（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.4 解三角形精練.docx

4.4解三角形挖命題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點1.正弦、余弦定理的應(yīng)用1.理解正弦定理與余弦定理的推導(dǎo)過程2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題2016天津,3利用余弦定理解三角形2015天津,13利用余弦定理解三角形三角形面積公式2014天津,122014天津文,16正弦定理、余弦定理2.解三角形的綜合應(yīng)用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題2018天津,152017天津,15利用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等變換分析解讀1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面幾何圖形中有關(guān)量的問題時,需要綜合應(yīng)用兩個定理及三角形有關(guān)知識.2.正弦定理和余弦定理應(yīng)用比較廣泛,也比較靈活,在高考中常與面積或取值范圍結(jié)合進行考查.3.利用數(shù)學(xué)建模思想,結(jié)合三角形的知識,解決實際生活中的相關(guān)問題.本節(jié)內(nèi)容在高考中常以解答題的形式出現(xiàn),有時也會出現(xiàn)在選擇題和填空題中.破考點【考點集訓(xùn)】考點一正弦、余弦定理的應(yīng)用1.在ABC中,a=1,A=6,B=4,則c=()A.6+22B.6-22C.62D.22答案A2.在ABC中,A=3,BC=3,AB=6,則C=. 答案43.在ABC中,a=2,c=4,且3sinA=2sinB,則cosC=.答案-14考點二解三角形的綜合應(yīng)用4.在ABC中,a=1,b=7,且ABC的面積為32,則c=.答案2或235.在ABC中,a=5,c=7,cosC=15,則b=,ABC的面積為.答案6;666.在ABC中,a=3,C=23,ABC的面積為334,則b=;c=.答案1;13煉技法【方法集訓(xùn)】方法1三角形形狀的判斷1.在ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,則ABC的形狀是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D2.在ABC中,若tanAtanB=a2b2,則ABC的形狀是()A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.等腰三角形D.不能確定答案B方法2解三角形的常見題型及求解方法3.在ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.若A=3,a=3,b=1,則c=.答案24.(2014課標(biāo),16,5分)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則ABC面積的最大值為.答案35.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cos2B+cosB=0.(1)求角B的值;(2)若b=7,a+c=5,求ABC的面積.解析(1)由已知得2cos2B-1+cosB=0,即(2cosB-1)(cosB+1)=0.解得cosB=12或cosB=-1.因為0<B<,所以cosB=12.所以B=3.(2)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.將B=3,b=7代入上式,整理得(a+c)2-3ac=7.因為a+c=5,所以ac=6.所以ABC的面積S=12acsinB=332.過專題【五年高考】A組自主命題天津卷題組考點一正弦、余弦定理的應(yīng)用1.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,則AC=()A.1B.2C.3D.4答案A2.(2015天津,13,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為315,b-c=2,cosA=-14,則a的值為.答案83.(2014天津,12,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知b-c=14a,2sinB=3sinC,則cosA的值為.答案-144.(2014天津文,16,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a-c=66b,sinB=6sinC.(1)求cosA的值;(2)求cos2A-6的值.解析(1)在ABC中,由bsinB=csinC,及sinB=6sinC,可得b=6c.又由a-c=66b,有a=2c.所以,cosA=b2+c2-a22bc=6c2+c2-4c226c2=64.(2)在ABC中,由cosA=64,可得sinA=104.于是cos2A=2cos2A-1=-14,sin2A=2sinAcosA=154.所以cos2A-6=cos2Acos6+sin2Asin6=15-38.評析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦公式、兩角差的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力.考點二解三角形的綜合應(yīng)用1.(2018天津,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析(1)在ABC中,由正弦定理可得bsinA=asinB,又由bsinA=acosB-6,得asinB=acosB-6,即sinB=cosB-6,可得tanB=3.因為B(0,),所以B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-6,可得sinA=37.因為a<c,故cosA=27.因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=43712-1732=3314.2.(2017天津,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=35.(1)求b和sinA的值;(2)求sin2A+4的值.解析(1)在ABC中,因為a>b,所以A>B,故由sinB=35,可得cosB=45.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=13.由正弦定理得sinA=asinBb=31313.所以,b的值為13,sinA的值為31313.(2)由(1)及a<c,得cosA=21313,所以sin2A=2sinAcosA=1213,cos2A=1-2sin2A=-513.故sin2A+4=sin2Acos4+cos2Asin4=7226.方法總結(jié)利用正、余弦定理求邊或角的步驟:(1)根據(jù)已知的邊和角畫出相應(yīng)的圖形,并在圖中標(biāo)出;(2)結(jié)合圖形選擇用正弦定理或余弦定理求解;(3)在運算和求解過程中注意三角恒等變換和三角形中常用結(jié)論的運用.評析本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,二倍角的正弦、余弦公式,兩角和的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一正弦、余弦定理的應(yīng)用1.(2018課標(biāo),6,5分)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,則AB=()A.42B.30C.29D.25答案A2.(2016課標(biāo),8,5分)在ABC中,B=4,BC邊上的高等于13BC,則cosA=()A.31010B.1010C.-1010D.-31010答案C3.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=7,b=2,A=60,則sinB=,c=.答案217;34.(2018課標(biāo),17,12分)在平面四邊形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理知BDsinA=ABsinADB.故5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由題設(shè)知,ADB<90,所以cosADB=1-225=235.(2)由題設(shè)及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.方法總結(jié)正、余弦定理的應(yīng)用原則:(1)正弦定理是一個連比等式,在運用此定理時,只要知道其中一對的比值或等量關(guān)系就可以通過該定理解決問題,在解題時要學(xué)會靈活運用.(2)運用余弦定理時,要注意整體思想的應(yīng)用.(3)在利用正、余弦定理判斷三角形形狀時,等式兩邊一般不要約去公因式,應(yīng)移項提取公因式,避免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的個數(shù)問題時,可能會出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況,所以解答此類問題時需要進行分類討論,避免漏解或增解.考點二解三角形的綜合應(yīng)用1.(2018課標(biāo),9,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若ABC的面積為a2+b2-c24,則C=()A.2B.3C.4D.6答案C2.(2017浙江,14,6分)已知ABC中,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則BDC的面積是,cosBDC=.答案152;1043.(2015湖北,13,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一垂直于路面的山CD在西偏北30的方向上,行駛600m后到達B處,測得此山在西偏北75的方向上,仰角為30,則此山的高度CD=m.答案10064.(2017課標(biāo),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為a23sinA.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周長.解析(1)由題意得SABC=12acsinB=a23sinA,即12csinB=a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB=sinA3sinA.故sinBsinC=23.(2)由題意及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-12,即cos(B+C)=-12.又B、C為三角形內(nèi)角,所以B+C=23,故A=3.由題意得12bcsinA=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周長為3+33.思路分析(1)首先利用三角形的面積公式可得12acsinB=a23sinA,然后利用正弦定理,把邊轉(zhuǎn)化成角的形式,即可得出sinBsinC的值;(2)首先利用sinBsinC的值以及題目中給出的6cosBcosC=1,結(jié)合兩角和的余弦公式求出B+C,進而得出A,然后利用三角形的面積公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,進而得出ABC的周長.方法總結(jié)(1)應(yīng)用正弦定理、余弦定理將條件轉(zhuǎn)化為僅有邊或僅有角的形式,以便進一步化簡計算,例如:將12csinB=a3sinA變形為12sinCsinB=sinA3sinA.(2)三角形面積公式:S=12absinC=12acsinB=12bcsinA.(3)三角形的內(nèi)角和為.這一性質(zhì)經(jīng)常在化簡中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sinA.5.(2016課標(biāo),17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面積為332,求ABC的周長.解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.所以cosC=12,又C為三角形內(nèi)角,所以C=3.(2)由已知,得12absinC=332.又C=3,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.a+b=5.所以ABC的周長為5+7.6.(2015課標(biāo),17,12分)ABC中,D是BC上的點,AD平分BAC,ABD面積是ADC面積的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的長.解析(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因為SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因為SABDSADC=BDDC=2,DC=22,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.7.(2015陜西,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,3b)與n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面積.解析(1)因為mn,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-3sinBcosA=0,又sinB0,從而tanA=3,由于0<A<,所以A=3.(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,而a=7,b=2,A=3,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因為c>0,所以c=3.故ABC的面積為12bcsinA=332.解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinB,從而sinB=217,又由a>b,知A>B,所以cosB=277.故sinC=sin(A+B)=sinB+3=sinBcos3+cosBsin3=32114.所以ABC的面積為12absinC=332.8.(2015湖南,17,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btanA.(1)證明:sinB=cosA;(2)若sinC-sinAcosB=34,且B為鈍角,求A,B,C.解析(1)證明:由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,所以sinB=cosA.(2)因為sinC-sinAcosB=sin180-(A+B)-sinAcosB=sin(A+B)-sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=cosAsinB,所以cosAsinB=34.由(1)知sinB=cosA,因此sin2B=34.又B為鈍角,所以sinB=32,故B=120.由cosA=sinB=32知A=30.從而C=180-(A+B)=30.綜上所述,A=30,B=120,C=30.評析本題考查了正弦定理,三角恒等變換,考查了運算求解能力,熟練、準確地應(yīng)用公式是求解關(guān)鍵.C組教師專用題組考點一正弦、余弦定理的應(yīng)用1.(2017山東,9,5分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若ABC為銳角三角形,且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A2.(2015廣東,11,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=3,sinB=12,C=6,則b=.答案13.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=34,AB=6,AC=32,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長.解析設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sinB=bsinBACa=3310=1010,由題意知0<B<4,所以cosB=1-sin2B=1-110=31010.在ABD中,由正弦定理得AD=ABsinBsin(-2B)=6sinB2sinBcosB=3cosB=10.考點二解三角形的綜合應(yīng)用1.(2018江蘇,13,5分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ABC=120,ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為.答案92.(2016浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)證明:A=2B;(2)若ABC的面積S=a24,求角A的大小.解析(1)證明:由題意及正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0<A-B<,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=a24得12absinC=a24,故有sinBsinC=12sin2B=sinBcosB.又sinB0,所以sinC=cosB.因為B,C(0,),所以C=2B.當(dāng)B+C=2時,A=2;當(dāng)C-B=2時,A=4.綜上,A=2或4.3.(2014湖南,18,12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-714,sinCBA=216,求BC的長.解析(1)在ADC中,由余弦定理得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=7+1-427=277.(2)設(shè)BAC=,則=BAD-CAD.因為cosCAD=277,cosBAD=-714,所以sinCAD=1-cos2CAD=1-2772=217,sinBAD=1-cos2BAD=1-7142=32114.于是sin=sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=32114277-714217=32.在ABC中,由正弦定理,得BCsin=ACsinCBA,故BC=ACsinsinCBA=732216=3.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2018天津南開二模,3)ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,已知b=5,c=2,cosB=23,則a=()A.2B.3C.2D.3答案D2.(2018天津一中4月月考,4)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2=a2-2bc,A=23,則角C為()A.6B.6或34C.34D.4答案A3.(2018天津南開中學(xué)第四次月考,4)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=3,則ABC的面積為()A.3B.932C.332D.33答案C4.(2018天津河西一模,5)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足2acosA=3c-2bcosB,b=5sinB,則a=()A.53B.23C.35D.253答案A5.(2018天津河?xùn)|一模,3)ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,則ABC的面積是()A.33B.332C.3D.32答案A6.(2017天津五校聯(lián)考(2),5)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2=(b+c)2-4,ABC的面積為3,則A等于()A.30B.60C.150D.120答案D7.(2017天津河西二模,5)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則A=()A.6B.4C.3D.23答案C二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2018天津和平二模,10)在ABC中,AB=3,cosA=23,ABC的面積S=352,則BC邊長為.答案69.(2019屆天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),12)ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a2-b2=3bc,sinC=23sinB,則A=.答案610.(2019屆天津河西期中,13)在ABC中,a=4,b=5,c=6,則sin2AsinC=.答案1三、解答題(共60分)11.(2019屆天津耀華中學(xué)第一次月考,15)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,acosC+3asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面積為3,求b,c.解析(1)由acosC+3asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC-sinB-sinC=0.因為B=-A-C,所以3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.由于sinC0,所以3sinA-cosA-1=0,即sinA-6=12.又0<A<,故A=3.(2)ABC的面積S=12bcsinA=3,故bc=4.又a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.12.(2019屆天津一中月考,15)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA-3sinA)cosB=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范圍.解析(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0,即有sinAsinB-3sinAcosB=0,因為sinA0,所以sinB-3cosB=0,又cosB0,所以tanB=3,又0<B<,所以B=3.(2)因為a+c=1,cosB=a2+c2-b22ac=12,所以a2+c2-b2=ac,整理得b2=3a-122+14.因為a+c=1,所以0<a<1,于是有14b2<1,即有12b<1.13.(2019屆天津南開中學(xué)第一次月考,15)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且b-c=1,cosA=13,ABC的面積為22.(1)求a的值;(2)求cos2A-6的值.解析(1)由cosA=13,0<A<,得sinA=223,SABC=12bcsinA=22,即bc=6,故a2=b2+c2-2bccosA=(b-c)2+2bc-23bc=9,解得a=3或a=-3(舍).(2)由題意及(1)得cos2A=2cos2A-1=-79,sin2A=2sinAcosA=429,cos2A-6=cos2Acos6+sin2Asin6=-7932+42912=42-7318.14.(2018天津南開一模,15)在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,且2bcosC=2a+c.(1)求角B的大小;(2)若3sinA2+6cosA2+6-sin2A2+6=1126,求cosC的值.解析(1)由題意及正弦定理,得2sinBcosC=2sinA+sinC,在ABC中,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,2cosBsinC=-sinC.C是三角形的內(nèi)角,sinC>0,2cosB=-1,可得cosB=-12,B是三角形的內(nèi)角,即B(0,),B=23.(2)3sinA2+6cosA2+6-sin2A2+6=1126,32sinA+3-121-cosA+3=1126,3sinA+3+cosA+3=2413,sinA+3+6=1213,即cosA=1213,A為三角形的內(nèi)角,即A(0,),sinA=1-cos2A=513.B=23,cosC=cos3-A=cos3cosA+sin3sinA=121213+32513=12+5326.15.(2018天津耀華中學(xué)第一次月考,15)已知函數(shù)f(x)=2sin2x-2sin2x-6,xR.(1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期;(2)已知在ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且b=3,c=4,fB2+6=b+c2a,求邊a的值.解析(1)f(x)=2sin2x-2sin2x-6=1-cos2x-1-cos2x-6=cos2x-3-cos2x=12cos2x+32sin2x-cos2x=sin2x-6,函數(shù)y=f(x)的最小正周期T=2=.(2)fB2+6=b+c2a,sinB+6=b+c2a,即32sinB+12cosB=b+c2a,3asinB+acosB=b+c,由正弦定理可得3sinAsinB+sinAcosB=sinB+sinC,又A+B+C=,3sinAsinB=sinB+cosAsinB,sinB>0,3sinA-cosA=1,即sinA-6=12,0<A<,-6<A-6<56,A-6=6,A=3,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=9+16-23412=13,故a=13.