陜西省周至縣高中數(shù)學 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學歸納法教案 北師大版選修2-2.doc

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1.4《數(shù)學歸納法》 一、教學分析 本課是數(shù)學歸納法的第一節(jié)課。前面學生已經(jīng)學過歸納和推理相關(guān)內(nèi)容的學習，初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法。不完全歸納法是研究數(shù)學問題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的重要手段，它有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想，但是結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法；完全歸納，結(jié)論可靠，但一一核對困難。從而需要一種科學的方法解決與正整數(shù)相關(guān)的數(shù)學問題，即必須進一步學習嚴謹?shù)目茖W的論證方法——數(shù)學歸納法。數(shù)學歸納法安排在歸納和推理之后，是促進學生從有限思維發(fā)展到無限思維的一個重要環(huán)節(jié)。并且，本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生嚴密的推理能力、訓練學生的抽象思維能力、體驗數(shù)學內(nèi)在美的好素材。 二、教學目標 學生通過歸納和推理等相關(guān)知識的學習，已基本掌握了不完全歸納法，具有一定的觀察、歸納、猜想能力。通過新課程教學方法的實施和新課程理念的滲透，學生已基本習慣于對已給問題進行探究，但主動提出問題和置疑的能力還有待進一步提高。能主動提出問題和敢于置疑是學生具有獨立人格和創(chuàng)新能力的重要標志。如何讓學生主動置疑和提出問題？本課在這方面作了一些嘗試。 根據(jù)教學內(nèi)容特點和新課程高中數(shù)學標準以及學生現(xiàn)有的知識水平，按照學生終身發(fā)展需要而制訂以下教學目標。 1.知識和技能 （1）了解由有限多個特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確。 （2）初步理解數(shù)學歸納法原理。 （3）理解并記住用數(shù)學歸納法證明數(shù)學命題的兩個步驟。 （4）初步會用數(shù)學歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的恒等式。 2.過程和方法 （1）通過對數(shù)學歸納法的學習、應(yīng)用，培養(yǎng)學生的觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴密的邏輯推理能力。 （2）讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。 3.情感、態(tài)度和價值觀 （1）通過對數(shù)學歸納法原理的探究，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)摹嵤虑笫堑目茖W態(tài)度和不怕困難，勇于探索的精神。 （2）學生通過對數(shù)學歸納法原理的理解，感受數(shù)學內(nèi)在美的振憾力，從而使學生喜歡數(shù)學。 （3）通過置疑與探究，培養(yǎng)學生獨立的人格和敢于創(chuàng)新的精神。 三、教學重難點 根據(jù)新課程教學大綱要求、本節(jié)課內(nèi)容特點和學生現(xiàn)有知識水平，確定如下教學重難點： 1.重點：（1）初步理解數(shù)學歸納法的原理。 （2）明確用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟。 （3）初步會用數(shù)學歸納法證明簡單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學恒等式。 2.難點：（1）對數(shù)學歸納法原理的理解，即理解數(shù)學歸納法證題的嚴密性與有效性。 （2）假設(shè)的利用，即如何利用假設(shè)證明當n=k+1時結(jié)論正確。 四、教學過程 第一階段：輸入階段——創(chuàng)造學習情境，提供學習內(nèi)容 創(chuàng)設(shè)問題情境，啟動學生思維 不完全歸納法和完全歸納法對比引例： 有一位師傅想考考他的兩個徒弟，看誰更聰明一些．他給每人一筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰先給出答案．大徒弟費了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個飽滿的，幾個干癟的，幾個熟好的，幾個沒熟的，幾個三仁的，幾個一仁、兩仁的，總共不過一把花生．顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明． 在生活和生產(chǎn)實際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預測，水文預報，主要用的就是歸納法．這些歸納卻不能用完全歸納法． 回顧數(shù)學舊知，追溯歸納意識 （從生活走向數(shù)學，與學生一起回顧以前學過的數(shù)學知識，進一步體會歸納意識，同時讓學生感受到以前的學習中其實早已接觸過歸納．） (1)不完全歸納法實例：已知數(shù)列中,，試寫出該數(shù)列的一個通項公式． (2)完全歸納法實例：利用判別式總結(jié)直線和橢圓位置關(guān)系時分三種情況進行討論． 借助數(shù)學史料,促使學生思辨 （在生活引例與學過的數(shù)學知識的基礎(chǔ)上，再引導學生看數(shù)學史料，能夠讓學生全方位多角度體會歸納法，感受使用歸納法的普遍性．同時引導學生進行思辨：在數(shù)學中運用不完全歸納法常常會得到錯誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學家都可能如此．那么，有沒有更好的歸納法呢？） 問題1已知＝（n∈N）， (1)分別求，，，； (2)由此你能得到一個什么結(jié)論？這個結(jié)論正確嗎？ 經(jīng)計算得得出推斷. 事實上，經(jīng)計算可知. （培養(yǎng)學生大膽猜想的意識和數(shù)學概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學認為“遷移就是概括”，這里知識、技能、思維方法、數(shù)學原理的遷移，找的突破口就是學生的概括過程．） 問題2,當n∈N時，是否都為質(zhì)數(shù)？ 驗證：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝，是合數(shù)． 第二階段：新舊知識作用，搭建新知結(jié)構(gòu) 搜索生活實例，激發(fā)學習興趣 （在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實例出發(fā)，與學生一起解析歸納原理,揭示遞推過程．孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者．”興趣這種個性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗．） 實例：播放多米諾骨牌錄像 關(guān)鍵：(1)第一張牌被推倒；(2)假如某一張牌倒下,則它的后一張牌必定倒下．于是,我們可以下結(jié)論：多米諾骨牌會全部倒下． 再舉幾則生活事例：車棚里整齊排放的自行車被推倒,烽火臺傳遞信息，早操排隊對齊等． 探究數(shù)學問題,領(lǐng)悟方法真諦 類比多米諾骨牌過程,探究下面問題：不等式對于哪些正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。下面以對話、交流、探討的形式給出本節(jié)課的關(guān)鍵環(huán)節(jié)： （1）結(jié)論的發(fā)現(xiàn)： 通過驗算，學生得出初步結(jié)論：當時，原不等式成立。 (2)嘗試證明： （師）如何改進剛才無窮無盡的實驗方法？比如n=4時的情況：已知n=3時，不等式成立，即，能否由此出發(fā)來證明不等式當n=4時也成立，即。就是來考慮一個新問題：已知，求證：（不用直接計算） (生) （師）現(xiàn)在已知n=4時不等式成立，以此出發(fā)來證明當n=5時，不等時也成立。即已知，求證：. （生）可以仿照剛才的證明那樣，只要把3改成4，把4改成5就可以了。 （師）剛才的證明與試驗的不同之處是：試驗一次與另一次的均不同，要做無窮多次，永遠做不完。而現(xiàn)在做的，雖然也要做無窮多次，但都是類似的，本質(zhì)上是相同的。做一次可以頂很多次了。那么能否把剛才的問題一般化？ 已知，求證： （生） （師）大家好好領(lǐng)會一下剛才完成的證明，一個可以頂無窮多個。因為n=3時，經(jīng)直接檢驗，不等式成立。根據(jù)剛才的證明，n=4時不等式能成立；再依據(jù)此理，n=5,n=6,直至對任意正整數(shù)n，不等式都能成立了。 （師）能否把剛才的思維過程用關(guān)鍵性的幾個步驟表示出來？ 思考交流后，學生給出以下步驟： ①驗證當n＝3時原不等式成立； ②假設(shè)當n=k時不等式成立,即.則當n＝k＋1時 所以根據(jù)①，②不等式對任何n∈，都成立． （布魯納的發(fā)現(xiàn)學習理論認為，“有指導的發(fā)現(xiàn)學習”強調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程．這里通過類比多米諾骨牌游戲的過程，讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學習．） 引導學生概括,形成科學方法 證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下： (1)證明當n取第一個值時結(jié)論正確； (2)假設(shè)當n＝k(k∈，k≥)時結(jié)論正確,證明當n＝k＋1時結(jié)論也正確． 完成這兩個步驟后,就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)n都正確． 這種證明方法叫做數(shù)學歸納法． 第三階段：操作階段——鞏固認知結(jié)構(gòu)，充實認知過程 方法初步應(yīng)用,培養(yǎng)反思意識 （本例要求學生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學歸納法，也能教給學生做數(shù)學的方法，培養(yǎng)學生獨立研究數(shù)學問題的意識和能力．） 例1證明：首相為，公差為d的等差數(shù)列的前n項和公式為 教師引導學生應(yīng)用數(shù)學歸納法證明例題之后，緊接著提出下面問題： 思考與交流有同學第二步采用下面的證法：假設(shè)n=k時命題成立，即則當n=k+1時,因為，,所以 即n=k+1時命題也成立.你認為這樣證明正確嗎？ 結(jié)論：實際上這個證明是不正確的。用數(shù)學歸納法證明時，第二步證明一定要建立一個命題：“假設(shè)時命題成立，求證當時命題也成立”，并對此命題進行證明。而上面的證法在第二步?jīng)]有使用歸納假設(shè)，所以這個證明不是數(shù)學歸納法的證明。 教師點評：證明第二步時，不是直接將代入命題完事，只在形式上擺出結(jié)論，而應(yīng)該是由“時命題成立”推出“時命題也成立”，得出遞推關(guān)系，從而完成證明。 師生共同小結(jié),完成概括提升 (1)本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學歸納法； (2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學歸納法屬于完全歸納法； (3)數(shù)學歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明不能忘； (4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學思想方法有：遞推思想、類比思想、分類思想、歸納思想、辯證唯物主義思想． 布置課后作業(yè),鞏固延伸鋪墊 課本第19頁習題1—4第1,3題． 補充作業(yè)：已知數(shù)列中， 計算的值，并猜想通項的公式； 用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論。