2018-2019高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例教案 新人教A版選修4-5.docx

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4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例一、教學(xué)目標(biāo)1會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的不等式2會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式，了解貝努利不等式的應(yīng)用條件二、課時(shí)安排1課時(shí)三、教學(xué)重點(diǎn)會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的不等式四、教學(xué)難點(diǎn)會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式，了解貝努利不等式的應(yīng)用條件五、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的基本思想。（二）講授新課教材整理用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1貝努利(Bernoulli)不等式如果x是實(shí)數(shù)，且x1，x0，n為大于1的自然數(shù)，那么有(1x)n .2在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，由nk成立，推導(dǎo)nk1成立時(shí)，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進(jìn)行（三）重難點(diǎn)精講題型一、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例1已知Sn1(n1，nN)，求證：S2n1(n2，nN).【精彩點(diǎn)撥】先求Sn 再證明比較困難，可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法直接證明，注意Sn表示前n項(xiàng)的和(n1)，首先驗(yàn)證n2；然后證明歸納遞推【自主解答】(1)當(dāng)n2時(shí)，S2211，即n2時(shí)命題成立(2)假設(shè)nk(k2，kN)時(shí)命題成立，即S2k11.當(dāng)nk1時(shí)，S2k11111.故當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立由(1)(2)知，對nN，n2，S2n1都成立規(guī)律總結(jié)：此題容易犯兩個(gè)錯誤，一是由nk到nk1項(xiàng)數(shù)變化弄錯，認(rèn)為的后一項(xiàng)為，實(shí)際上應(yīng)為；二是共有多少項(xiàng)之和，實(shí)際上 2k1到2k1是自然數(shù)遞增，項(xiàng)數(shù)為2k1(2k1)12k.再練一題1若在本例中，條件變?yōu)椤霸O(shè)f(n)1(nN)，由f(1)1， f(3)1，f(7)，f(15)2，” .試問：f(2n1)與大小關(guān)系如何？試猜想并加以證明【解】數(shù)列1,3,7,15，通項(xiàng)公式為an2n1，數(shù)列，1，2，通項(xiàng)公式為an，猜想：f(2n1).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，f(211)f(1)1，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時(shí)不等式成立，即f(2k1)，當(dāng)nk1時(shí)，f(2k11)f(2k1)f(2k1)當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立據(jù)知對任何nN原不等式均成立例2證明：2n2n2(nN)【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊2124；右邊1，左邊右邊；當(dāng)n2時(shí)，左2226，右224，所以左右；當(dāng)n3時(shí)，左23210，右329，所以左右因此當(dāng)n1,2,3時(shí)，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k3且kN)時(shí)，不等式成立，即2k2k2(kN)當(dāng)nk1時(shí)，2k1222k22(2k2)22k22k22k1k22k3(k1)2(k1)(k3)，k3，(k1)(k3)0，(k1)2(k1)(k3)(k1)2，所以2k12(k1)2.故當(dāng)nk1時(shí)，原不等式也成立根據(jù)(1)(2)知，原不等式對于任何nN都成立規(guī)律總結(jié)：1本例中，針對目標(biāo)k22k1，由于k的取值范圍(k1)太大，不便于縮小因此，用增加奠基步驟(把驗(yàn)證n1擴(kuò)大到驗(yàn)證n1,2,3)的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k3，促使放縮成功，達(dá)到目標(biāo)2利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列型不等式的關(guān)鍵是由nk到nk1的變形為滿足題目的要求，常常要采用“放”與“縮”等手段，但是放縮要有度，這是一個(gè)難點(diǎn)，解決這個(gè)難題一是要仔細(xì)觀察題目結(jié)構(gòu)，二是要靠經(jīng)驗(yàn)積累再練一題2用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式均成立【證明】(1)當(dāng)n2時(shí)，左邊1；右邊.左邊右邊，不等式成立；(2)假設(shè)nk(k2，且kN)時(shí)不等式成立，即.則當(dāng)nk1時(shí)，.當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)(2)知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立.題型二、不等式中的探索、猜想、證明例3若不等式對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論【精彩點(diǎn)撥】先通過n取值計(jì)算，求出a的最大值，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，證明時(shí)，根據(jù)不等式特征，在第二步，運(yùn)用比差法較方便【自主解答】當(dāng)n1時(shí)，則，a.(1)n1時(shí)，已證(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)(k1，kN)，當(dāng)nk1時(shí)，0，也成立由(1)(2)可知，對一切nN，都有，a的最大值為25.規(guī)律總結(jié)：1不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探究結(jié)論，但結(jié)論必須證明2本題中從nk到nk1時(shí)，左邊添加項(xiàng)是.這一點(diǎn)必須清楚再練一題3設(shè)an1(nN)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1a2a3an1g(n)(an1)對大于1的一切正整數(shù)n都成立？證明你的結(jié)論【解】假設(shè)g(n)存在，那么當(dāng)n2時(shí)，由a1g(2)(a21)，即1g(2)，g(2)2；當(dāng)n3時(shí)，由a1a2g(3)(a31)，即1g(3)，g(3)3，當(dāng)n4時(shí)，由a1a2a3g(4)(a41)，即1g(4)，g(4)4，由此猜想g(n)n(n2，nN)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n2，nN時(shí)，等式a1a2a3an1n(an1)成立(1)當(dāng)n2時(shí)，a11，g(2)(a21)21，結(jié)論成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN)時(shí)結(jié)論成立，即a1a2a3ak1k(ak1)成立，那么當(dāng)nk1時(shí)，a1a2ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(k1)(ak11)，說明當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立，由(1)(2)可知 ，對一切大于1的正整數(shù)n，存在g(n)n使等式a1a2a3an1g(n)(an1)成立（四）歸納小結(jié)歸納法證明不等式（五）隨堂檢測1數(shù)學(xué)歸納法適用于證明的命題的類型是()A已知結(jié)論B結(jié)論已知C直接證明比較困難D與正整數(shù)有關(guān)【答案】D2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式12(n2，nN)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A12 B12C12 D.12【解析】n02時(shí)，首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為.【答案】A3用數(shù)學(xué)歸納法證不等式1成立，起始值至少取()A7B8C9D10【解析】左邊等比數(shù)列求和Sn2，即1，n7，n取8，選B.【答案】B六、板書設(shè)計(jì)4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例教材整理用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例1：例2：例3：學(xué)生板演練習(xí)七、作業(yè)布置同步練習(xí)：4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例八、教學(xué)反思