時(shí),由1a(1-a)(1-x)=x解得x=1-a2+a+1(a2-a+1,1),因f1-a2+a+1=11-a1-1-a2+a+1=a-a2+a+11-a2+a+1,故x=1-a2+a+1為f(x)的二階周期點(diǎn).因此,函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn),x1=a-a2+a+1,x2=1-a2+a+1.(3)由(2)得Aa-a2+a+1,a-a2+a+1,B1-a2+a+1,1-a2+a+1,則S(a)=12a2(1-a)-a2+a+1,S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)2,因?yàn)閍13,12,a2+a0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g(a)=3a2-4a-2=3a-2-103a-2+103,因a(0,1),g(a)0,故對(duì)于任意a13,12,g(a)=a3-2a2-2a+20,S(a)=12a(a3-2a2-2a+2)(-a2+a+1)20.則S(a)在區(qū)間13,12上單調(diào)遞增,故S(a)在區(qū)間13,12上的最小值為S13=133,最大值為S12=120.考點(diǎn)二直接證明與間接證明1.(2014山東,4,5分)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是()A.方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根答案A2.(2013四川,10,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-a(aR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若存在b0,1使f(f(b)=b成立,則a的取值范圍是()A.1,eB.1,1+eC.e,1+eD.0,1答案A3.(2016江蘇,20,16分)記U=1,2,100.對(duì)數(shù)列an(nN*)和U的子集T,若T=,定義ST=0;若T=t1,t2,tk,定義ST=at1+at2+atk.例如:T=1,3,66時(shí),ST=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè)an(nN*)是公比為3的等比數(shù)列,且當(dāng)T=2,4時(shí),ST=30.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)對(duì)任意正整數(shù)k(1k100),若T1,2,k,求證:ST0,nN*,所以STa1+a2+ak=1+3+3k-1=12(3k-1)3k.因此,STak+1.(3)下面分三種情況證明.若D是C的子集,則SC+SCD=SC+SDSD+SD=2SD.若C是D的子集,則SC+SCD=SC+SC=2SC2SD.若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=CUD,F=DUC,則E,F,EF=.于是SC=SE+SCD,SD=SF+SCD,進(jìn)而由SCSD得SESF.設(shè)k為E中的最大數(shù),l為F中的最大數(shù),則k1,l1,kl.由(2)知,SEak+1.于是3l-1=alSFSEak+1=3k,所以l-1k,即lk.又kl,故lk-1.從而SFa1+a2+al=1+3+3l-1=3l-123k-1-12=ak-12SE-12,故SE2SF+1,所以SC-SCD2(SD-SCD)+1,即SC+SCD2SD+1.綜合得,SC+SCD2SD.教師用書(shū)專(zhuān)用(45)4.(2014天津,20,14分)已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合M=0,1,2,q-1,集合A=x|x=x1+x2q+xnqn-1,xiM,i=1,2,n.(1)當(dāng)q=2,n=3時(shí),用列舉法表示集合A;(2)設(shè)s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,其中ai,biM,i=1,2,n.證明:若anbn,則st.解析(1)當(dāng)q=2,n=3時(shí),M=0,1,A=x|x=x1+x22+x322,xiM,i=1,2,3.可得,A=0,1,2,3,4,5,6,7.(2)證明:由s,tA,s=a1+a2q+anqn-1,t=b1+b2q+bnqn-1,ai,biM,i=1,2,n及anbn,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1(q-1)+(q-1)q+(q-1)qn-2-qn-1=(q-1)(1-qn-1)1-q-qn-1=-10.所以,st.5.(2013湖北,20,13分)如圖,某地質(zhì)隊(duì)自水平地面A,B,C三處垂直向地下鉆探,自A點(diǎn)向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏,再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無(wú)礦,從而得到在A(yíng)處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B,C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2,C1C2=d3,且d1d2d3.過(guò)AB,AC的中點(diǎn)M,N且與直線(xiàn)AA2平行的平面截多面體A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個(gè)中截面,其面積記為S中.(1)證明:中截面DEFG是梯形;(2)在A(yíng)BC中,記BC=a,BC邊上的高為h,面積為S.在估測(cè)三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲(chǔ)量(即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V)時(shí),可用近似公式V估=S中h來(lái)估算.已知V=13(d1+d2+d3)S,試判斷V估與V的大小關(guān)系,并加以證明.解析(1)依題意A1A2平面ABC,B1B2平面ABC,C1C2平面ABC,所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1d2d3,因此四邊形A1A2B2B1,四邊形A1A2C2C1均是梯形.由AA2平面MEFN,AA2平面AA2B2B,且平面AA2B2B平面MEFN=ME,可得AA2ME,即A1A2DE.同理可證A1A2FG,所以DEFG.又M,N分別為AB,AC的中點(diǎn),則D,E,F,G分別為A1B1,A2B2,A2C2,A1C1的中點(diǎn),即DE,FG分別為梯形A1A2B2B1,梯形A1A2C2C1的中位線(xiàn).因此DE=12(A1A2+B1B2)=12(d1+d2),FG=12(A1A2+C1C2)=12(d1+d3),而d1d2d3,故DEFG,所以中截面DEFG是梯形.(2)V估V.證明如下:由A1A2平面ABC,MN平面ABC,可得A1A2MN.而EMA1A2,所以EMMN,同理可得FNMN.由MN是ABC的中位線(xiàn),可得MN=12BC=12a,即為梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG=12d1+d22+d1+d32a2=a8(2d1+d2+d3),即V估=S中h=ah8(2d1+d2+d3).又S=12ah,所以V=13(d1+d2+d3)S=ah6(d1+d2+d3).于是V-V估=ah6(d1+d2+d3)-ah8(2d1+d2+d3)=ah24(d2-d1)+(d3-d1).由d1d20,d3-d10,故V估2時(shí),(x+1)(x-1)0,f (x)=-3(x+1)(x-1)0.f(x)=-x3+3x在(2,+)內(nèi)是增函數(shù).考點(diǎn)二直接證明與間接證明6.(2018吉林三校聯(lián)考,4)用反證法證明“自然數(shù)a,b,c中至多有一個(gè)偶數(shù)”時(shí),假設(shè)原命題不成立,等價(jià)于()A.a,b,c中沒(méi)有偶數(shù)B.a,b,c中恰好有一個(gè)偶數(shù)C.a,b,c中至少有一個(gè)偶數(shù)D.a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)答案D7.(2017山西大學(xué)附中第二次模擬,17)在等比數(shù)列an中,a3=32,S3=92.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log26a2n+1,且bn為遞增數(shù)列,若cn=1bnbn+1,求證:c1+c2+c3+cn14.解析(1)設(shè)an的公比為q(q0).a3=32,S3=92,S3-a3=a1+a2=a1(1+q)=3,a3=a1q2=32q=1,a1=32或q=-12,a1=6,an=32或an=6-12n-1.(2)證明:由題意知bn=log26a2n+1=log266-122n=log222n=2n,cn=1bnbn+1=14n(n+1)=141n-1n+1,c1+c2+c3+cn=141-12+12-13+1n-1n+1=141-1n+1=14-14(n+1)14.8.(2016河南南陽(yáng)期中,18)已知數(shù)列l(wèi)og2(an-1)(nN*)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)證明1a2-a1+1a3-a2+1an+1-an1.解析(1)設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2(an-1)的公差為d.由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,故d=1.所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.(2)證明:因?yàn)?an+1-an=12n+1-2n=12n,所以1a2-a1+1a3-a2+1an+1-an=121+122+123+12n=12-12n121-12=1-12n0(i=1,2,3,n),觀(guān)察下列不等式:a1+a22a1a2;a1+a2+a333a1a2a3;a1+a2+a3+a444a1a2a3a4;照此規(guī)律,當(dāng)nN*,n2時(shí),a1+a2+ann.答案na1a2an三、解答題(共15分)4.(2017湖北華中師大一附中期中模擬,21)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x1)=f(x2)(x1x2),求證x1+x24.參考公式:ln(m-x)=1x-m,m為常數(shù)解析(1)f(x)=ln x+ax,f (x)=1x-ax2=x-ax2,x0,當(dāng)a0時(shí), f (x)0總成立;當(dāng)a0時(shí),令f (x)=0,得x=a.當(dāng)x(0,a)時(shí), f (x)0.綜上所述,當(dāng)a0時(shí), f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;當(dāng)a0時(shí), f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+)上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)a=2時(shí), f(x)=ln x+2x.不妨令x1x10,要證明x1+x24,即證x24-x1.由(1)知f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+)上單調(diào)遞增,則0x12,只需證f(x2)f(4-x1),又f(x1)=f(x2),即證f(x1)f(4-x1).設(shè)g(x)=f(x)-f(4-x)(0x2),則g(x)=ln x+2x-ln(4-x)-24-x,則g(x)=1x-2x2-1x-4-2(x-4)2=-8(x-2)2x2(x-4)2g(2)=0,所以f(x)f(4-x)(0xf(4-x1).所以x1+x24.C組20162018年模擬方法題組方法1合情推理與演繹推理1.(2018廣東肇慶一模,14)觀(guān)察下列不等式:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為.答案1+122+132+142+152+1621162.(2017上海浦東期中聯(lián)考,12)在RtABC中,兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,設(shè)h為斜邊上的高,則1h2=1a2+1b2,由此類(lèi)比:三棱錐P-ABC中的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直,且長(zhǎng)度分別為a、b、c,設(shè)棱錐底面ABC上的高為h,則.答案1h2=1a2+1b2+1c2方法2直接證明的方法3.(2017皖南八校聯(lián)考,17)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,bn=1Sn,且a2b2=58,S5=352.(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;(2)求證:b1+b2+bn32.解析(1)設(shè)an的公差為d.bn=1Sn,a2b2=58,S5=352,(a1+d)12a1+d=58,5a1+542d=352,解得a1=32,d=1.an=n+12,Sn=n(n+2)2,bn=2n(n+2).(2)證明:b1+b2+bn=213+224+235+2n(n+2)=1-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2=32-1n+1-1n+232.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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