2018-2019高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 4.2 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例教案 新人教A版選修4-5.docx

4.2用數(shù)學歸納法證明不等式舉例一、教學目標1會用數(shù)學歸納法證明簡單的不等式2會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式，了解貝努利不等式的應用條件二、課時安排1課時三、教學重點會用數(shù)學歸納法證明簡單的不等式四、教學難點會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式，了解貝努利不等式的應用條件五、教學過程（一）導入新課復習數(shù)學歸納法的基本思想。（二）講授新課教材整理用數(shù)學歸納法證明不等式1貝努利(Bernoulli)不等式如果x是實數(shù)，且x>1，x0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1x)n> .2在運用數(shù)學歸納法證明不等式時，由nk成立，推導nk1成立時，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結合進行（三）重難點精講題型一、數(shù)學歸納法證明不等式例1已知Sn1(n>1，nN)，求證：S2n>1(n2，nN).【精彩點撥】先求Sn 再證明比較困難，可運用數(shù)學歸納法直接證明，注意Sn表示前n項的和(n>1)，首先驗證n2；然后證明歸納遞推【自主解答】(1)當n2時，S221>1，即n2時命題成立(2)假設nk(k2，kN)時命題成立，即S2k1>1.當nk1時，S2k11>111.故當nk1時，命題也成立由(1)(2)知，對nN，n2，S2n>1都成立規(guī)律總結：此題容易犯兩個錯誤，一是由nk到nk1項數(shù)變化弄錯，認為的后一項為，實際上應為；二是共有多少項之和，實際上 2k1到2k1是自然數(shù)遞增，項數(shù)為2k1(2k1)12k.再練一題1若在本例中，條件變?yōu)椤霸Of(n)1(nN)，由f(1)1>， f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，” .試問：f(2n1)與大小關系如何？試猜想并加以證明【解】數(shù)列1,3,7,15，通項公式為an2n1，數(shù)列，1，2，通項公式為an，猜想：f(2n1)>.下面用數(shù)學歸納法證明：當n1時，f(211)f(1)1>，不等式成立假設當nk(k1，kN)時不等式成立，即f(2k1)>，當nk1時，f(2k11)f(2k1)>f(2k1)當nk1時不等式也成立據(jù)知對任何nN原不等式均成立例2證明：2n2>n2(nN)【精彩點撥】【自主解答】(1)當n1時，左邊2124；右邊1，左邊>右邊；當n2時，左2226，右224，所以左>右；當n3時，左23210，右329，所以左>右因此當n1,2,3時，不等式成立(2)假設當nk(k3且kN)時，不等式成立，即2k2k2(kN)當nk1時，2k1222k22(2k2)2>2k22k22k1k22k3(k1)2(k1)(k3)，k3，(k1)(k3)0，(k1)2(k1)(k3)(k1)2，所以2k12>(k1)2.故當nk1時，原不等式也成立根據(jù)(1)(2)知，原不等式對于任何nN都成立規(guī)律總結：1本例中，針對目標k22k1，由于k的取值范圍(k1)太大，不便于縮小因此，用增加奠基步驟(把驗證n1擴大到驗證n1,2,3)的方法，使假設中k的取值范圍適當縮小到k3，促使放縮成功，達到目標2利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列型不等式的關鍵是由nk到nk1的變形為滿足題目的要求，常常要采用“放”與“縮”等手段，但是放縮要有度，這是一個難點，解決這個難題一是要仔細觀察題目結構，二是要靠經(jīng)驗積累再練一題2用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式均成立【證明】(1)當n2時，左邊1；右邊.左邊右邊，不等式成立；(2)假設nk(k2，且kN)時不等式成立，即.則當nk1時，.當nk1時，不等式也成立由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立.題型二、不等式中的探索、猜想、證明例3若不等式>對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結論【精彩點撥】先通過n取值計算，求出a的最大值，再用數(shù)學歸納法進行證明，證明時，根據(jù)不等式特征，在第二步，運用比差法較方便【自主解答】當n1時，>，則>，a<26.又aN，取a25.下面用數(shù)學歸納法證明>.(1)n1時，已證(2)假設當nk時(k1，kN)，>，當nk1時，>，>，>0，>也成立由(1)(2)可知，對一切nN，都有>，a的最大值為25.規(guī)律總結：1不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探究結論，但結論必須證明2本題中從nk到nk1時，左邊添加項是.這一點必須清楚再練一題3設an1(nN)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1a2a3an1g(n)(an1)對大于1的一切正整數(shù)n都成立？證明你的結論【解】假設g(n)存在，那么當n2時，由a1g(2)(a21)，即1g(2)，g(2)2；當n3時，由a1a2g(3)(a31)，即1g(3)，g(3)3，當n4時，由a1a2a3g(4)(a41)，即1g(4)，g(4)4，由此猜想g(n)n(n2，nN)下面用數(shù)學歸納法證明：當n2，nN時，等式a1a2a3an1n(an1)成立(1)當n2時，a11，g(2)(a21)21，結論成立(2)假設當nk(k2，kN)時結論成立，即a1a2a3ak1k(ak1)成立，那么當nk1時，a1a2ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(k1)(ak11)，說明當nk1時，結論也成立，由(1)(2)可知 ，對一切大于1的正整數(shù)n，存在g(n)n使等式a1a2a3an1g(n)(an1)成立（四）歸納小結歸納法證明不等式（五）隨堂檢測1數(shù)學歸納法適用于證明的命題的類型是()A已知結論B結論已知C直接證明比較困難D與正整數(shù)有關【答案】D2用數(shù)學歸納法證明不等式12(n2，nN)時，第一步應驗證不等式()A12 B12C12 D.12【解析】n02時，首項為1，末項為.【答案】A3用數(shù)學歸納法證不等式1成立，起始值至少取()A7B8C9D10【解析】左邊等比數(shù)列求和Sn2，即1，n7，n取8，選B.【答案】B六、板書設計4.2用數(shù)學歸納法證明不等式舉例教材整理用數(shù)學歸納法證明不等式例1：例2：例3：學生板演練習七、作業(yè)布置同步練習：4.2用數(shù)學歸納法證明不等式舉例八、教學反思