陜西省周至縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法教案 北師大版選修2-2.doc

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1.4《數(shù)學(xué)歸納法》 一、教學(xué)分析 本課是數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課。前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)歸納和推理相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，初步掌握了由有限多個(gè)特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法。不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段，它有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成猜想，但是結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法；完全歸納，結(jié)論可靠，但一一核對(duì)困難。從而需要一種科學(xué)的方法解決與正整數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即必須進(jìn)一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法——數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法安排在歸納和推理之后，是促進(jìn)學(xué)生從有限思維發(fā)展到無(wú)限思維的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。并且，本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力、訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的好素材。 二、教學(xué)目標(biāo) 學(xué)生通過(guò)歸納和推理等相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，已基本掌握了不完全歸納法，具有一定的觀察、歸納、猜想能力。通過(guò)新課程教學(xué)方法的實(shí)施和新課程理念的滲透，學(xué)生已基本習(xí)慣于對(duì)已給問(wèn)題進(jìn)行探究，但主動(dòng)提出問(wèn)題和置疑的能力還有待進(jìn)一步提高。能主動(dòng)提出問(wèn)題和敢于置疑是學(xué)生具有獨(dú)立人格和創(chuàng)新能力的重要標(biāo)志。如何讓學(xué)生主動(dòng)置疑和提出問(wèn)題？本課在這方面作了一些嘗試。 根據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)和新課程高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)以及學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平，按照學(xué)生終身發(fā)展需要而制訂以下教學(xué)目標(biāo)。 1.知識(shí)和技能 （1）了解由有限多個(gè)特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確。 （2）初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理。 （3）理解并記住用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟。 （4）初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的恒等式。 2.過(guò)程和方法 （1）通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力。 （2）讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。 3.情感、態(tài)度和價(jià)值觀 （1）通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難，勇于探索的精神。 （2）學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在美的振憾力，從而使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)。 （3）通過(guò)置疑與探究，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的人格和敢于創(chuàng)新的精神。 三、教學(xué)重難點(diǎn) 根據(jù)新課程教學(xué)大綱要求、本節(jié)課內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平，確定如下教學(xué)重難點(diǎn)： 1.重點(diǎn)：（1）初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理。 （2）明確用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟。 （3）初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)恒等式。 2.難點(diǎn)：（1）對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，即理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性與有效性。 （2）假設(shè)的利用，即如何利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論正確。 四、教學(xué)過(guò)程 第一階段：輸入階段——?jiǎng)?chuàng)造學(xué)習(xí)情境，提供學(xué)習(xí)內(nèi)容 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，啟動(dòng)學(xué)生思維 不完全歸納法和完全歸納法對(duì)比引例： 有一位師傅想考考他的兩個(gè)徒弟，看誰(shuí)更聰明一些．他給每人一筐花生去剝皮，看看每一?；ㄉ适遣皇嵌加蟹垡掳?，看誰(shuí)先給出答案．大徒弟費(fèi)了很大勁將花生全部剝完了；二徒弟只揀了幾個(gè)飽滿的，幾個(gè)干癟的，幾個(gè)熟好的，幾個(gè)沒(méi)熟的，幾個(gè)三仁的，幾個(gè)一仁、兩仁的，總共不過(guò)一把花生．顯然，二徒弟先給出答案，他比大徒弟聰明． 在生活和生產(chǎn)實(shí)際中，歸納法也有廣泛應(yīng)用．例如氣象工作者、水文工作者依據(jù)積累的歷史資料作氣象預(yù)測(cè)，水文預(yù)報(bào)，主要用的就是歸納法．這些歸納卻不能用完全歸納法． 回顧數(shù)學(xué)舊知，追溯歸納意識(shí) （從生活走向數(shù)學(xué)，與學(xué)生一起回顧以前學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)歸納意識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生感受到以前的學(xué)習(xí)中其實(shí)早已接觸過(guò)歸納．） (1)不完全歸納法實(shí)例：已知數(shù)列中,，試寫(xiě)出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式． (2)完全歸納法實(shí)例：利用判別式總結(jié)直線和橢圓位置關(guān)系時(shí)分三種情況進(jìn)行討論． 借助數(shù)學(xué)史料,促使學(xué)生思辨 （在生活引例與學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)學(xué)史料，能夠讓學(xué)生全方位多角度體會(huì)歸納法，感受使用歸納法的普遍性．同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思辨：在數(shù)學(xué)中運(yùn)用不完全歸納法常常會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，不管是我們還是數(shù)學(xué)家都可能如此．那么，有沒(méi)有更好的歸納法呢？） 問(wèn)題1已知＝（n∈N）， (1)分別求，，，； (2)由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論？這個(gè)結(jié)論正確嗎？ 經(jīng)計(jì)算得得出推斷. 事實(shí)上，經(jīng)計(jì)算可知. （培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識(shí)和數(shù)學(xué)概括能力．概括能力是思維能力的核心．魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的．心理學(xué)認(rèn)為“遷移就是概括”，這里知識(shí)、技能、思維方法、數(shù)學(xué)原理的遷移，找的突破口就是學(xué)生的概括過(guò)程．） 問(wèn)題2,當(dāng)n∈N時(shí)，是否都為質(zhì)數(shù)？ 驗(yàn)證：f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝，是合數(shù)． 第二階段：新舊知識(shí)作用，搭建新知結(jié)構(gòu) 搜索生活實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣 （在第一階段的基礎(chǔ)上，由生活實(shí)例出發(fā)，與學(xué)生一起解析歸納原理,揭示遞推過(guò)程．孔子說(shuō)：“知之者不如好之者，好之者不如樂(lè)之者．”興趣這種個(gè)性心理傾向一般總是伴隨著良好的情感體驗(yàn)．） 實(shí)例：播放多米諾骨牌錄像 關(guān)鍵：(1)第一張牌被推倒；(2)假如某一張牌倒下,則它的后一張牌必定倒下．于是,我們可以下結(jié)論：多米諾骨牌會(huì)全部倒下． 再舉幾則生活事例：車(chē)棚里整齊排放的自行車(chē)被推倒,烽火臺(tái)傳遞信息，早操排隊(duì)對(duì)齊等． 探究數(shù)學(xué)問(wèn)題,領(lǐng)悟方法真諦 類(lèi)比多米諾骨牌過(guò)程,探究下面問(wèn)題：不等式對(duì)于哪些正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論。下面以對(duì)話、交流、探討的形式給出本節(jié)課的關(guān)鍵環(huán)節(jié)： （1）結(jié)論的發(fā)現(xiàn)： 通過(guò)驗(yàn)算，學(xué)生得出初步結(jié)論：當(dāng)時(shí)，原不等式成立。 (2)嘗試證明： （師）如何改進(jìn)剛才無(wú)窮無(wú)盡的實(shí)驗(yàn)方法？比如n=4時(shí)的情況：已知n=3時(shí)，不等式成立，即，能否由此出發(fā)來(lái)證明不等式當(dāng)n=4時(shí)也成立，即。就是來(lái)考慮一個(gè)新問(wèn)題：已知，求證：（不用直接計(jì)算） (生) （師）現(xiàn)在已知n=4時(shí)不等式成立，以此出發(fā)來(lái)證明當(dāng)n=5時(shí)，不等時(shí)也成立。即已知，求證：. （生）可以仿照剛才的證明那樣，只要把3改成4，把4改成5就可以了。 （師）剛才的證明與試驗(yàn)的不同之處是：試驗(yàn)一次與另一次的均不同，要做無(wú)窮多次，永遠(yuǎn)做不完。而現(xiàn)在做的，雖然也要做無(wú)窮多次，但都是類(lèi)似的，本質(zhì)上是相同的。做一次可以頂很多次了。那么能否把剛才的問(wèn)題一般化？ 已知，求證： （生） （師）大家好好領(lǐng)會(huì)一下剛才完成的證明，一個(gè)可以頂無(wú)窮多個(gè)。因?yàn)閚=3時(shí)，經(jīng)直接檢驗(yàn)，不等式成立。根據(jù)剛才的證明，n=4時(shí)不等式能成立；再依據(jù)此理，n=5,n=6,直至對(duì)任意正整數(shù)n，不等式都能成立了。 （師）能否把剛才的思維過(guò)程用關(guān)鍵性的幾個(gè)步驟表示出來(lái)？ 思考交流后，學(xué)生給出以下步驟： ①驗(yàn)證當(dāng)n＝3時(shí)原不等式成立； ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即.則當(dāng)n＝k＋1時(shí) 所以根據(jù)①，②不等式對(duì)任何n∈，都成立． （布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程．這里通過(guò)類(lèi)比多米諾骨牌游戲的過(guò)程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)．） 引導(dǎo)學(xué)生概括,形成科學(xué)方法 證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下： (1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)結(jié)論正確； (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈，k≥)時(shí)結(jié)論正確,證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論也正確． 完成這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確． 這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法． 第三階段：操作階段——鞏固認(rèn)知結(jié)構(gòu)，充實(shí)認(rèn)知過(guò)程 方法初步應(yīng)用,培養(yǎng)反思意識(shí) （本例要求學(xué)生先猜想后證明，既能鞏固歸納法和數(shù)學(xué)歸納法，也能教給學(xué)生做數(shù)學(xué)的方法，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)和能力．） 例1證明：首相為，公差為d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為 教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明例題之后，緊接著提出下面問(wèn)題： 思考與交流有同學(xué)第二步采用下面的證法：假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)椋?所以 即n=k+1時(shí)命題也成立.你認(rèn)為這樣證明正確嗎？ 結(jié)論：實(shí)際上這個(gè)證明是不正確的。用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第二步證明一定要建立一個(gè)命題：“假設(shè)時(shí)命題成立，求證當(dāng)時(shí)命題也成立”，并對(duì)此命題進(jìn)行證明。而上面的證法在第二步?jīng)]有使用歸納假設(shè)，所以這個(gè)證明不是數(shù)學(xué)歸納法的證明。 教師點(diǎn)評(píng)：證明第二步時(shí)，不是直接將代入命題完事，只在形式上擺出結(jié)論，而應(yīng)該是由“時(shí)命題成立”推出“時(shí)命題也成立”，得出遞推關(guān)系，從而完成證明。 師生共同小結(jié),完成概括提升 (1)本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法； (2)歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，完全歸納法只局限于有限個(gè)元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法； (3)數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點(diǎn)可概括為：兩個(gè)步驟一結(jié)論，遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫(xiě)明不能忘； (4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、類(lèi)比思想、分類(lèi)思想、歸納思想、辯證唯物主義思想． 布置課后作業(yè),鞏固延伸鋪墊 課本第19頁(yè)習(xí)題1—4第1,3題． 補(bǔ)充作業(yè)：已知數(shù)列中， 計(jì)算的值，并猜想通項(xiàng)的公式； 用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。