初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 幾何內(nèi)容為主的綜合題

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1、 初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)——幾何內(nèi)容為主的綜合題 北京八中 劉穎 幾何綜合題大多采用“問題探究——問題解決”的模式展開問題，立意新穎，構(gòu)思巧妙，各小題之間承接性強(qiáng)，層層深入，從而出現(xiàn)更多的思維層次，體現(xiàn)試題的甄別和選拔功能。 一. 考試說明要求（與幾何內(nèi)容有關(guān)的“C”級要求） “C”級要求：通過觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等思維活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路；綜合使用已掌握的對象，選擇或創(chuàng)造適當(dāng)?shù)姆椒?，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題的分析與解決。 1. 圖形的性質(zhì) （1）推理與證明 ——C：運用歸納和類比發(fā)現(xiàn)結(jié)論 （2）直線、射線和線段——C：運用兩點間距離的有關(guān)內(nèi)容

2、 （3）角平分線——C：運用角平分線的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 （4）線段垂直平分線——C：運用線段垂直平分線的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 （5）三角形——C：運用三角形三邊關(guān)系的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題；運用三角形內(nèi)角和定理的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 （6）三角形中位線——C：運用三角形中位線的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 （7）全等三角形——C：運用全等三角形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 （8）等腰三角形和等邊三角形——C：運用等腰三角形和等邊三角形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 （9）直角三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)及解直角三角形——C：運用直角三角形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 （10）平行四邊形——C：運用平行四

3、邊形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 （11）特殊的平行四邊形——C：運用矩形、菱形、正方形的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 （12）圓的有關(guān)性質(zhì)——C：運用圓的性質(zhì)的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 （13）直線和圓的位置關(guān)系——C：運用圓的切線的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 2. 圖形的變化 （1）圖形的平移——C：運用平移的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 （2）圖形的軸對稱——C：運用軸對稱的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 （3）圖形的旋轉(zhuǎn)——C：運用旋轉(zhuǎn)的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 3. 圖形與坐標(biāo) 坐標(biāo)與圖形運動——C：運用坐標(biāo)與圖形運動的有關(guān)內(nèi)容解決有關(guān)問題 二. 復(fù)習(xí)建議 1. 對于綜合題的復(fù)習(xí)，是要通過數(shù)量有限的題目

4、的練習(xí)、分析、講解和總結(jié)，來提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，適宜“以點帶面”、“以問題帶方法”的方法. 即在選擇典型問題加以分析的基礎(chǔ)上，將題目講深、講透，也可將問題適當(dāng)進(jìn)行變化、類比，力求充分讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法在解決問題中的靈活、綜合的應(yīng)用. 2. 可以將一道綜合題拆分成若干個小問題，將一個復(fù)雜圖形拆分成若干個基本圖形，這樣做，一方面幫助學(xué)生提高分析問題的能力，另一方面也可以提高學(xué)生處理綜合題的自信. 3. 軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)變換在“考試說明中”均有“C”級的要求，要引起注意. 4. 針對“有關(guān)運動變換”、“有關(guān)閱讀、探究、操作”等問題，重點要教給學(xué)生分析和解決這類

5、問題的通用的、簡單易行的方法. 例如：“運動變換型”問題一定要多畫圖形來幫助尋找變化規(guī)律，注意一般位置和特殊位置的關(guān)系，并關(guān)注在變化過程中的一些不變的量或不變的關(guān)系；“閱讀、探究、操作”問題通常有定義新概念和定義新方法兩類，要認(rèn)真審題，既要“照貓畫虎”，又要體現(xiàn)虎與貓的“根本區(qū)別”，等等. 舉例： （1）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、 y軸上，當(dāng)點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中， 點B到原點的最大距離是( ) A. B. C. D. 6 （2） （學(xué)探診第33頁

6、第6題）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于D，且AD=AB，則△ABC底角的度數(shù)為_____________ （3）（2014門頭溝一模） 已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α， _______________________________________________________________________________________ 點D是AB邊上任意一點， _______________________________________________________________________________________ 將射線DC繞點D逆時針

7、旋轉(zhuǎn)α與過點A且平行于BC邊的直線交于點E. _______________________________________________________________________________________ ① 如圖1，當(dāng)α=60°時，請直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系；_______________ _______________________________________________________________________________________ ② 如圖2，當(dāng)α=45°時，判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明； _______

8、________________________________________________________________________________ ③ 如圖3，當(dāng)α為任意銳角時，依題意補(bǔ)全圖形，請直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：_______________________．（用含α的式子表示,其中） _______________________________________________________________________________________ 圖2 圖1 圖3 三. 對于進(jìn)一步培養(yǎng)和提高解決幾何綜合問題

9、的能力的幾點想法 1. 準(zhǔn)確理解和使用定義、定理，重視基本圖形、基本方法及常添輔助線的總結(jié)和歸納，加強(qiáng)基本圖形的識別 （1）部分常用輔助線的作法舉例 ① 與角平分線有關(guān)的輔助線的作法 ※ 向角兩邊作垂線段； ※ 作平行線，構(gòu)造等腰三角形； ※ 在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。 ② 與線段長度相關(guān)的輔助線的作法 ※ 截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，經(jīng)常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可； ※ 補(bǔ)短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短

10、的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可； ※ 倍長中線：如果出現(xiàn)了三角形的中線，將中線延長一倍，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形； ※ 遇到中點，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。 ③ 與等腰、等邊三角形相關(guān)的輔助線的作法 ※ 考慮底邊上的三線合一； ※ 旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全等三角形（等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)60度）。 ④ 與菱形有關(guān)的輔助線的作法 ※ 作菱形的高； ※ 連結(jié)菱形的對角線。 ⑤ 與矩形有關(guān)的輔助線作法 ※ 計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理解決問題； ※ 證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線，借助對角線相等

11、這一性質(zhì)解決問題。 ⑥ 與正方形有關(guān)的輔助線的作法 ※ 正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線； ※ 旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等形。 ⑦ 與圓有關(guān)的輔助線的作法 ※ 遇到弦時（解決有關(guān)弦的問題時），常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑），或再連結(jié)過弦的端點的半徑（利用垂徑定理；利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量）。 ※ 遇到有直徑時，常添加直徑所對的圓周角（利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形）。 ※ 遇到90度的圓周角時，常常連結(jié)兩條弦沒有公共

12、點的另一端點（利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑）。 ※ 遇到弦時，常常連結(jié)圓心和弦的兩個端點，構(gòu)成等腰三角形；還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點（可得等腰三角形；據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角）。 ※ 遇到有切線時，常常添加過切點的半徑（連結(jié)圓心和切點）（利用切線的性質(zhì)定理可得直角或直角三角形）。 ※ 遇到證明某一直線是圓的切線時，若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段；若直線過圓上的某一點，則連結(jié)這點和圓心（即作半徑）。 ※ 遇到三角形的內(nèi)切圓時，連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段（利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得：內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線；內(nèi)心到三

13、角形三條邊的距離相等）。 ※ 遇到三角形的外接圓時，連結(jié)外心和各頂點（外心到三角形各頂點的距離相等）。 ※ 遇到四邊形對角互補(bǔ)或兩個三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時，常常添加輔助圓（以便利用圓的性質(zhì)）。 （2）常添輔助線習(xí)題舉例： 【截長補(bǔ)短】 （2013朝陽二模）在□ABCD中，E是AD上一點，AE=AB，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG. ① 如圖1，當(dāng)EF與AB相交時，若∠EAB=60°，求證：EG =AG+BG； ② 如圖2，當(dāng)EF與AB相交時，若∠EAB= α（0o﹤α﹤90o），請你直接寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)

14、量關(guān)系（用含α的式子表示）； ③ 如圖3，當(dāng)EF與CD相交時，且∠EAB=90°，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 圖3 圖2 圖1 【中位線】 （2013順義一模）如圖1，在四邊形中，，分別是的中點，連結(jié)并延長，分別與的延長線交于點，則（不需證明）． 小明的思路是：在圖1中，連結(jié)，取的中點，連結(jié)，根據(jù)三角形中位線定理和平行線性質(zhì)，可證得． 問題：如圖2，在中，，點在上，，分別是的中點，連結(jié)并延長，與的延長線交于點，若，連結(jié)，判斷的形狀并證明． 【倍長中線】 （2013門頭溝二模）已知：在△AOB與△

15、COD中，OA＝OB，OC＝OD，． ① 如圖1，點C、D分別在邊OA、OB上，連結(jié)AD、BC，點M為線段BC的中點，連結(jié)OM，則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ； ② 如圖2，將圖1中的△COD繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 ()．連結(jié)AD、BC，點M為線段BC的中點，連結(jié)OM．請你判斷（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立．若成立，請證明；若不成立，請說明理由； ③ 如圖3，將圖1中的 △COD繞點 O逆時針旋轉(zhuǎn)到使 △COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時，點C落在OB上，點

16、M為線段BC的中點．請你判斷（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想，并加以證明． 【“弦圖”】 （2013朝陽一模）閱讀下面材料： 圖1 圖2 小雨遇到這樣一個問題：如圖1，直線l1∥l2∥l3 ，l1與l2之間的距離是1，l2與l3之間的距離是2，試畫出一個等腰直角三角形ABC，使三個頂點分別在直線l1、l2、l3上，并求出所畫等腰直角三角形ABC的面積． 小雨是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法利用平行線之間的距離，根據(jù)所求圖形的性質(zhì)嘗試用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解決問題．具體作法如圖2

17、所示：在直線l1任取一點A，作AD⊥l2于點D，作∠DAH=90°，在AH上截取AE=AD，過點E作EB⊥AE交l3于點B，連接AB，作∠BAC=90°，交直線l2于點C，連接BC，即可得到等腰直角三角形ABC． 請你回答：圖2中等腰直角三角形ABC的面積等于 ． 圖3 參考小雨同學(xué)的方法，解決下列問題： 如圖3，直線l1∥l2∥l3, l1與l2之間的距離是2，l2與l3之間的距離是1,試畫出一個等邊三角形ABC，使三個頂點分別在直線l1、l2、l3上，并直接寫出所畫等邊三角形ABC的面積（保留畫圖痕跡）． （3）部分常見基本圖形舉例 ① 與相似及圓有關(guān)的基

18、本圖形 ② 正方形中的基本圖形 2. 幾種幾何綜合題中的常見類型 【有關(guān)“特殊”與“一般”問題】重視在“變化”中尋找“不變”，在“特殊”與“一般”間進(jìn)行類比 （2014門頭溝一模）已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，點D是AB邊上任意一點，將射線DC繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)α與過點A且平行于BC邊的直線交于點E. ① 如圖1，當(dāng)α=60°時，請直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系；_______________ ② 如圖2，當(dāng)α=45°時，判斷線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系，

19、并進(jìn)行證明； ③ 如圖3，當(dāng)α為任意銳角時，依題意補(bǔ)全圖形，請直接寫出線段BD與AE之間的數(shù)量關(guān)系：_______________________．（用含α的式子表示,其中） 圖3 圖2 圖1 解答：① BD=AE； ② BD=AE；理由如下： 過點D作DF∥AC，交BC于F． ∵DF∥AC， ∴∠ACB=∠DFC． 圖2 ∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°， ∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°． ∴△DFB是等腰直角三角形 ∴BD =DF=BF． ∵AE∥BC， ∴∠ABC+∠BAE=180°． ∵∠DF

20、B +∠DFC=180° ∴∠BAE=∠DFC． ∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α， ∴∠ADE =∠BCD． ∴△ADE∽△FCD． ∴． ∵DF∥AC， ∴． 圖3 ∴． ∴BD=AE． (3) 補(bǔ)全圖形如圖3， 【有關(guān)幾何變換問題】重視變換思想、軌跡思想在解決幾何綜合題中的應(yīng)用 (2014西城一模) 四邊形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF． G為DF的中點，連接EG，CG ，EC． ① 如圖1，若點E在CB邊的延長線上，直接寫出EG與GC的位置關(guān)系及的值；

21、② 將圖1中的△BEF繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，在（1）中所得的結(jié)論 是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由； ③ 將圖1中的△BEF，繞點B順時針旋轉(zhuǎn)（0°<<90°），若BE=1，AB=， 備用圖 當(dāng)E，F(xiàn)，D三點共線時，求DF的長及的值. 解答: ① ，； ② ①中的結(jié)論仍然成立． 證明：取線段BF的中點M，連接EM，MG， ∵△BEF是等腰直角三角形， ∴，且∠FME=90°． 連接BD，取線段BD的中點N，連接GN，CN， ∵ABCD是正方形， ∴，且∠CND=90°． ∵G是

22、DF的中點， ∴，GN∥FB． ∴∠1=∠2． 同理，MG∥BD． ∴∠2=∠3． ∴，GN∥FB． ∴∠1=∠3． ∴∠EMG=∠EMF+∠1=∠CND+∠2=∠GNC． ∴△EMG≌△GNC． ∴EG=GC． ∴∠EGM=∠GCN． 在△CNG中，∠GNC+∠GCN+∠CGN=180°． ∴∠3+∠GCN+∠CGN=90°． ∴∠2+∠EGM+∠CGN=90°． 即EG⊥GC, ． ③ 當(dāng)E，F(xiàn)，D三點共線時，連接BD. ∵BE=1，AB=， ∴，BD=． 在Rt△BED中，． ∴． ∴． ． ∴． ∴．

23、 ∴． 【有關(guān)作圖問題】重視基本作圖，認(rèn)真審題，準(zhǔn)確作圖，注意作圖過程中的分類討論 (2014順義一模) 已知：如圖，中，． ① 請你以MN為一邊，在MN的同側(cè)構(gòu)造一個與全等的三角形，畫出圖形，并簡要說明構(gòu)造的方法； ② 參考①中構(gòu)造全等三角形的方法解決下面問題： 如圖，在四邊形ABCD中，，． 求證：CD=AB． 解：（1）過點N在MN的同側(cè)作∠MNR =∠QMN， 在NR上截取NP=MQ，連結(jié)MP．即為所求． （2）證明：延長BC到點E，使CE=AD，連結(jié)AE． ∵，， ∴． 又∵AD = CE，AC = CA， ∴≌ ∴∠D=∠E，CD=AE

24、． ∵∠B=∠D ， ∴∠B=∠E． ∴AE =AB． ∴CD=AB． 【有關(guān)閱讀、探究、操作問題】重視仔細(xì)審題，注意提取題目中的關(guān)鍵信息 ( 2014年河南中考)（1）問題發(fā)現(xiàn) 如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上， 連接BE 填空：∠AEB的度數(shù)為 ；線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 。 （2）拓展探究 如圖2，△ACB和△DCE均為等邊三角形，∠ACB=∠DCE=900, 點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE。 請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

25、 （3）解決問題 如圖3，在正方形ABCD中，CD=。若點P滿足PD=1,且∠BPD=900，請直接寫出點A到BP的距離。 解答： 解：（1）①如圖1， ∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，ACB=∠DCE=90°． ∴∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE． ∴∠ADC=∠BEC． ∵△DCE為等邊三角形， ∴∠CDE=∠CED=60°． ∵點A，D，E在同一直線上， ∴∠ADC=120°． ∴∠BEC=120°． ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°． 故答案為：60°．

26、 ②∵△ACD≌△BCE， ∴AD=BE． 故答案為：AD=BE． （2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM． 理由：如圖2， ∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°． ∴∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE． ∴AD=BE，∠ADC=∠BEC． ∵△DCE為等腰直角三角形， ∴∠CDE=∠CED=45°． ∵點A，D，E在同一直線上， ∴∠ADC=135°． ∴∠BEC=135°． ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=

27、CE，CM⊥DE， ∴DM=ME． ∵∠DCE=90°， ∴DM=ME=CM． ∴AE=AD+DE=BE+2CM． （3）∵PD=1， ∴點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上． ∵∠BPD=90°， ∴點P在以BD為直徑的圓上． ∴點P是這兩圓的交點． ①當(dāng)點P在如圖3①所示位置時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°． ∴BD=2． ∵DP=1， ∴BP=． ∵A、P、D、B四點共圓， ∴∠APB=∠ADB=45°． ∴△PAE是等腰直角三角形． 又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP， ∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD． ∴=2AH+1． ∴AH=． ②當(dāng)點P在如圖3②所示位置時， 連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H， 過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②． 同理可得：BP=2AH﹣PD． ∴=2AH﹣1． ∴AH=． 綜上所述：點A到BP的距離為或．