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一、 簡答題（40分，每小題5分）
1、 分別寫出板彎類單元和平面應力膜單元上一個有限元節(jié)點的位移自由度及其相對應的節(jié)點力列陣？
(1)薄板彎曲問題單元每節(jié)點三自由度，即每個結點有三個位移分量：
撓度,繞x、y軸轉角
，即結點i的位移
同理,相應的結點力
(2)平面應力膜單元每個節(jié)點兩自由度， ,對應節(jié)點力
2、 欲求解在約束下的泛函極值，新泛函應如何構造？
答：
3、 欲求解在約束下的泛函極值，新泛函應如何構造？
答：
4、 滿足條件下的泛函極值求解應如何構造新泛函？
答：
5、 寫出直梁彎曲問題的勢能原理表達式，并說明真解的充分必要條件？
答：一變剖面梁，一端固支，另一端簡支。承受軸向拉力N，分布橫向載荷以及端點彎矩的作用。
(3) 系統(tǒng)總勢能：
充要條件：在所有變形可能的撓度中使系統(tǒng)的總勢能取最小值的擾度為真解。
6、 寫出用一維Hermit型基函數(shù)（形狀函數(shù)）構造未知位移場函數(shù)的表達式，并說明用其分段插值的場函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)？
答：
，
，
在單元內(nèi)的場函數(shù)連續(xù)性要高（單元內(nèi)二階導連續(xù)），而在單元間的節(jié)點上，要低一階（一階導連續(xù)，二階導存在）。P39
7、 Hermit型分段插值基函數(shù)（形狀函數(shù)）的基本性質(zhì)有哪些？并說明用該基函數(shù)插值獲得的場函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)如何？
答：四個形狀函數(shù)為三次函數(shù)；其中，，一節(jié)導函數(shù)值在兩端點都為0；函數(shù)值在左節(jié)點為1，右節(jié)點為0；相反；所以這兩個形狀函數(shù)對w的節(jié)點值有影響，而不影響w一階導在端點的值；
，在兩節(jié)點的值均為0；一階導函數(shù)值在左節(jié)點為1，在右節(jié)點為0，相反；說明這兩個形狀函數(shù)對w的節(jié)點導數(shù)值有影響，而不影響w在端點的值。
在單元內(nèi)的場函數(shù)連續(xù)性要高（單元內(nèi)二階導連續(xù)），而在單元間的節(jié)點上，要低一階（一階導連續(xù)，二階導存在）。
8、 敘述一個平衡彈性結構體的勢（位）能駐值原理？最小勢能原理與駐值原理有什么關系？
答：在彈性體系的所有幾何可能位移狀態(tài)中，其真實的位移狀態(tài)使總勢能為駐值（可能極大、極小或者始終保持不變）。由此得到的駐值條件等價于平衡條件。但是，其平衡狀態(tài)有穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和隨遇平衡三種，要判別平衡狀態(tài)究竟屬于哪一種，還必須進一步考察總勢能的二階變分情況。
最小勢能原理是勢能駐值原理在線彈性范圍里的特殊情況。
9、 通過勢能泛函近似得到的有限元數(shù)值解是什么性質(zhì)？常規(guī)協(xié)調(diào)單元的收斂性規(guī)律如何（可用曲線描述）？
答：按照最小勢能原理求解時，必須首先假定單元位移函數(shù)，這些位移函數(shù)是連續(xù)的，但卻是近似的。從物體中取出一個單元，作為連續(xù)介質(zhì)的一部分，本來具有無限個自由度，在采用位移函數(shù)之后，只有以節(jié)點位移表示的有限個自由度，這相當于位移函數(shù)對單元變形能力有所限制，使得單元剛度增加，物體的整體剛度也增加了，因而計算的位移近似解小于精確解。
當網(wǎng)格逐漸加密時，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當單元尺寸固定時，每個單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。
10、 由最小位能原理獲得的有限元解收斂性具有什么特征（可用曲線說明）？
答： 當網(wǎng)格逐漸加密時，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當單元尺寸固定時，每個單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。以一平板任意方向變形為例，如圖所示：
精確解
計算解
位移精確解可能是一復雜的非顯式曲線，有限元離散后，單元內(nèi)的變形是節(jié)點位移的線性插值函數(shù)，這樣得到的計算解曲線以折線逼近精確解。如果采用二次曲線逼近，則計算精度與計算效率可大大提高，二次曲線即有限元中的高次單元。同樣，當有限元網(wǎng)格無限密化時，計算解將無限逼近精確解?？紤]計算過程中的數(shù)值計算誤差（例如：截斷誤差），限制了有限元網(wǎng)格的過分密化。
11、 寫出一般線彈性體的基本控制方程？邊值條件有哪些？
答：
平衡方程： （在彈性體內(nèi)）
幾何方程：
物理方程： （在彈性體內(nèi)）
邊界條件：a.位移邊界條件（在位移邊界上）；
b.應力邊界條件（在應力邊界上）；
c.混合邊界條件
12、 等參元的數(shù)值積分最高精度2n-1，指的是什么？若積分點偏少可能發(fā)生什么情況？
答：指的是n個積分點的高斯積分可達2n-1階的精度；高斯積分計算剛度矩陣時：
當高斯積分階數(shù)等于被積函數(shù)所有項次精確積分所需要的階次時，稱為完全積分；低于時，稱為減縮積分。對等參元的數(shù)值積分，積分點減少可能對積分的精度和結構總體剛度矩陣的奇異性造成影響。
（1）在最小位能原理基礎上建立的位移有限元，其整體剛度偏大，選取積分點偏少的減縮積分方案將使有限元計算模型的剛度有所降低，因此可能有助于提高計算精度。
（2）求解系統(tǒng)方程時，要求引入強迫邊界條件后K必須非奇異。但當采用較少的積分點數(shù)目，可能造成K最大志小于獨立自由度數(shù)，也即剛度矩陣奇異，則平衡方程組無唯一解。
13、 有限元結構總剛矩陣有哪些性質(zhì)？采用一維變帶寬存貯方法的方程組求解方案的可行性原因何在？
答：總綱特征：對稱性；稀疏性；帶狀性；奇異性（置入邊界條件后是正定的）
有限元總體剛度矩陣是稀疏矩陣，絕大多數(shù)矩陣值都為0，如果在內(nèi)存與外存中按照矩陣格式保存，則會浪費大量資源。一維變帶寬存儲是建立一個一維數(shù)組，把總剛矩陣中每行第一個非零元素以及后面直到對角線元素按行順序存放，同時建立另外一個一維數(shù)組（稱為定位數(shù)組），記錄總剛矩陣每行對角線元素在一維剛度數(shù)組中的位置，這樣，通過兩個較小的一維數(shù)組就實現(xiàn)了較大規(guī)模的總體剛度矩陣的存儲、定位與獲取。
14、 任意四邊形平面應力單元的某一節(jié)點自由度需用與結構總體坐標系不同的局部坐標系表達，寫出該單元剛度剛陣的符號表達式？
答：
15、 寫出受壓桿穩(wěn)定性問題的泛函表達式，解釋臨界失穩(wěn)載荷的力學含義？
答：
當P
Pcr時，系統(tǒng)是不定的；P =Pcr點，系統(tǒng)從正定到不定的過渡狀態(tài)，即系統(tǒng)處在隨遇平衡狀態(tài)。
16、 對僅受分布橫向載荷q(x) 的懸臂梁，寫出具體勢能泛函表達式？變分的結果有哪些，什么性質(zhì)？
答：
，可得：
對于微分方程
基本邊界條件：x=0，w=0,dw/dx=0;
自然邊界條件：x=l，w’’=0,w’’’=0;
17、 你所理解的有限元素法基本概念有哪些?
答：
依據(jù)求解問題的路徑不同，有限元方法大致可分為：位移法：以位移為基本未知量；力法：應力為基本未知量；混合法：部分以位移；部分以應力為基本未知量。
將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內(nèi)假設的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)及其導數(shù)在單元各節(jié)點的數(shù)值插值函數(shù)來表達。從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。
它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成,對每一單元假定一個合適的(較簡單的)近似解,然后推導求解這個域總的滿足條件(如結構的平衡條件),從而得到問題的解。這個解不是準確解,而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高,而且能適應各種復雜形狀,因而成為行之有效的工程分析手段。
有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對小的子域中。有限元法是Rayleigh-Ritz法的一種局部化情況。不同于求解(往往是困難的)滿足整個定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh-Ritz法,有限元法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀(如二維問題中的三角形或任意四邊形)的單元域上(分片函數(shù)),且不考慮整個定義域的復雜邊界條件,這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。
18、 經(jīng)典Ritz方法與現(xiàn)代有限元方法有何異同？
答：有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。
兩種方法都需要尋找坐標基函數(shù)；
但兩者差別在于Ritz法需要滿足全域的連續(xù)函數(shù)作為坐標函數(shù)，這將引起解的代數(shù)方程組可能滿陣，造成較大計算工作量；
有限元方法是尋找分片連續(xù)函數(shù)來逼近，基函數(shù)是在單元中選取的．由于各個單元具有規(guī)則的幾何形狀，而且可以不必考慮邊界條件的影響，因此在單元中選取基函數(shù)可遵循一定的法則。使解得計算量減小和有效性增大。
二、 分析題 （30分）
q
1、（10分）已知一等截面懸臂桿（截面積為A，彈性模量為E）承受沿軸向均勻分布載荷q及端部軸向應力s（如下圖），寫出勢能泛函(用軸向位移表達)？
x
s
L
解：
勢能泛函包括三個部分，一個部分是由于桿的變形桿中存儲的勢能，第二部分是分布力的勢能，第三部分是端部軸向應力的勢能。
2、（8分）構造下圖一維桿單元三個節(jié)點的Lagrange標準插值基函數(shù)？
3
2
1
L
x
1、（8分）已知一懸臂梁（如下圖，等截面）承受軸向均勻分布載荷q, 用有限元方法求解端點A的位移？
A
q
解：
微分方程描述
僅求解A點位移，可將整根梁看做一個單元：
則A點的線性位形函數(shù)可寫為：
則
梁的能量泛函為：
則由此可得
或者法二：
分布軸力q的等效：
解得：
h
2、（8分）構造下圖8節(jié)點單元中角節(jié)點1的Lagrange標準二次插值基函數(shù)？
7
4
3
+1
8
+1
-1
x
6
-1
5
2
1
答
再改造原四節(jié)點情況下的角節(jié)點基函數(shù)，
對角點1分析：選時，在節(jié)點5、8處不為零而為，故處理為：
2、（8分）構造下圖正方形上關于原點的Lagrange標準雙二次插值基函數(shù)？
h [-1，1]
7
4
3
8
6
o03
x [-1，1]
5
1
2
解：
將代入上述基得到：
因此對于中點的基函數(shù)為
y
3、 （12分）已知一矩形等截面彈性體扭轉問題的泛函表達式為：
x
2b
2a
式中，f為應力函數(shù)，且在邊界上
求1：與問題等價的控制微分方程（ Euler方程）。
求2：取f 的近似解形式為： ，a為未知參數(shù)，求使泛函I取極值f 的具體近似解。
解：
（1）令：
則微分方程為：
即：
（2）將代入中：
得到：
可得當 時 取極小值
因此近似解為
b
a
y
x
4、 （12分）已知一矩形等截面彈性體扭轉問題的泛函表達式為：
式中，f為應力函數(shù)，且在邊界上
求1：與問題等價的控制微分方程（ Euler方程）。
求2：取f 的近似解形式為： ，a為未知參數(shù)，求使泛函I取極值f 的具體近似解。
解：
微分方程：，代近似解到泛函，得
住：
（2）將代入中：
得到：
計算得到：
可得當 時 取極小值
因此近似解為
5、 （12分）已知一物理問題的泛函為：
其中，未知函數(shù)y(x)的邊界條件為：y(0) = 0, y(1) = 1
求1：與泛函等價的控制微分方程（Euler方程）。
求2：取y的解形式為 ，其中多項式系數(shù)為未知參數(shù)，求使泛函取極值y的具體解。
解：
微分方程：，解為，代入邊界條件，得
近似解的形式跟真解的形式相同，因此，泛函的極值必然等于真解。
6、 （12分）已知一物理問題的泛函為：
式中，u(x), 0 x1，為未知函數(shù)，且
求1：與泛函等價的控制微分方程（Euler方程）。
求2：取u的近似解形式為 ，a1、a2為未知參數(shù)，求使泛函取極值u的具體解。
解：
由邊界條件，得a1+a2=0,所以將代入泛函，求極值，得a1=5/18
7、 （12分）已知一物理問題的泛函為：
式中，為未知函數(shù)，且
求1：與問題等價的控制微分方程（ Euler方程）。
求2：取的近似解形式為 ，a1、a2為未知參數(shù)，求使泛函取極值的具體解。
求3：解釋你的直接泛函駐值解說明了什么問題？
解：對泛函作變分：
邊界值中，任意，所以必須有
所以，代入泛函，求極值得
該駐值解等于精確解。
三、 計算題 （30分）
1、 （15分）一四節(jié)點平面等參元的形狀函數(shù)如下式所示，已知該單元的節(jié)點位移關系為：u1= -u2 = u3 = -u4，v1=v2=v3=v4=0（圖中的虛線狀態(tài)）。試給出該單元剪切應變能表達式；當Gauss積分點僅取坐標原點時，該剪切應變能等于多少？
已知： ，為節(jié)點坐標。
4
3
h
x
2
1
解：
雅克比矩陣為
雅克比矩陣中每項的值如下
假設母單元長寬分別為和則計算得
下面寫出應變矩陣的表達式
因為僅計算剪切應變能，因此僅取的最后一行計算：
而剛度轉化為數(shù)值
應變能計算如下：
根據(jù)條件式中：
代、、、到U中，得
對上式采用高斯積分，取取積分點，則相應權系數(shù)為得
最后計算得到。
2、（15分）已知一對稱等截面桿件結構，如圖所示，桿彈性模量E=104kg/mm2, 截面面積A=10mm2,作用載荷p=104N。用有限元方法計算結構各點位移。
要求作出求解過程的簡化圖。
解：
（1） 節(jié)點編號和單元編號如下：
單元
節(jié)點號
單元長度
方向
1
1
2
L/2
0
2
2
3
/2
135
3
3
4
L/2
0
4
2
4
L/2
90
（2） 各單元在總體系下的剛度矩陣：
各桿在總體坐標系下的剛度矩陣計算公式：
代入各桿對應數(shù)值：
（3） 單元拼裝，計算總剛度矩陣
其中
節(jié)點力：
(4) 邊界條件的處理及剛度方程求解
邊界條件為：
解得：
2、 （15分）已知一四邊固支的各向同性彈性正方形薄板（邊長為4,如下圖示），有一P載荷作用于中心點處，產(chǎn)生的位移撓度等于1，應用四節(jié)點12參數(shù)板彎單元計算所需載荷P的大??？（已知彈性模量為E，板厚為t，泊桑比μ=0.3，邊長為2的方板元素剛陣為：
4
4
P
D,
解：
（局部坐標系）
如圖，把薄板劃分為四個單元，結點編號和單元編號如圖所示，由薄板固支的邊界條件，可以得到板邊界結點的結點位移和轉角都為零。4節(jié)點12參數(shù)的位形函數(shù)如下：
由于完全對稱，計算（1）單元為例：
將1,2,3,4節(jié)點的位移和轉角條件
B矩陣計算如下：
將每個單元的剛度矩陣組裝成整體剛度矩陣
由邊界條件:
即
因此對于1節(jié)點處的節(jié)點力與位移關系為
即
前述計算（1）單元中結果：
由已知，
對，
所以，，同理，
代入上式中，得到
2、（15分）已知一對稱板桿結構如圖所示，結構元件的彈性模量E=104kg/mm2, 桿的截面面積A=10mm2，板厚t=1.5 mm，作用載荷p=104N。用有限元方法計算結構各點位移（要求作出求解過程的簡化圖）。
P/2
3
L
（4）
2
1
L
解：
（1） 節(jié)點編號和單元編號如下：
單元
節(jié)點號
單元長度
方向
1
1
2
L
0
2
2
3
135
單元
節(jié)點號
面積
3
1
2
3
L*L/2
（3） 各單元在總體系下的剛度矩陣：
1、2、3單元為桿單元，各桿在總體坐標系下的剛度矩陣計算公式：
代入各桿對應數(shù)值：
4單元為板單元：
（3） 單元拼裝，計算總剛度矩陣
(4) 邊界條件的處理及剛度方程求解
節(jié)點力：
,待解 和 所以有
其中，總剛度矩陣為6*6的矩陣
其中，
附錄：
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