2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5.docx
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二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.2.了解貝努利不等式,并會(huì)證明貝努利不等式.3.體會(huì)歸納—猜想—證明的思想方法. 知識(shí)點(diǎn) 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 思考1 用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題必須注意的步驟是什么? 答案 (1)歸納奠基:驗(yàn)證初始值n=n0. (2)歸納遞推:在假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N+)成立的前提下,證明n=k+1時(shí)問(wèn)題成立. 思考2 證明不等式與證明等式有什么不同? 答案 證明不等式需注意的是對(duì)式子進(jìn)行“放縮”. 梳理 (1)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí),由n=k時(shí)命題成立,推導(dǎo)n=k+1命題成立時(shí),常常要與其他方法,如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行. (2)貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實(shí)數(shù),且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數(shù),則有(1+x)n>1+nx. (3)貝努利不等式的推廣 事實(shí)上,把貝努利不等式中的正整數(shù)n改為實(shí)數(shù)α?xí)r, 仍有類似不等式成立. ①當(dāng)α是實(shí)數(shù),并且滿足α>1或者α<0時(shí),有(1+x)α≥1+αx(x>-1); ②當(dāng)α是實(shí)數(shù),并且滿足0<α<1時(shí),有(1+x)α≤1+αx(x>-1). 類型一 數(shù)學(xué)歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式 例1 證明:1+++…+<2-(n∈N+,n≥2). 證明 (1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1+=,右邊=2-=,由于<,因此命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥2)時(shí),命題成立, 即1+++…+<2-. 當(dāng)n=k+1時(shí),1+++…++<2-+<2-+=2-+=2-, 即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立. 由(1)(2)可知,不等式對(duì)一切n∈N+,n≥2都成立. 反思與感悟 在歸納遞推過(guò)程中常用到放縮法,這也是在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題時(shí)常用的方法之一. 跟蹤訓(xùn)練1 用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+++…+<n(n∈N+,n>1). 證明 (1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1++,右邊=2, 左邊<右邊,不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k>1,k∈N+)時(shí),不等式成立, 即1+++…+- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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