2019屆高考數學一輪復習 第六章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 合情推理與演繹推理練習 新人教A版.doc

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第六章 第5節(jié) 合情推理與演繹推理 [基礎訓練組] 1．(導學號14577564)命題“有理數是無限循環(huán)小數，整數是有理數，所以整數是無限循環(huán)小數”是假命題，推理錯誤的原因是(　　) A．使用了歸納推理 B．使用了類比推理 C．使用了“三段論”，但大前提錯誤 D．使用了“三段論”，但小前提錯誤 解析：C　[由題目可知滿足“三段論”形式，但是大前提表述不正確而使結論錯誤．] 2．(導學號14577565)由代數式的乘法法則類比推導向量的數量積的運算法則： ①“mn＝nm”類比得到“ab＝ba”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)c＝ac＋bc”； ③“(mn)t＝m(nt)”類比得到“(ab)c＝a(bc)”； ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，ap＝xp?a＝x”； ⑤“|mn|＝|m||n|”類比得到“|ab|＝|a||b|”； ⑥“＝”類比得到“＝”． 以上的式子中，類比得到的結論正確的個數是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：B　[①②正確，③④⑤⑥錯誤．] 3．(導學號14577566)若數列{an}是等差數列，則數列{bn}也為等差數列．類比這一性質可知，若正項數列{cn}是等比數列，且{dn}也是等比數列，則dn的表達式應為(　　) A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ 解析：D　[若{an}是等差數列，則 a1＋a2＋…＋an＝na1＋d， ∴bn＝a1＋d＝n＋a1－， 即{bn}為等差數列；若{cn}是等比數列，則c1c2…cn ＝cq1＋2＋…＋(n－1)＝cq， ∴dn＝＝c1q，即{dn}為等比數列．] 4．(導學號14577567)(2018渭南市一模)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數，例如： 他們研究過圖中的1,3,6,10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數，由以上規(guī)律，則這些三角形數從小到大形成一個數列{an}，那么a10的值為(　　) A．45 B．55 C．65 D．66 解析：B　[由已知中： 第1個圖中黑點有1個， 第2個圖中黑點有3＝1＋2個， 第3個圖中黑點有6＝1＋2＋3個， 第4個圖中黑點有10＝1＋2＋3＋4個， … 故第10個圖中黑點有a10＝1＋2＋3＋…＋10＝＝55個．故選B.] 5．(導學號14577568)為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關數據組成傳輸信息．設定原信息為a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕運算規(guī)則為0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息為111，則傳輸信息為01111，信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列接收信息一定有誤的是(　　) A．11010 B．01100 C．10111 D．00011 解析：C　[對于選項C，傳輸信息是10111，對應的原信息是011，由題目中運算規(guī)則知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故傳輸信息應是10 110.] 6．(導學號14577569)(理科)(2018咸陽市二模)觀察下列式子：<2，＋<，＋＋<8，＋＋＋<， …，根據以上規(guī)律，第n個不等式是　____________　. 解析：根據所給不等式可得第n個不等式是＋＋…＋<. 答案：＋＋…＋< 6．(導學號14577570)(文科)(2018濰坊市一模)觀察式子1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<…，則可歸納出1＋＋＋…＋<　________　. 解析：根據題意，每個不等式的右邊的分母是n＋1.不等號右邊的分子是2n＋1， ∴1＋＋＋…＋<(n≥1) 答案：(n≥1) 7．(導學號14577572) 如果函數f(x)在區(qū)間D上是凸函數，那么對于區(qū)間D內的任意x1，x2，…，xn，都有 ≤f.若y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是　________　. 解析：由題意知，凸函數滿足 ≤f， 又y＝sin x在區(qū)間(0，π)上是凸函數，則sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝3sin＝. 答案： 8．(導學號14577573)(理科)(2018日照市一模)在計算“12＋23＋…＋n(n＋1)”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第k項：k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]由此得 12＝(123－012)， 23＝(234－123)， …， n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]， 相加，得12＋23＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)． 類比上述方法，請你計算“123＋234＋…＋n(n＋1)(n＋2)”， 其結果為　____________　. 解析：∵n(n＋1)(n＋2)＝[n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]， ∴123＝(1234－0123)， 234＝(2345－1234)， …， n(n＋1)(n＋2)＝[n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]， ∴123＋234＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝[(1234－0123)＋(2345－1234)＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)． 答案：n(n＋1)(n＋2)(n＋3) 8．(導學號14577574)(文科)(2018菏澤市一模)a1＝ a2＝(1－a1)＝； a3＝(1－a1－a2)＝； a4＝(1－a1－a2－a3)＝； … 照此規(guī)律，當n∈N*時，an＝　___________　. 解析：a1＝； a2＝(1－a1)＝； a3＝(1－a1－a2)＝； a4＝(1－a1－a2－a3)＝； …； 照此規(guī)律，當n∈N*時，an＝(1－a1－a2－…－an－1)＝. 答案： [能力提升組] 9．(導學號14577575)(2017安徽江淮十校三聯(lián))我國古代數學名著《九章算術》中割圓術有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉化過程，比如在中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值x，這可以通過方程＝x確定出來x＝2，類似地不難得到1＋＝(　　 ) A. B. C. D. 解析：C　[1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝(x＝舍)，故1＋＝，故選C.] 10．(導學號14577576)已知結論：“在正△ABC中，若D是邊BC的中點，G是△ABC的重心，則＝2”．若把該結論推廣到空間，則有結論：“在棱長都相等的四面體A－BCD中，若△BCD的中心為M，四面體內部一點O到四面體各面的距離都相等”，則＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[如圖設正四面體的棱長為1，則易知其高AM＝，此時易知點O即為正四面體內切球的球心，設其半徑為r，利用等積法有4r＝，r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3.] 11．(導學號14577577)已知“整數對”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個“整數對”是(　　) A．(7,5) B．(5,7) C．(2,10) D．(10,1) 解析：B　[依題意，把“整數對”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個“整數對”的和均為n＋1，且第n組共有n個“整數對”，這樣的前n組一共有個“整數對”，注意到＜60＜，因此第60個“整數對”處于第11組(每個“整數對”的和為12的組)的第5個位置，結合題意可知每個“整數對”的和為12的組中的各對數依次為：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個“整數對”是(5,7)，選B.] 12．(導學號14577578)已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，其面積為S，則△ABC的內切圓的半徑r＝.這是一道平面幾何題，其證明方法是“等面積法”．請用類比推理的方法猜測對空間四面體ABCD存在的類似結論為　________　. 解析：由題意可得，題目要求寫出類似的結論，則在保證該結論正確的前提下，盡量在語言表達上與前面的結論一致．本題體現(xiàn)了平面幾何與立體幾何在如下詞語上的對應：“△ABC”與“四面體ABCD”，“邊長”與“表面面積”，“面積”與“體積”，“內切圓”與“內切球”，這是結構上的類比．再者，本題也體現(xiàn)了方法上的類比，即等面積法推理到等體積法，同樣是將整體分割成幾個小的部分，然后利用體積不變得出結論，即V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，從而r＝. 答案：已知空間四面體ABCD的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，其體積為V，則四面體的內切球的半徑r＝. 13．(導學號14577579)(理科)在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中，用如下圖1所示的三角形，解釋二項和的乘方規(guī)律．在歐洲直到1623年以后，法國數學家布萊士帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個三角形．近年來國外也逐漸承認這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinese triangle)如圖1,17世紀德國數學家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如下圖2.在楊輝三角中相鄰兩行滿足關系式：C＋C＝C，其中n是行數，r∈N.請類比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關系式是　________　. 1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1 1　5　10　10　5　1 … C　C　…　C　…　C　C 圖1 　 　　 　　　 　　　　 　　　　　 … 　 … … 　 圖2 解析：類比觀察得，將萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數，而相鄰兩項之和是上一行的兩者相拱之數，所以類比式子C＋C＝C，有＝＋. 答案：＝＋ 13．(導學號14577580)(文科)如圖所示，將正整數從小到大沿三角形的邊成螺旋狀排列起來，2在第一個拐彎處，4在第二個拐彎處，7在第三個拐彎處，……，則在第二十個拐彎處的正整數是　________　. 解析：觀察題圖可知， 第一個拐彎處2＝1＋1， 第二個拐彎處4＝1＋1＋2， 第三個拐彎處7＝1＋1＋2＋3， 第四個拐彎處11＝1＋1＋2＋3＋4， 第五個拐彎處16＝1＋1＋2＋3＋4＋5， 發(fā)現(xiàn)規(guī)律：拐彎處的數是從1開始的一串連續(xù)正整數相加之和再加1，在第幾個拐彎處，就加到第幾個正整數，所以第二十個拐彎處的正整數就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211. 答案：211 14．(導學號14577581)(理科)閱讀下面材料： 根據兩角和與差的正弦公式，有 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　①， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　②， 由①＋②得sin (α＋β)＋sin (α－β)＝2sin αcos β?、? 令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝， 代入③得sin A＋sin B＝2sincos. (1)類比上述推理方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：cos A－cos B＝－2sinsin； (2)若△ABC的三個內角A，B，C滿足cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C，試判斷△ABC的形狀． (提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(1)中的結論) 解：(1)證明：因為cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，② ①－②得cos (α＋β)－cos (α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝， 代入③得cos A－cos B＝－2sin sin. (2)由二倍角公式，cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C可化為 1－2sin2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin2C， 所以sin2A＋sin2C＝sin2B. 設△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c， 由正弦定理可得a2＋c2＝b2. 根據勾股定理的逆定理知△ABC為直角三角形． 14．(導學號14577582)(文科)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數： ①sin213＋cos217－sin 13cos 17； ②sin215＋cos215－sin 15cos 15； ③sin218＋cos212－sin 18cos 12； ④sin2(－18)＋cos248－sin(－18)cos 48； ⑤sin2(－25)＋cos255－sin(－25)cos 55. (1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數； (2)根據(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論． 解：(1)選擇②式，計算如下： sin215＋cos215－sin 15cos 15＝1－sin 30＝1－＝. (2)法一：三角恒等式為sin2α＋cos2(30－α)－sin α cos(30－α)＝.證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α) ＝sin2α＋(cos 30cos α＋sin 30sin α)2－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝. 法二：三角恒等式為sin2α＋cos2(30－α)－ sin αcos(30－α)＝. 證明如下： sin2α＋cos2(30－α)－sin αcos(30－α) ＝＋－sin α(cos 30cos α＋sin 30sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60cos 2α＋sin 60sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.