2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 4.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 4.2.3 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則分層訓(xùn)練 湘教版選修2-2.doc

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4．2.3　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．設(shè)y＝－2exsin x，則y′等于 (　　) A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x) 答案　D 解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)． 2．當(dāng)函數(shù)y＝(a>0)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，那么x0＝ (　　) A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．－a D．a(chǎn)2 答案　B 解析　y′＝′＝＝， 由x－a2＝0得x0＝a. 3．設(shè)曲線y＝在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a等于 (　　) A．2 B. C．－ D．－2 答案　D 解析　∵y＝＝1＋， ∴y′＝－.∴y′|x＝3＝－. ∴－a＝2，即a＝－2. 4．已知曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線斜率為k，則當(dāng)k＝3時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為 (　　) A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1) C．(2,8) D. 答案　B 解析　y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝1， 則P點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)或(1,1)． 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為________． 答案　4 解析　依題意得f′(x)＝g′(x)＋2x， f′(1)＝g′(1)＋2＝4. 6．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，則f′(1)＝________. 答案　1 解析　由于f′(0)是一常數(shù)，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)， 令x＝0，則f′(0)＝0， ∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1. 7．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝x－sin cos . 解　(1)法一　y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋ 3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9. 法二　∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3， ∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9. (2)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x， ∴y′＝x′－′＝1－cos x. 二、能力提升 8．曲線y＝－在點(diǎn)M處的切線的斜率為 (　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　y′＝＝， 故y′|＝， ∴曲線在點(diǎn)M處的切線的斜率為. 9．已知點(diǎn)P在曲線y＝上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是 (　　) A．[0，) B．[，) C．(，] D．[，π) 答案　D 解析　y′＝－＝－，設(shè)t＝ex∈(0，＋∞)，則y′ ＝－＝－，∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈[，π)． 10．(2013江西)設(shè)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________. 答案　2 解析　令t＝ex，則x＝ln t，所以函數(shù)為f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，所以f′(x)＝＋1，即f′(1)＝＋1＝2. 11．求過點(diǎn)(2,0)且與曲線y＝x3相切的直線方程． 解　點(diǎn)(2,0)不在曲線y＝x3上，可令切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)．由題意，所求直線方程的斜率k＝＝y(tǒng)′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3. 當(dāng)x0＝0時(shí)，得切點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0)，斜率k＝0，則所求直線方程是y＝0； 當(dāng)x0＝3時(shí)，得切點(diǎn)坐標(biāo)是(3,27)，斜率k＝27， 則所求直線方程是y－27＝27(x－3)， 即27x－y－54＝0. 綜上，所求的直線方程為y＝0或27x－y－54＝0. 12．已知曲線f(x)＝x3－3x，過點(diǎn)A(0,16)作曲線f(x)的切線，求曲線的切線方程． 解　設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， 則由導(dǎo)數(shù)定義得切線的斜率k＝f′(x0)＝3x－3， ∴切線方程為y＝(3x－3)x＋16， 又切點(diǎn)(x0，y0)在切線上， ∴y0＝3(x－1)x0＋16， 即x－3x0＝3(x－1)x0＋16， 解得x0＝－2， ∴切線方程為9x－y＋16＝0. 三、探究與創(chuàng)新 13．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值． (1)解　由7x－4y－12＝0得y＝x－3. 當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，∴f(2)＝， ① 又f′(x)＝a＋， ∴f′(2)＝， ② 由①，②得 解之得 故f(x)＝x－. (2)證明　設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由y′＝1＋知 曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為 y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)． 令x＝0得y＝－，從而得切線與直線x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為. 令y＝x得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)． 所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.