2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 合情推理與演繹推理練習(xí) 新人教A版.doc
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第六章 第5節(jié) 合情推理與演繹推理 [基礎(chǔ)訓(xùn)練組] 1.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577564)命題“有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù),整數(shù)是有理數(shù),所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題,推理錯(cuò)誤的原因是( ) A.使用了歸納推理 B.使用了類(lèi)比推理 C.使用了“三段論”,但大前提錯(cuò)誤 D.使用了“三段論”,但小前提錯(cuò)誤 解析:C [由題目可知滿(mǎn)足“三段論”形式,但是大前提表述不正確而使結(jié)論錯(cuò)誤.] 2.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577565)由代數(shù)式的乘法法則類(lèi)比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則: ①“mn=nm”類(lèi)比得到“ab=ba”; ②“(m+n)t=mt+nt”類(lèi)比得到“(a+b)c=ac+bc”; ③“(mn)t=m(nt)”類(lèi)比得到“(ab)c=a(bc)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”類(lèi)比得到“p≠0,ap=xp?a=x”; ⑤“|mn|=|m||n|”類(lèi)比得到“|ab|=|a||b|”; ⑥“=”類(lèi)比得到“=”. 以上的式子中,類(lèi)比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:B [①②正確,③④⑤⑥錯(cuò)誤.] 3.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577566)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列.類(lèi)比這一性質(zhì)可知,若正項(xiàng)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列,且{dn}也是等比數(shù)列,則dn的表達(dá)式應(yīng)為( ) A.dn= B.dn= C.dn= D.dn= 解析:D [若{an}是等差數(shù)列,則 a1+a2+…+an=na1+d, ∴bn=a1+d=n+a1-, 即{bn}為等差數(shù)列;若{cn}是等比數(shù)列,則c1c2…cn =cq1+2+…+(n-1)=cq, ∴dn==c1q,即{dn}為等比數(shù)列.] 4.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577567)(2018渭南市一模)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù),例如: 他們研究過(guò)圖中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱(chēng)為三角形數(shù),由以上規(guī)律,則這些三角形數(shù)從小到大形成一個(gè)數(shù)列{an},那么a10的值為( ) A.45 B.55 C.65 D.66 解析:B [由已知中: 第1個(gè)圖中黑點(diǎn)有1個(gè), 第2個(gè)圖中黑點(diǎn)有3=1+2個(gè), 第3個(gè)圖中黑點(diǎn)有6=1+2+3個(gè), 第4個(gè)圖中黑點(diǎn)有10=1+2+3+4個(gè), … 故第10個(gè)圖中黑點(diǎn)有a10=1+2+3+…+10==55個(gè).故選B.] 5.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577568)為提高信息在傳輸中的抗干擾能力,通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息.設(shè)定原信息為a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),傳輸信息為h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕運(yùn)算規(guī)則為0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息為111,則傳輸信息為01111,信息在傳輸過(guò)程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò),則下列接收信息一定有誤的是( ) A.11010 B.01100 C.10111 D.00011 解析:C [對(duì)于選項(xiàng)C,傳輸信息是10111,對(duì)應(yīng)的原信息是011,由題目中運(yùn)算規(guī)則知h0=0⊕1=1,而h1=h0⊕a2=1⊕1=0,故傳輸信息應(yīng)是10 110.] 6.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577569)(理科)(2018咸陽(yáng)市二模)觀察下列式子:<2,+<,++<8,+++<, …,根據(jù)以上規(guī)律,第n個(gè)不等式是 ____________ . 解析:根據(jù)所給不等式可得第n個(gè)不等式是++…+<. 答案:++…+< 6.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577570)(文科)(2018濰坊市一模)觀察式子1+<,1++<,1+++<…,則可歸納出1+++…+< ________ . 解析:根據(jù)題意,每個(gè)不等式的右邊的分母是n+1.不等號(hào)右邊的分子是2n+1, ∴1+++…+<(n≥1) 答案:(n≥1) 7.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577572) 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),那么對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,都有 ≤f.若y=sin x在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),那么在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是 ________ . 解析:由題意知,凸函數(shù)滿(mǎn)足 ≤f, 又y=sin x在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),則sin A+sin B+sin C≤3sin=3sin=. 答案: 8.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577573)(理科)(2018日照市一模)在計(jì)算“12+23+…+n(n+1)”時(shí),某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法:先改寫(xiě)第k項(xiàng):k(k+1)=[k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)]由此得 12=(123-012), 23=(234-123), …, n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)], 相加,得12+23+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2). 類(lèi)比上述方法,請(qǐng)你計(jì)算“123+234+…+n(n+1)(n+2)”, 其結(jié)果為 ____________ . 解析:∵n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)], ∴123=(1234-0123), 234=(2345-1234), …, n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)], ∴123+234+…+n(n+1)(n+2)=[(1234-0123)+(2345-1234)+…+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3). 答案:n(n+1)(n+2)(n+3) 8.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577574)(文科)(2018菏澤市一模)a1= a2=(1-a1)=; a3=(1-a1-a2)=; a4=(1-a1-a2-a3)=; … 照此規(guī)律,當(dāng)n∈N*時(shí),an= ___________ . 解析:a1=; a2=(1-a1)=; a3=(1-a1-a2)=; a4=(1-a1-a2-a3)=; …; 照此規(guī)律,當(dāng)n∈N*時(shí),an=(1-a1-a2-…-an-1)=. 答案: [能力提升組] 9.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577575)(2017安徽江淮十校三聯(lián))我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程,比如在中“…”即代表無(wú)限次重復(fù),但原式卻是個(gè)定值x,這可以通過(guò)方程=x確定出來(lái)x=2,類(lèi)似地不難得到1+=( ) A. B. C. D. 解析:C [1+=x,即1+=x,即x2-x-1=0,解得x=(x=舍),故1+=,故選C.] 10.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577576)已知結(jié)論:“在正△ABC中,若D是邊BC的中點(diǎn),G是△ABC的重心,則=2”.若把該結(jié)論推廣到空間,則有結(jié)論:“在棱長(zhǎng)都相等的四面體A-BCD中,若△BCD的中心為M,四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等”,則=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:C [如圖設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1,則易知其高AM=,此時(shí)易知點(diǎn)O即為正四面體內(nèi)切球的球心,設(shè)其半徑為r,利用等積法有4r=,r=,故AO=AM-MO=-=,故AO∶OM=∶=3.] 11.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577577)已知“整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,則第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是( ) A.(7,5) B.(5,7) C.(2,10) D.(10,1) 解析:B [依題意,把“整數(shù)對(duì)”的和相同的分為一組,不難得知第n組中每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和均為n+1,且第n組共有n個(gè)“整數(shù)對(duì)”,這樣的前n組一共有個(gè)“整數(shù)對(duì)”,注意到<60<,因此第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”處于第11組(每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和為12的組)的第5個(gè)位置,結(jié)合題意可知每個(gè)“整數(shù)對(duì)”的和為12的組中的各對(duì)數(shù)依次為:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),…,因此第60個(gè)“整數(shù)對(duì)”是(5,7),選B.] 12.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577578)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,其面積為S,則△ABC的內(nèi)切圓的半徑r=.這是一道平面幾何題,其證明方法是“等面積法”.請(qǐng)用類(lèi)比推理的方法猜測(cè)對(duì)空間四面體ABCD存在的類(lèi)似結(jié)論為 ________ . 解析:由題意可得,題目要求寫(xiě)出類(lèi)似的結(jié)論,則在保證該結(jié)論正確的前提下,盡量在語(yǔ)言表達(dá)上與前面的結(jié)論一致.本題體現(xiàn)了平面幾何與立體幾何在如下詞語(yǔ)上的對(duì)應(yīng):“△ABC”與“四面體ABCD”,“邊長(zhǎng)”與“表面面積”,“面積”與“體積”,“內(nèi)切圓”與“內(nèi)切球”,這是結(jié)構(gòu)上的類(lèi)比.再者,本題也體現(xiàn)了方法上的類(lèi)比,即等面積法推理到等體積法,同樣是將整體分割成幾個(gè)小的部分,然后利用體積不變得出結(jié)論,即V=S1r+S2r+S3r+S4r,從而r=. 答案:已知空間四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,其體積為V,則四面體的內(nèi)切球的半徑r=. 13.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577579)(理科)在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書(shū)中,用如下圖1所示的三角形,解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后,法國(guó)數(shù)學(xué)家布萊士帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個(gè)三角形.近年來(lái)國(guó)外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國(guó),所以有些書(shū)上稱(chēng)這是“中國(guó)三角形”(Chinese triangle)如圖1,17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如下圖2.在楊輝三角中相鄰兩行滿(mǎn)足關(guān)系式:C+C=C,其中n是行數(shù),r∈N.請(qǐng)類(lèi)比上式,在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿(mǎn)足的關(guān)系式是 ________ . 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … C C … C … C C 圖1 … … … 圖2 解析:類(lèi)比觀察得,將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù),而相鄰兩項(xiàng)之和是上一行的兩者相拱之?dāng)?shù),所以類(lèi)比式子C+C=C,有=+. 答案:=+ 13.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577580)(文科)如圖所示,將正整數(shù)從小到大沿三角形的邊成螺旋狀排列起來(lái),2在第一個(gè)拐彎處,4在第二個(gè)拐彎處,7在第三個(gè)拐彎處,……,則在第二十個(gè)拐彎處的正整數(shù)是 ________ . 解析:觀察題圖可知, 第一個(gè)拐彎處2=1+1, 第二個(gè)拐彎處4=1+1+2, 第三個(gè)拐彎處7=1+1+2+3, 第四個(gè)拐彎處11=1+1+2+3+4, 第五個(gè)拐彎處16=1+1+2+3+4+5, 發(fā)現(xiàn)規(guī)律:拐彎處的數(shù)是從1開(kāi)始的一串連續(xù)正整數(shù)相加之和再加1,在第幾個(gè)拐彎處,就加到第幾個(gè)正整數(shù),所以第二十個(gè)拐彎處的正整數(shù)就是1+1+2+3+…+20=211. 答案:211 14.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577581)(理科)閱讀下面材料: 根據(jù)兩角和與差的正弦公式,有 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β ①, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β ②, 由①+②得sin (α+β)+sin (α-β)=2sin αcos β?、? 令α+β=A,α-β=B,有α=,β=, 代入③得sin A+sin B=2sincos. (1)類(lèi)比上述推理方法,根據(jù)兩角和與差的余弦公式,證明:cos A-cos B=-2sinsin; (2)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿(mǎn)足cos 2A-cos 2B=1-cos 2C,試判斷△ABC的形狀. (提示:如果需要,也可以直接利用閱讀材料及(1)中的結(jié)論) 解:(1)證明:因?yàn)閏os (α+β)=cos αcos β-sin αsin β,① cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β,② ①-②得cos (α+β)-cos (α-β)=-2sin αsin β.③ 令α+β=A,α-β=B,有α=,β=, 代入③得cos A-cos B=-2sin sin. (2)由二倍角公式,cos 2A-cos 2B=1-cos 2C可化為 1-2sin2A-1+2sin2B=1-1+2sin2C, 所以sin2A+sin2C=sin2B. 設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c, 由正弦定理可得a2+c2=b2. 根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABC為直角三角形. 14.(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577582)(文科)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù): ①sin213+cos217-sin 13cos 17; ②sin215+cos215-sin 15cos 15; ③sin218+cos212-sin 18cos 12; ④sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48; ⑤sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55. (1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù); (2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 解:(1)選擇②式,計(jì)算如下: sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=1-=. (2)法一:三角恒等式為sin2α+cos2(30-α)-sin α cos(30-α)=.證明如下: sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α) =sin2α+(cos 30cos α+sin 30sin α)2-sin α(cos 30cos α+sin 30sin α) =sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α-sin αcos α-sin2α=sin2α+cos2α=. 法二:三角恒等式為sin2α+cos2(30-α)- sin αcos(30-α)=. 證明如下: sin2α+cos2(30-α)-sin αcos(30-α) =+-sin α(cos 30cos α+sin 30sin α) =-cos 2α++(cos 60cos 2α+sin 60sin 2α)-sin αcos α-sin2α =-cos 2α++cos 2α+sin 2α-sin 2α-(1-cos 2α) =1-cos 2α-+cos 2α=.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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