2018-2019高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例教案 新人教A版選修4-5.docx
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4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 一、教學(xué)目標(biāo) 1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的不等式. 2.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式,了解貝努利不等式的應(yīng)用條件. 二、課時(shí)安排 1課時(shí) 三、教學(xué)重點(diǎn) 會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡(jiǎn)單的不等式. 四、教學(xué)難點(diǎn) 會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式,了解貝努利不等式的應(yīng)用條件. 五、教學(xué)過(guò)程 (一)導(dǎo)入新課 復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的基本思想。 (二)講授新課 教材整理 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 1.貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實(shí)數(shù),且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數(shù),那么有(1+x)n> . 2.在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí),由n=k成立,推導(dǎo)n=k+1成立時(shí),常常要與其他方法,如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行. (三)重難點(diǎn)精講 題型一、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 例1已知Sn=1+++…+(n>1,n∈N+),求證:S2n>1+(n≥2,n∈N+). 【精彩點(diǎn)撥】 先求Sn 再證明比較困難,可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法直接證明,注意Sn表示前n項(xiàng)的和(n>1),首先驗(yàn)證n=2;然后證明歸納遞推. 【自主解答】 (1)當(dāng)n=2時(shí),S22=1+++=>1+, 即n=2時(shí)命題成立. (2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈N+)時(shí)命題成立,即S2k=1+++…+>1+. 當(dāng)n=k+1時(shí), S2k+1=1+++…+++…+ >1++=1++=1+. 故當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立. 由(1)(2)知,對(duì)n∈N+,n≥2,S2n>1+都成立. 規(guī)律總結(jié):此題容易犯兩個(gè)錯(cuò)誤,一是由n=k到n=k+1項(xiàng)數(shù)變化弄錯(cuò),認(rèn)為的后一項(xiàng)為,實(shí)際上應(yīng)為;二是++…+共有多少項(xiàng)之和,實(shí)際上 2k+1到2k+1是自然數(shù)遞增,項(xiàng)數(shù)為2k+1-(2k+1)+1=2k. [再練一題] 1.若在本例中,條件變?yōu)椤霸O(shè)f(n)=1+++…+(n∈N+),由f(1)=1>, f(3)>1,f(7)>,f(15)>2,…” .試問:f(2n-1)與大小關(guān)系如何?試猜想并加以證明. 【解】 數(shù)列1,3,7,15,…,通項(xiàng)公式為an=2n-1,數(shù)列,1,,2,…,通項(xiàng)公式為an=, ∴猜想:f(2n-1)>. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=1時(shí),f(21-1)=f(1)=1>,不等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí)不等式成立, 即f(2k-1)>, 當(dāng)n=k+1時(shí),f(2k+1-1)=f(2k-1)+++…++>f(2k-1)+ ∴當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立. 據(jù)①②知對(duì)任何n∈N+原不等式均成立. 例2 證明:2n+2>n2(n∈N+). 【精彩點(diǎn)撥】 ?? 【自主解答】 (1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=21+2=4;右邊=1,左邊>右邊; 當(dāng)n=2時(shí),左=22+2=6,右=22=4,所以左>右; 當(dāng)n=3時(shí),左=23+2=10,右=32=9,所以左>右. 因此當(dāng)n=1,2,3時(shí),不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3且k∈N+)時(shí),不等式成立,即2k+2>k2(k∈N+). 當(dāng)n=k+1時(shí),2k+1+2=22k+2 =2(2k+2)-2>2k2-2 =k2+2k+1+k2-2k-3 =(k+1)2+(k+1)(k-3), ∵k≥3,∴(k+1)(k-3)≥0, ∴(k+1)2+(k+1)(k-3)≥(k+1)2, 所以2k+1+2>(k+1)2. 故當(dāng)n=k+1時(shí),原不等式也成立. 根據(jù)(1)(2)知,原不等式對(duì)于任何n∈N+都成立. 規(guī)律總結(jié): 1.本例中,針對(duì)目標(biāo)k2+2k+1,由于k的取值范圍(k≥1)太大,不便于縮?。虼?,用增加奠基步驟(把驗(yàn)證n=1擴(kuò)大到驗(yàn)證n=1,2,3)的方法,使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k≥3,促使放縮成功,達(dá)到目標(biāo). 2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由n=k到n=k+1的變形.為滿足題目的要求,常常要采用“放”與“縮”等手段,但是放縮要有度,這是一個(gè)難點(diǎn),解決這個(gè)難題一是要仔細(xì)觀察題目結(jié)構(gòu),二是要靠經(jīng)驗(yàn)積累. [再練一題] 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)一切大于1的自然數(shù),不等式…>均成立. 【證明】 (1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1+=;右邊=. ∵左邊>右邊,∴不等式成立; (2)假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N+)時(shí)不等式成立, 即…>. 則當(dāng)n=k+1時(shí), … >== >==. ∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立. 由(1)(2)知,對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立. 題型二、不等式中的探索、猜想、證明 例3 若不等式+++…+>對(duì)一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并證明你的結(jié)論. 【精彩點(diǎn)撥】 先通過(guò)n取值計(jì)算,求出a的最大值,再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,證明時(shí),根據(jù)不等式特征,在第二步,運(yùn)用比差法較方便. 【自主解答】 當(dāng)n=1時(shí),++>,則>,∴a<26. 又a∈N+,∴取a=25. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明++…+>. (1)n=1時(shí),已證. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)(k≥1,k∈N+),++…+>, ∴當(dāng)n=k+1時(shí), ++…++++ =+ >+, ∵+=>, ∴+->0, ∴++…+>也成立. 由(1)(2)可知,對(duì)一切n∈N+, 都有++…+>, ∴a的最大值為25. 規(guī)律總結(jié): 1.不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,探究結(jié)論,但結(jié)論必須證明. 2.本題中從n=k到n=k+1時(shí),左邊添加項(xiàng)是++-.這一點(diǎn)必須清楚. [再練一題] 3.設(shè)an=1+++…+(n∈N+),是否存在n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)對(duì)大于1的一切正整數(shù)n都成立?證明你的結(jié)論. 【解】 假設(shè)g(n)存在,那么當(dāng)n=2時(shí), 由a1=g(2)(a2-1), 即1=g(2),∴g(2)=2; 當(dāng)n=3時(shí),由a1+a2=g(3)(a3-1), 即1+=g(3), ∴g(3)=3, 當(dāng)n=4時(shí),由a1+a2+a3=g(4)(a4-1), 即1++ =g(4), ∴g(4)=4, 由此猜想g(n)=n(n≥2,n∈N+). 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)n≥2,n∈N+時(shí), 等式a1+a2+a3+…+an-1=n(an-1)成立. (1)當(dāng)n=2時(shí),a1=1, g(2)(a2-1)=2=1, 結(jié)論成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N+)時(shí)結(jié)論成立, 即a1+a2+a3+…+ak-1=k(ak-1)成立, 那么當(dāng)n=k+1時(shí),a1+a2+…+ak-1+ak =k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k =(k+1)ak-(k+1)+1 =(k+1)=(k+1)(ak+1-1), 說(shuō)明當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立, 由(1)(2)可知 ,對(duì)一切大于1的正整數(shù)n,存在g(n)=n使等式a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)成立. (四)歸納小結(jié) 歸納法證明不等式— (五)隨堂檢測(cè) 1.?dāng)?shù)學(xué)歸納法適用于證明的命題的類型是( ) A.已知?結(jié)論 B.結(jié)論?已知 C.直接證明比較困難 D.與正整數(shù)有關(guān) 【答案】 D 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+++…+<2-(n≥2,n∈N+)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式( ) A.1+<2- B.1++<2- C.1+<2- D.1++<2- 【解析】 n0=2時(shí),首項(xiàng)為1,末項(xiàng)為. 【答案】 A 3.用數(shù)學(xué)歸納法證不等式1+++…+>成立,起始值至少取( ) A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】 左邊等比數(shù)列求和Sn= =2>, 即1->,<, ∴<, ∴n>7,∴n取8,選B. 【答案】 B 六、板書設(shè)計(jì) 4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 教材整理 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 例1: 例2: 例3: 學(xué)生板演練習(xí) 七、作業(yè)布置 同步練習(xí):4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 八、教學(xué)反思- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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