有限元試題總結(jié).doc

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一、 簡(jiǎn)答題（40分，每小題5分） 1、 分別寫(xiě)出板彎類單元和平面應(yīng)力膜單元上一個(gè)有限元節(jié)點(diǎn)的位移自由度及其相對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力列陣？ (1)薄板彎曲問(wèn)題單元每節(jié)點(diǎn)三自由度，即每個(gè)結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移分量： 撓度,繞x、y軸轉(zhuǎn)角 ，即結(jié)點(diǎn)i的位移 同理,相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力 (2)平面應(yīng)力膜單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩自由度， ,對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)力 2、 欲求解在約束下的泛函極值，新泛函應(yīng)如何構(gòu)造？ 答： 3、 欲求解在約束下的泛函極值，新泛函應(yīng)如何構(gòu)造？ 答： 4、 滿足條件下的泛函極值求解應(yīng)如何構(gòu)造新泛函？ 答： 5、 寫(xiě)出直梁彎曲問(wèn)題的勢(shì)能原理表達(dá)式，并說(shuō)明真解的充分必要條件？ 答：一變剖面梁，一端固支，另一端簡(jiǎn)支。承受軸向拉力N，分布橫向載荷以及端點(diǎn)彎矩的作用。 (3) 系統(tǒng)總勢(shì)能： 充要條件：在所有變形可能的撓度中使系統(tǒng)的總勢(shì)能取最小值的擾度為真解。 6、 寫(xiě)出用一維Hermit型基函數(shù)（形狀函數(shù)）構(gòu)造未知位移場(chǎng)函數(shù)的表達(dá)式，并說(shuō)明用其分段插值的場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)？ 答： ， ， 在單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性要高（單元內(nèi)二階導(dǎo)連續(xù)），而在單元間的節(jié)點(diǎn)上，要低一階（一階導(dǎo)連續(xù)，二階導(dǎo)存在）。P39 7、 Hermit型分段插值基函數(shù)（形狀函數(shù)）的基本性質(zhì)有哪些？并說(shuō)明用該基函數(shù)插值獲得的場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)如何？ 答：四個(gè)形狀函數(shù)為三次函數(shù)；其中，，一節(jié)導(dǎo)函數(shù)值在兩端點(diǎn)都為0；函數(shù)值在左節(jié)點(diǎn)為1，右節(jié)點(diǎn)為0；相反；所以這兩個(gè)形狀函數(shù)對(duì)w的節(jié)點(diǎn)值有影響，而不影響w一階導(dǎo)在端點(diǎn)的值； ，在兩節(jié)點(diǎn)的值均為0；一階導(dǎo)函數(shù)值在左節(jié)點(diǎn)為1，在右節(jié)點(diǎn)為0，相反；說(shuō)明這兩個(gè)形狀函數(shù)對(duì)w的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值有影響，而不影響w在端點(diǎn)的值。 在單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性要高（單元內(nèi)二階導(dǎo)連續(xù)），而在單元間的節(jié)點(diǎn)上，要低一階（一階導(dǎo)連續(xù)，二階導(dǎo)存在）。 8、 敘述一個(gè)平衡彈性結(jié)構(gòu)體的勢(shì)（位）能駐值原理？最小勢(shì)能原理與駐值原理有什么關(guān)系？ 答：在彈性體系的所有幾何可能位移狀態(tài)中，其真實(shí)的位移狀態(tài)使總勢(shì)能為駐值（可能極大、極小或者始終保持不變）。由此得到的駐值條件等價(jià)于平衡條件。但是，其平衡狀態(tài)有穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和隨遇平衡三種，要判別平衡狀態(tài)究竟屬于哪一種，還必須進(jìn)一步考察總勢(shì)能的二階變分情況。 最小勢(shì)能原理是勢(shì)能駐值原理在線彈性范圍里的特殊情況。 9、 通過(guò)勢(shì)能泛函近似得到的有限元數(shù)值解是什么性質(zhì)？常規(guī)協(xié)調(diào)單元的收斂性規(guī)律如何（可用曲線描述）？ 答：按照最小勢(shì)能原理求解時(shí)，必須首先假定單元位移函數(shù)，這些位移函數(shù)是連續(xù)的，但卻是近似的。從物體中取出一個(gè)單元，作為連續(xù)介質(zhì)的一部分，本來(lái)具有無(wú)限個(gè)自由度，在采用位移函數(shù)之后，只有以節(jié)點(diǎn)位移表示的有限個(gè)自由度，這相當(dāng)于位移函數(shù)對(duì)單元變形能力有所限制，使得單元?jiǎng)偠仍黾?，物體的整體剛度也增加了，因而計(jì)算的位移近似解小于精確解。 當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單元尺寸固定時(shí)，每個(gè)單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。 10、 由最小位能原理獲得的有限元解收斂性具有什么特征（可用曲線說(shuō)明）？ 答： 當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單元尺寸固定時(shí)，每個(gè)單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。以一平板任意方向變形為例，如圖所示： 精確解 計(jì)算解 位移精確解可能是一復(fù)雜的非顯式曲線，有限元離散后，單元內(nèi)的變形是節(jié)點(diǎn)位移的線性插值函數(shù)，這樣得到的計(jì)算解曲線以折線逼近精確解。如果采用二次曲線逼近，則計(jì)算精度與計(jì)算效率可大大提高，二次曲線即有限元中的高次單元。同樣，當(dāng)有限元網(wǎng)格無(wú)限密化時(shí)，計(jì)算解將無(wú)限逼近精確解?？紤]計(jì)算過(guò)程中的數(shù)值計(jì)算誤差（例如：截?cái)嗾`差），限制了有限元網(wǎng)格的過(guò)分密化。 11、 寫(xiě)出一般線彈性體的基本控制方程？邊值條件有哪些？ 答： 平衡方程： （在彈性體內(nèi)） 幾何方程： 物理方程： （在彈性體內(nèi)） 邊界條件：a.位移邊界條件（在位移邊界上）； b.應(yīng)力邊界條件（在應(yīng)力邊界上）； c.混合邊界條件 12、 等參元的數(shù)值積分最高精度2n-1，指的是什么？若積分點(diǎn)偏少可能發(fā)生什么情況？ 答：指的是n個(gè)積分點(diǎn)的高斯積分可達(dá)2n-1階的精度；高斯積分計(jì)算剛度矩陣時(shí)： 當(dāng)高斯積分階數(shù)等于被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分所需要的階次時(shí)，稱為完全積分；低于時(shí)，稱為減縮積分。對(duì)等參元的數(shù)值積分，積分點(diǎn)減少可能對(duì)積分的精度和結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣的奇異性造成影響。 （1）在最小位能原理基礎(chǔ)上建立的位移有限元，其整體剛度偏大，選取積分點(diǎn)偏少的減縮積分方案將使有限元計(jì)算模型的剛度有所降低，因此可能有助于提高計(jì)算精度。 （2）求解系統(tǒng)方程時(shí)，要求引入強(qiáng)迫邊界條件后K必須非奇異。但當(dāng)采用較少的積分點(diǎn)數(shù)目，可能造成K最大志小于獨(dú)立自由度數(shù)，也即剛度矩陣奇異，則平衡方程組無(wú)唯一解。 13、 有限元結(jié)構(gòu)總剛矩陣有哪些性質(zhì)？采用一維變帶寬存貯方法的方程組求解方案的可行性原因何在？ 答：總綱特征：對(duì)稱性；稀疏性；帶狀性；奇異性（置入邊界條件后是正定的） 有限元總體剛度矩陣是稀疏矩陣，絕大多數(shù)矩陣值都為0，如果在內(nèi)存與外存中按照矩陣格式保存，則會(huì)浪費(fèi)大量資源。一維變帶寬存儲(chǔ)是建立一個(gè)一維數(shù)組，把總剛矩陣中每行第一個(gè)非零元素以及后面直到對(duì)角線元素按行順序存放，同時(shí)建立另外一個(gè)一維數(shù)組（稱為定位數(shù)組），記錄總剛矩陣每行對(duì)角線元素在一維剛度數(shù)組中的位置，這樣，通過(guò)兩個(gè)較小的一維數(shù)組就實(shí)現(xiàn)了較大規(guī)模的總體剛度矩陣的存儲(chǔ)、定位與獲取。 14、 任意四邊形平面應(yīng)力單元的某一節(jié)點(diǎn)自由度需用與結(jié)構(gòu)總體坐標(biāo)系不同的局部坐標(biāo)系表達(dá)，寫(xiě)出該單元?jiǎng)偠葎傟嚨姆?hào)表達(dá)式？ 答： 15、 寫(xiě)出受壓桿穩(wěn)定性問(wèn)題的泛函表達(dá)式，解釋臨界失穩(wěn)載荷的力學(xué)含義？ 答： 當(dāng)PPcr時(shí)，系統(tǒng)是不定的；P =Pcr點(diǎn)，系統(tǒng)從正定到不定的過(guò)渡狀態(tài)，即系統(tǒng)處在隨遇平衡狀態(tài)。 16、 對(duì)僅受分布橫向載荷q(x) 的懸臂梁，寫(xiě)出具體勢(shì)能泛函表達(dá)式？變分的結(jié)果有哪些，什么性質(zhì)？ 答： ，可得： 對(duì)于微分方程 基本邊界條件：x=0，w=0,dw/dx=0; 自然邊界條件：x=l，w’’=0,w’’’=0; 17、 你所理解的有限元素法基本概念有哪些? 答： 依據(jù)求解問(wèn)題的路徑不同，有限元方法大致可分為：位移法：以位移為基本未知量；力法：應(yīng)力為基本未知量；混合法：部分以位移；部分以應(yīng)力為基本未知量。 將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片的表示求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來(lái)表達(dá)。從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問(wèn)題變成離散的有限自由度問(wèn)題。 它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成,對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的(較簡(jiǎn)單的)近似解,然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件),從而得到問(wèn)題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解,而是近似解，因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題被較簡(jiǎn)單的問(wèn)題所代替。由于大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計(jì)算精度高,而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀,因而成為行之有效的工程分析手段。 有限元方法與其他求解邊值問(wèn)題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對(duì)小的子域中。有限元法是Rayleigh-Ritz法的一種局部化情況。不同于求解(往往是困難的)滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh-Ritz法,有限元法將函數(shù)定義在簡(jiǎn)單幾何形狀(如二維問(wèn)題中的三角形或任意四邊形)的單元域上(分片函數(shù)),且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件,這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。 18、 經(jīng)典Ritz方法與現(xiàn)代有限元方法有何異同？ 答：有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。 兩種方法都需要尋找坐標(biāo)基函數(shù)； 但兩者差別在于Ritz法需要滿足全域的連續(xù)函數(shù)作為坐標(biāo)函數(shù)，這將引起解的代數(shù)方程組可能滿陣，造成較大計(jì)算工作量； 有限元方法是尋找分片連續(xù)函數(shù)來(lái)逼近，基函數(shù)是在單元中選取的．由于各個(gè)單元具有規(guī)則的幾何形狀，而且可以不必考慮邊界條件的影響，因此在單元中選取基函數(shù)可遵循一定的法則。使解得計(jì)算量減小和有效性增大。 二、 分析題 （30分） q 1、（10分）已知一等截面懸臂桿（截面積為A，彈性模量為E）承受沿軸向均勻分布載荷q及端部軸向應(yīng)力s（如下圖），寫(xiě)出勢(shì)能泛函(用軸向位移表達(dá))？ x s L 解： 勢(shì)能泛函包括三個(gè)部分，一個(gè)部分是由于桿的變形桿中存儲(chǔ)的勢(shì)能，第二部分是分布力的勢(shì)能，第三部分是端部軸向應(yīng)力的勢(shì)能。 2、（8分）構(gòu)造下圖一維桿單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的Lagrange標(biāo)準(zhǔn)插值基函數(shù)？ 3 2 1 L x 1、（8分）已知一懸臂梁（如下圖，等截面）承受軸向均勻分布載荷q, 用有限元方法求解端點(diǎn)A的位移？ A q 解： 微分方程描述 僅求解A點(diǎn)位移，可將整根梁看做一個(gè)單元： 則A點(diǎn)的線性位形函數(shù)可寫(xiě)為： 則 梁的能量泛函為： 則由此可得 或者法二： 分布軸力q的等效： 解得： h 2、（8分）構(gòu)造下圖8節(jié)點(diǎn)單元中角節(jié)點(diǎn)1的Lagrange標(biāo)準(zhǔn)二次插值基函數(shù)？ 7 4 3 +1 8 +1 -1 x 6 -1 5 2 1 答 再改造原四節(jié)點(diǎn)情況下的角節(jié)點(diǎn)基函數(shù)， 對(duì)角點(diǎn)1分析：選時(shí)，在節(jié)點(diǎn)5、8處不為零而為，故處理為： 2、（8分）構(gòu)造下圖正方形上關(guān)于原點(diǎn)的Lagrange標(biāo)準(zhǔn)雙二次插值基函數(shù)？ h [-1，1] 7 4 3 8 6 o03 x [-1，1] 5 1 2 解： 將代入上述基得到： 因此對(duì)于中點(diǎn)的基函數(shù)為 y 3、 （12分）已知一矩形等截面彈性體扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的泛函表達(dá)式為： x 2b 2a 式中，f為應(yīng)力函數(shù)，且在邊界上 求1：與問(wèn)題等價(jià)的控制微分方程（ Euler方程）。 求2：取f 的近似解形式為： ，a為未知參數(shù)，求使泛函I取極值f 的具體近似解。 解： （1）令： 則微分方程為： 即： （2）將代入中： 得到： 可得當(dāng) 時(shí) 取極小值 因此近似解為 b a y x 4、 （12分）已知一矩形等截面彈性體扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的泛函表達(dá)式為： 式中，f為應(yīng)力函數(shù)，且在邊界上 求1：與問(wèn)題等價(jià)的控制微分方程（ Euler方程）。 求2：取f 的近似解形式為： ，a為未知參數(shù)，求使泛函I取極值f 的具體近似解。 解： 微分方程：，代近似解到泛函，得 ?。? （2）將代入中： 得到： 計(jì)算得到： 可得當(dāng) 時(shí) 取極小值 因此近似解為 5、 （12分）已知一物理問(wèn)題的泛函為： 其中，未知函數(shù)y(x)的邊界條件為：y(0) = 0, y(1) = 1 求1：與泛函等價(jià)的控制微分方程（Euler方程）。 求2：取y的解形式為 ，其中多項(xiàng)式系數(shù)為未知參數(shù)，求使泛函取極值y的具體解。 解： 微分方程：，解為，代入邊界條件，得 近似解的形式跟真解的形式相同，因此，泛函的極值必然等于真解。 6、 （12分）已知一物理問(wèn)題的泛函為： 式中，u(x), 0 x1，為未知函數(shù)，且 求1：與泛函等價(jià)的控制微分方程（Euler方程）。 求2：取u的近似解形式為 ，a1、a2為未知參數(shù)，求使泛函取極值u的具體解。 解： 由邊界條件，得a1+a2=0,所以將代入泛函，求極值，得a1=5/18 7、 （12分）已知一物理問(wèn)題的泛函為： 式中，為未知函數(shù)，且 求1：與問(wèn)題等價(jià)的控制微分方程（ Euler方程）。 求2：取的近似解形式為 ，a1、a2為未知參數(shù)，求使泛函取極值的具體解。 求3：解釋你的直接泛函駐值解說(shuō)明了什么問(wèn)題？ 解：對(duì)泛函作變分： 邊界值中，任意，所以必須有 所以，代入泛函，求極值得 該駐值解等于精確解。 三、 計(jì)算題 （30分） 1、 （15分）一四節(jié)點(diǎn)平面等參元的形狀函數(shù)如下式所示，已知該單元的節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系為：u1= -u2 = u3 = -u4，v1=v2=v3=v4=0（圖中的虛線狀態(tài)）。試給出該單元剪切應(yīng)變能表達(dá)式；當(dāng)Gauss積分點(diǎn)僅取坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該剪切應(yīng)變能等于多少？ 已知： ，為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。 4 3 h x 2 1 解： 雅克比矩陣為 雅克比矩陣中每項(xiàng)的值如下 假設(shè)母單元長(zhǎng)寬分別為和則計(jì)算得 下面寫(xiě)出應(yīng)變矩陣的表達(dá)式 因?yàn)閮H計(jì)算剪切應(yīng)變能，因此僅取的最后一行計(jì)算： 而剛度轉(zhuǎn)化為數(shù)值 應(yīng)變能計(jì)算如下： 根據(jù)條件式中： 代、、、到U中，得 對(duì)上式采用高斯積分，取取積分點(diǎn)，則相應(yīng)權(quán)系數(shù)為得 最后計(jì)算得到。 2、（15分）已知一對(duì)稱等截面桿件結(jié)構(gòu)，如圖所示，桿彈性模量E=104kg/mm2, 截面面積A=10mm2,作用載荷p=104N。用有限元方法計(jì)算結(jié)構(gòu)各點(diǎn)位移。 要求作出求解過(guò)程的簡(jiǎn)化圖。 解： （1） 節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元編號(hào)如下： 單元 節(jié)點(diǎn)號(hào) 單元長(zhǎng)度 方向 1 1 2 L/2 0 2 2 3 /2 135 3 3 4 L/2 0 4 2 4 L/2 90 （2） 各單元在總體系下的剛度矩陣： 各桿在總體坐標(biāo)系下的剛度矩陣計(jì)算公式： 代入各桿對(duì)應(yīng)數(shù)值： （3） 單元拼裝，計(jì)算總剛度矩陣 其中 節(jié)點(diǎn)力： (4) 邊界條件的處理及剛度方程求解 邊界條件為： 解得： 2、 （15分）已知一四邊固支的各向同性彈性正方形薄板（邊長(zhǎng)為4,如下圖示），有一P載荷作用于中心點(diǎn)處，產(chǎn)生的位移撓度等于1，應(yīng)用四節(jié)點(diǎn)12參數(shù)板彎單元計(jì)算所需載荷P的大??？（已知彈性模量為E，板厚為t，泊桑比μ=0.3，邊長(zhǎng)為2的方板元素剛陣為： 4 4 P D, 解： （局部坐標(biāo)系） 如圖，把薄板劃分為四個(gè)單元，結(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元編號(hào)如圖所示，由薄板固支的邊界條件，可以得到板邊界結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角都為零。4節(jié)點(diǎn)12參數(shù)的位形函數(shù)如下： 由于完全對(duì)稱，計(jì)算（1）單元為例： 將1,2,3,4節(jié)點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角條件 B矩陣計(jì)算如下： 將每個(gè)單元的剛度矩陣組裝成整體剛度矩陣 由邊界條件: 即 因此對(duì)于1節(jié)點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)力與位移關(guān)系為 即 前述計(jì)算（1）單元中結(jié)果： 由已知， 對(duì)， 所以，，同理， 代入上式中，得到 2、（15分）已知一對(duì)稱板桿結(jié)構(gòu)如圖所示，結(jié)構(gòu)元件的彈性模量E=104kg/mm2, 桿的截面面積A=10mm2，板厚t=1.5 mm，作用載荷p=104N。用有限元方法計(jì)算結(jié)構(gòu)各點(diǎn)位移（要求作出求解過(guò)程的簡(jiǎn)化圖）。 P/2 3 L （4） 2 1 L 解： （1） 節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元編號(hào)如下： 單元 節(jié)點(diǎn)號(hào) 單元長(zhǎng)度 方向 1 1 2 L 0 2 2 3 135 單元 節(jié)點(diǎn)號(hào) 面積 3 1 2 3 L*L/2 （3） 各單元在總體系下的剛度矩陣： 1、2、3單元為桿單元，各桿在總體坐標(biāo)系下的剛度矩陣計(jì)算公式： 代入各桿對(duì)應(yīng)數(shù)值： 4單元為板單元： （3） 單元拼裝，計(jì)算總剛度矩陣 (4) 邊界條件的處理及剛度方程求解 節(jié)點(diǎn)力： ,待解 和 所以有 其中，總剛度矩陣為6*6的矩陣 其中， 附錄：