精校版高中數(shù)學(xué)蘇教版選修11學(xué)案：第3章 2 導(dǎo)數(shù)的運算 含解析

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1、最新精選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資料 最新精選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資料 3.2　導(dǎo)數(shù)的運算 3.2.1　常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的導(dǎo)數(shù). 2.能利用導(dǎo)數(shù)公式，求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(重點、難點) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理　基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 閱讀教材P80～P81，完成下列問題. (kx＋b)′＝k C′＝0(C為常數(shù)) (xα)′＝axα－1(α為常數(shù)) (ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1) (logax)′＝logae＝(a＞0，且a≠1) (ex)′＝ex (ln x)′＝ (sin x)′＝cosx (cos x

2、)′＝－sinx 1.判斷正誤： (1)(log3π)′＝.(　　) (2)若f(x)＝，則f′(x)＝ln x.(　　) (3)因為(sin x)′＝cos x，所以(sin π)′＝cos π＝－1.(　　) (4)f(x)＝a3(a為常數(shù))，f′(x)＝3a2.(　　) 【解析】　(1)×.(log3π)′＝0. (2)×.若f(x)＝，則f′(x)＝－. (3)×.(sin π)′＝0. (4)×.∵a是常數(shù)，∴f(x)＝a3是常數(shù)，故f′(x)＝0. 【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.函數(shù)y＝ln x在x＝2處的切線的斜率為_______

3、_. 【導(dǎo)學(xué)號：24830071】 【解析】　k＝y(tǒng)′|x＝2＝(ln x)′|x＝2＝|x＝2＝. 【答案】　 [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑問2：________________________________________________________ 解惑：___________

4、_____________________________________________ 疑問3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ [小組合作型] 利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x2·；(2)y＝2cos2－1；(3)y＝log3x； (4)y＝；(5)y＝－x；(6)y＝. 【精彩點撥】　(3)可直接利用公式求導(dǎo)；(1)(2)(4)(5)

5、(6)需變形之后利用公式求導(dǎo). 【自主解答】　(1)∵y＝x2·＝x， ∴y′＝(x)′＝x－1＝x. (2)∵y＝2cos2－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. (3)y′＝(log2x)′＝. (4)y′＝′＝x－1＝x. (5)∵y＝－x＝2x，∴y′＝(2x)′＝2xln 2. (6)∵y＝＝x－，∴y′＝′＝－x－－1 ＝－x－. 利用求導(dǎo)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的兩個關(guān)注點 (1)直接用公式：若所求函數(shù)符合基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，則直接利用公式求解. (2)變形用公式：對于不能直接利用公式的類型，關(guān)鍵是利用代數(shù)恒等變換對函數(shù)解析式進行化簡或

6、變形，合理轉(zhuǎn)化為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的模式，如根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式等. [再練一題] 1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y＝； (2)y＝log2x2－log2x. 【解】　(1)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－. (2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝. 利用導(dǎo)數(shù)求切線方程 　(1)(2016·無錫高二檢測)曲線y＝x3在點(1,1)處的切線方程為________. (2)若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：24830072】 【精彩點

7、撥】　(1)可直接利用k＝f′(x0)求切線的斜率. (2)由l與直線x＋4y－8＝0垂直求出斜率，利用導(dǎo)數(shù)公式求切點，即得切線方程. 【自主解答】　(1)∵y′＝3x2，∴k＝3×12＝3，故切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)設(shè)切點為(x0，y0)，∵y′＝4x3，所以切線的斜率為4x，又∵l與直線x＋4y－8＝0垂直. ∴4x×＝－1，∴x＝1，∴x0＝1，∴切點為(1,1). 切線方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0. 【答案】　(1)3x－y－2＝0　(2)4x－y－3＝0 1.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況 (1)若已

8、知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導(dǎo)數(shù). (2)如果已知點不是切點，則應(yīng)先設(shè)出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解. 2.求過點P與曲線相切的直線方程的三個步驟 [再練一題] 2.設(shè)P(x0，y0)是曲線y＝cos x上的點，在點P處的切線與直線x＋2y－1＝0平行，則P點的坐標(biāo)為________. 【解析】　∵點P處的切線與x＋2y－1＝0平行， ∴切線斜率k＝－， ∴y′＝－sin x0＝－，∴sin x0＝. 又∵x0∈，∴x0＝， ∴y0＝cos ＝，∴P點為. 【答案】　 [探究共研型] 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 探究1　函數(shù)y＝f(x)的

9、導(dǎo)數(shù)為f′(x)，f′(x0)的幾何意義是什么？ 【提示】　f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處切線的斜率. 探究2　在涉及曲線的切線問題時，若切點坐標(biāo)沒有作為條件給出，應(yīng)如何處理？ 【提示】　應(yīng)設(shè)出切點坐標(biāo)，利用k＝f′(x0)，y0＝f(x0)等條件構(gòu)建方程組求解. 探究3　設(shè)某物體運動的位移為y＝f(t)，那么f′(t0)的實際意義是什么？ 【提示】　f′(t0)是物體在t＝t0時刻的瞬時速度. 　(1)曲線y＝x3上一點B處的切線l交x軸于點A，△OAB(O是原點)是以A為頂點的等腰三角形，則切線l的傾斜角為________. (2)某質(zhì)點運

10、動的方程為y＝2x，則在x＝3時的瞬時速度為________. 【精彩點撥】　(1)設(shè)出切點的坐標(biāo)，由已知條件求出切點坐標(biāo)，并求出斜率從而得出l的傾斜角. (2)求x＝3時的導(dǎo)數(shù). 【自主解答】　(1)設(shè)切點為B(x0，y0)，傾斜角為α，則k＝y(tǒng)′|x＝x0＝3x， ∴切線方程為y－y0＝3x(x－x0)， 即y－x＝3x·x－3x，令y＝0得x＝x0， 依題意得|x0|＝， ∴x＝，∴x＝， ∴k＝3×＝，∴tan α＝，α＝60°. (2)y′＝2xln 2，當(dāng)x＝3時瞬時速度為23ln 2＝8ln 2. 【答案】　(1)60°　(2)8ln 2 導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用的

11、解題策略 (1)導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用非常廣泛，如運動物體在某一時刻的瞬時速度等，解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解導(dǎo)數(shù)的實際意義，準確求出導(dǎo)數(shù). (2)利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以解決一些與距離、面積相關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是正確確定切線的斜率，進而求出切點坐標(biāo). [再練一題] 3.求曲線y＝和y＝x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積. 【解】　由解得交點為(1,1). ∵y′＝′＝－，∴k1＝－1， ∴曲線y＝在(1,1)處的切線方程為y－1＝－x＋1， 即y＝－x＋2. ∵y′＝(x2)′＝2x，∴k2＝2， ∴曲線y＝x2在(1

12、,1)處的切線方程為y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1. y＝－x＋2與y＝2x－1和x軸的交點分別為(2,0)，. ∴所求面積S＝×1×＝. [構(gòu)建·體系]  1.f(x)＝，f′(x)＝________. 【解析】　f(x)＝＝x. ∴f′(x)＝x－1＝x－＝. 【答案】　 2.函數(shù)f(x)＝cos x，則f′()＋f()＝________. 【解析】　f′(x)＝(cos x)′＝－sin x， ∴f′＋f＝－sin ＋cos ＝－1＋＝－. 【答案】?。? 3.曲線f(x)＝ln x在(2，ln 2)處切線的斜率是________. 【解析】　∵

13、f′(x)＝，∴k＝f′(2)＝. 【答案】　 4.若某點運動的速度為v(t)＝t，則該質(zhì)點在t＝2秒這一時刻的瞬時加速度為________. 【解析】　v′(t)＝t，∴v′(2)＝. 【答案】　 5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 【導(dǎo)學(xué)號：24830073】 (1)y＝cos； (2)y＝log22x－1. 【解】　(1)∵y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x. (2)∵y＝log22x－1＝log2x，∴y′＝. 我還有這些不足： (1)______________________________________________________________

14、 (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 學(xué)業(yè)分層測評(十五)　常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達標(biāo)] 一、填空題 1.若f(x)＝，則f′(1)＝________. 【解析】　 ∴

15、f′(1)＝. 【答案】　 2.下列命題中，正確命題的個數(shù)為________. ①若f(x)＝，則f′(0)＝0； ②(logax)′＝xln a； ③加速度是動點位移函數(shù)S(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)； ④曲線y＝x2在(0,0)處沒有切線. 【解析】?、僖驗閒(x)＝，當(dāng)x趨向于0時不存在極限，所以f(x)在0處不存在導(dǎo)數(shù)，故錯誤；②(logax)′＝，故錯誤；③瞬時速度是位移S(t)對時間t的導(dǎo)數(shù)，故錯誤；④y＝x2在(0,0)處的切線為y＝0，故錯誤. 【答案】　0 3.曲線y＝sin x在點處切線的斜率為________. 【導(dǎo)學(xué)號：24830074】 【解析】　∵y

16、′＝cos x，∴曲線y＝sin x在點處切線的斜率為cos＝. 【答案】　 4.設(shè)f(x)＝x4，若f′(x0)＝4，則x0＝________. 【解析】　∵f′(x)＝4x3，∴f′(x0)＝4x＝4，∴x＝1，則x0＝1. 【答案】　1 5.已知函數(shù)f(x)＝log2x，則f′(log2e)＝________. 【解析】　f′(x)＝，∴f′(log2e)＝＝1. 【答案】　1 6.曲線f(x)＝在處切線的方程為________. 【解析】　∵f′(x)＝－，∴k＝f′(2)＝－，則切線方程為y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0. 【答案】　x＋4y－4＝0 7.

17、若曲線y＝x在點(a，a)處的切線與兩個坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18，則a＝________. 【答案】　64 8.設(shè)直線y＝x＋b是曲線y＝ln x(x>0)的一條切線，則實數(shù)b的值為________. 【解析】　設(shè)切點為(x0，y0)， 則y′＝，∴＝，∴x0＝2， ∴y0＝ln 2，∴切點為(2，ln 2)， ∵切點在切線上，∴l(xiāng)n 2＝×2＋b，∴b＝ln 2－1. 【答案】　ln 2－1 二、解答題 9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝sin；(4)y＝e2. 【導(dǎo)學(xué)號：24830074】 【解】　(1)y′＝(x8)′＝

18、8x8－1＝8x7. (2)y′＝(4x)′＝4xln 4. (3)∵y＝sin＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. (4)y′＝(e2)′＝0. 10.求拋物線y＝x2上的點到直線x－y－2＝0的最短距離. 【解】　方法一：依題意知與直線x－y－2＝0平行的拋物線y＝x2切線的切點到直線x－y－2＝0的距離最小，設(shè)切點為(x0，x)， ∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝， ∴切點坐標(biāo)為， ∴所求的最短距離d＝＝. 方法二：設(shè)點(x，x2)是拋物線y＝x2上任意一點，則該點到直線x－y－2＝0的距離d＝＝＝|x2－x＋2|＝2＋， 當(dāng)x＝

19、時，d有最小值，即所求的最短距離為. [能力提升] 1.設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，則xn等于________. 【解析】　y′＝(n＋1)xn，曲線在點(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1). 令y＝0得xn＝. 【答案】　 2.函數(shù)y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為ak＋1，k為正整數(shù)，a1＝16，則a1＋a3＋a5＝________. 【解析】　y′＝2x，切線斜率k＝2ak，切線方程為y－a＝2ak(x－ak)， 令y＝0，－a＝2ak·x－2a，∴ak＋1＝ak， 若

20、a1＝16，∴a3＝4，a5＝1， ∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 【答案】　21 3.拋物線y＝x2上到直線x＋2y＋4＝0距離最短的點的坐標(biāo)為________. 【解析】　當(dāng)切線平行于直線x＋2y＋4＝0時，切點為所求， 令y′＝2x＝－，得x＝－，所以距離最短的點的坐標(biāo)為. 【答案】　 4.已知兩條曲線y＝sin x，y＝cos x，是否存在這兩條曲線的一個公共點，使在這一點處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由. 【解】　不存在.理由如下：設(shè)兩條曲線的一個公共點為P(x0，y0)， 所以兩條曲線在P(x0，y0)處的切線斜率分別為k1＝cos x0，k2＝－

21、sin x0. 若使兩條切線互相垂直，必須有cos x0·(－sin x0)＝－1，即cos x0·sin x0＝1，也就是sin 2x0＝2，這是不可能的，所以兩條曲線不存在公共點，使在這一點處兩條曲線的切線互相垂直. 3.2.2　函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù) 1.掌握導(dǎo)數(shù)的和、差、積、商的四則運算法則.(重點) 2.會利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(難點) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理　函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則 閱讀教材P82～P83例2以上部分，完成下列問題. 公式 語言敘述 [f(x)＋g(x)]′＝ f′(x)＋g′(x) 兩個函數(shù)和的

22、導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和 [f(x)－g(x)]′＝ f′(x)－g′(x) 兩個函數(shù)差的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的差 [C(f(x)]′＝Cf′(x) (C為常數(shù)) 常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積 [f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 兩個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘上第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ′＝ (g(x)≠0) 兩個函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)等于分母上的函數(shù)乘上分子的導(dǎo)數(shù)，減去分子乘以分母的導(dǎo)數(shù)所得的差除以分母的平方 1.判斷正誤： (1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，則f′(a)＝2a＋2

23、x.(　　) (2)運用法則求導(dǎo)時，不用考慮f′(x)，g′(x)是否存在.(　　) (3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x).(　　) 【解析】　(1)×.∵f′(x)＝2a＋2x，∴f′(a)＝2a＋2a＝4a. (2)×.運用法則求導(dǎo)時，要首先保證f′(x)、g′(x)存在. (3)×.[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). 【答案】　(1)×　(2)×　(3)× 2.若f(x)＝，則f′(x)＝________. 【解析】　f′(x)＝＝－. 【答案】?。? [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交

24、流： 疑問1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑問2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑問3：______________________________________________

25、__________ 解惑：________________________________________________________ [小組合作型] 導(dǎo)數(shù)運算法則的應(yīng)用 　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x·tan x； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3); (4)y＝. 【導(dǎo)學(xué)號：24830075】 【精彩點撥】　仔細觀察和分析各函數(shù)的結(jié)構(gòu)規(guī)律，緊扣導(dǎo)數(shù)公式，不具備求導(dǎo)條件的可進行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危俳Y(jié)合基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，小心計算. 【自主解答】　(1) y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3

26、x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5. (2) y′＝(x·tan x)′＝′ ＝ ＝＝. (3)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (4)y′＝′＝ ＝＝－. 深刻理解和掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則是解決求函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)問題的前提.在具體求導(dǎo)時，可結(jié)合給定函數(shù)本身的特點，先分清函數(shù)結(jié)構(gòu)，再將各部分的導(dǎo)數(shù)求出，具體的求解策略主要有以下幾種. (1)直接求導(dǎo)：利用導(dǎo)數(shù)運算法則直接求導(dǎo)數(shù)，此法適用

27、于一些比較簡單的函數(shù)的求導(dǎo)問題. (2)先化簡后求導(dǎo)：在求導(dǎo)中，有些函數(shù)形式上很復(fù)雜，可以先進行化簡再求導(dǎo)，以減少運算量. (3)先分離常數(shù)后求導(dǎo)：對于分式形式的函數(shù)，往往可利用分離常數(shù)的方法使分式的分子不含變量，從而達到簡化求導(dǎo)過程的目的. [再練一題] 1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝2x3－x＋；(2)y＝2xtan x; (3)f(x)＝. 【解】　(1)y′＝(2x3)′－x′＋′＝6x2－1－. (2) y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′＝2xln 2tan x＋2x′ ＝2xln 2tan x＋2x＝2xln 2tan

28、x＋2x＋2xtan2x＝2x(1＋ln 2tan x＋tan2x). (3)f′(x)＝′＝′＋′＝＋ ＝ ＝. 復(fù)雜曲線的切線問題 　(1)(2016·聊城高二檢測)曲線y＝x(3ln x＋1)在點(1,1)處的切線方程為________. (2)(2016·南京高二檢測)曲線y＝在點(1,1)處的切線方程為________. 【精彩點撥】　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點坐標(biāo)，代入直線的點斜式方程得切線方程. 【自主解答】　(1)∵y′＝3ln x＋4，∴k＝3×ln 1＋4＝4，故切線方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0. (2)由y′＝

29、＝－，所以k＝－1，得切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. 【答案】　(1)4x－y－3＝0　(2)x＋y－2＝0 利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)運算公式來簡化曲線切線的求法. (1)在點P(x0，y0)處的切線方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)； (2)過點P(x1，y1)的切線方程：設(shè)切點坐標(biāo)為(x0，y0)，則切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)，代入點P(x1，y1)求出x0，即可得出切線方程(求出的x0的個數(shù)就是過這點的切線的條數(shù)). [再練一題] 2.曲線y＝x3－2x＋1在點(1,0)處的切線方程為________. 【導(dǎo)學(xué)號：248

30、30076】 【解析】　由導(dǎo)數(shù)的定義得y′＝3x2－2，∴k＝1，∴切線方程為y＝x－1. 【答案】　y＝x－1 [探究共研型] 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 探究1　在曲線y＝f(x)上有一點(x0，f(x0))，那么曲線在這一點處切線的斜率是什么？ 【提示】 　 k＝f′(x0). 探究2　在探究1中，若還已知切線上另外一點(x1，f(x1))，那么該切線的斜率還可以如何表示？和探究1中得到的結(jié)論有什么關(guān)系？ 【提示】　k＝，f′(x0)＝. 探究3　若已知曲線y＝ax2在點P處的切線方程為y＝2x－1，能否求出切點P的坐標(biāo)？能否求出曲線的方程？ 【提示】　設(shè)切點P的坐標(biāo)為(

31、x0，y0)，因為y′＝2ax，所以切線的斜率為2ax0＝2，又因為切點(x0，y0)在曲線y＝ax2和切線y＝2x－1上，所以有y0＝ax，且y0＝2x0－1， 即 解之得，所以切點P的坐標(biāo)為(1,1)，曲線的方程為y＝x2. 探究4　通過以上討論，你認為如何解決有關(guān)曲線切線的問題？ 【提示】　解決曲線的切線問題應(yīng)充分利用切點滿足的三個關(guān)系式：一是切線的斜率是函數(shù)在此切點處的導(dǎo)數(shù)；二是切點的坐標(biāo)滿足切線的方程；三是切點的坐標(biāo)滿足切線的方程.可根據(jù)上述三個方面的條件建立相關(guān)的方程(組)求解未知數(shù). 　設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y

32、－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值. 【精彩點撥】　(1)利用已知切線的斜率、切點的坐標(biāo)滿足曲線的方程和切線的方程構(gòu)建方程組可求出a，b的值，可得函數(shù)f(x)的解析式； (2)根據(jù)已知條件求出曲線y＝f(x)上任一點處的切線方程，得到所求面積的表達式即知其為定值. 【自主解答】　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.當(dāng)x＝2時，y＝， ∴f(2)＝，① 又∵f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝.② 由①②得解得故f(x)＝x－. (2)證明：設(shè)P(x0，y0)為

33、曲線上任一點，由y′＝1＋知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0).令x＝0，得y＝－， 從而得切線與直線x＝0的交點坐標(biāo)為. 令y＝x，得y＝x＝2x0， 從而得切線與直線y＝x的交點坐標(biāo)為(2x0,2x0).所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為：|－||2x0|＝6.故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6. 利用導(dǎo)數(shù)來處理與切線斜率有關(guān)的問題是一種非常有效的方法，它適用于任何導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)，一般可以根據(jù)條件建立相關(guān)的方程(組)求解未知量.

34、[再練一題] 3.已知函數(shù)f(x)＝2x3＋ax與g(x)＝bx2＋cx的圖象都過點P(2,0)，且在點P處有公共切線.求f(x)和g(x)的表達式及在點P處的公切線的方程. 【解】　由題意，得f′(2)＝g′(2)，f(2)＝g(2)＝0. ∵f′(x)＝6x2＋a，g′(x)＝2bx＋c， ∴ 解得 ∴f(x)＝2x3－8x，g(x)＝8x2－16x，即f′(x)＝6x2－8，∴f′(2)＝16，∴在點P處的公切線方程為y＝16(x－2). [構(gòu)建·體系] 1.(2016·濰坊高二檢測)函數(shù)y＝x3cos x的導(dǎo)數(shù)是______. 【解析】　y′＝3x2cos x

35、＋x3(－sin x)＝3x2cos x－x3sin x. 【答案】　3x2cos x－x3sin x 2.函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)為 ________. 【解析】　∵y′＝′＝＝＝. 【答案】　 3.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，則a的值為________. 【解析】　∵f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a＝2，∴a＝1. 【答案】　1 4.曲線f(x)＝x3－x2＋5在x＝1處的切線的傾斜角為________. 【解析】　f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，故切線的傾斜角為. 【答案】　 5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝x2sin x；(2)y

36、＝ln x＋；(3)y＝； 【解】　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－. (3)y′＝′＝＝－. 我還有這些不足： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)______________________________________

37、________________________ (2)______________________________________________________________ 學(xué)業(yè)分層測評(十六)　 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達標(biāo)] 一、填空題 1.設(shè)f(x)＝ln a2x(a>0且a≠1)，則f′(1)＝________. 【解析】　∵f(x)＝ln a2x＝2xln a，∴f′(x)＝(2xln a)′＝(2x)′ln a＋2x(ln a)′＝2ln a，故f′(1)＝2ln a. 【答案】　2ln a 2.函數(shù)y＝(2＋x3)

38、2的導(dǎo)數(shù)為________. 【導(dǎo)學(xué)號：24830077】 【解析】　∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2. 【答案】　6x5＋12x2 3.(2016·宿遷高二檢測)函數(shù)y＝的導(dǎo)數(shù)是________. 【解析】　y′＝′＝＝. 【答案】　 4.設(shè)f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0的值為________. 【解析】　f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，因為f′(x0)＝2，所以ln x0＋1＝2，ln x0＝1，x0＝e. 【答案】　e 5.函數(shù)f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)等于________. 【解

39、析】　f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4. 【答案】　4 6.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)的值為________. 【解析】　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 【答案】?。? 7.(2016·揚州高二檢測)若曲線y＝e－x上點P處的切線平行于直線2x＋y＋1＝0，則點P的坐標(biāo)是________. 【解析】　設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，y′＝－e－x.又切線平行于直線2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝

40、－2，可得x0＝－ln 2，此時y0＝2，所以點P的坐標(biāo)為(－ln 2,2). 【答案】　(－ln 2,2) 8.設(shè)f(x)＝ax2－bsin x，且f′(0)＝1，f′＝，則a＝________，b＝________. 【解析】　∵f′(x)＝2ax－bcos x，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′＝πa＋＝，得a＝0. 【答案】　0?。? 二、解答題 9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝ex·ln x; (2)y＝x. (3)f(x)＝. 【解】　(1)y′＝(ex·ln x)′＝exln x＋ex·＝ex. (2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. (3)f′(x

41、)＝ex· 10.已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程. 【解】　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2， ∴曲線在點(2，f(2))處的切線方程為y＋2＝x－2， 即x－y－4＝0. (2)設(shè)曲線與經(jīng)過點A(2，－2)的切線相切于點P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5， ∴切線方程為y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)， 又切線過點P(x0，x－4x＋5x0－4)， ∴x－4x＋5x0－

42、2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)， 整理得(x0－2)2(x0－2)＝0，解得x0＝2或1， ∴經(jīng)過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0，或y＋2＝0. [能力提升] 1.一質(zhì)點做直線運動，由始點起經(jīng)過t s后的距離為s＝t4－4t3＋16t2，則速度為零的時刻是________. 【導(dǎo)學(xué)號：24830078】 【解析】　v＝s′＝t3－12t2＋32t.令v＝0，則t＝0,4,8. 【答案】　0 s,4 s,8 s 2.已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是________. 【解析】　y′＝′＝＝，－1≤＜0， 即

43、－1≤tan α＜0，由正切函數(shù)圖象得α∈. 【答案】　 3.設(shè)f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，若已知f′(x)＝xcos x，則f(x)＝________. 【解析】　∵f′(x)＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′ ＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x ＝(a－d－cx)sin x＋(ax＋b＋c)cos x. 為使f′(x)＝xcos x，應(yīng)滿足解方程組，得 從而可知，f(x

44、)＝xsin x＋cos x. 【答案】　xsin x＋cos x 4.已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C. (1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍； (2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標(biāo)的取值范圍. 【解】　 (1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞). (2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k， 則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞). 最新精選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)資料