小學(xué)奧數(shù) 方法講義1-40

小學(xué)奧數(shù) 方法講義1-40第一講 觀察法在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，第一步是觀察。觀察是基礎(chǔ)，是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的首要步驟。小學(xué)數(shù)學(xué)教材，特別重視培養(yǎng)觀察力，把培養(yǎng)觀察力作為開(kāi)發(fā)與培養(yǎng)學(xué)生智力的第一步。觀察法，是通過(guò)觀察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點(diǎn)，條件與結(jié)論之間的關(guān)系，題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，把題目解答出來(lái)的一種解題方法。觀察要有次序，要看得仔細(xì)、看得真切，在觀察中要?jiǎng)幽X，要想出道理、找出規(guī)律。*例1（適于一年級(jí)程度）此題是九年義務(wù)教育六年制小學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)第二冊(cè)，第11頁(yè)中的一道思考題。書(shū)中除圖1-1的圖形外沒(méi)有文字說(shuō)明。這道題旨在引導(dǎo)兒童觀察、思考，初步培養(yǎng)他們的觀察能力。這時(shí)兒童已經(jīng)學(xué)過(guò)20以內(nèi)的加減法，基于他們已有的知識(shí)，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正方形內(nèi)的小方格中填入數(shù)字后，使大正方形中的每一橫行，每一豎列，以及兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字的和，都等于左邊小正方形中的數(shù)字18。實(shí)質(zhì)上，這是一種幻方，或者說(shuō)是一種方陣。解：現(xiàn)在通過(guò)觀察、思考，看小方格中應(yīng)填入什么數(shù)字。從橫中行10+6+=18會(huì)想到，18-10-6=2，在橫中行右面的小方格中應(yīng)填入2（圖1-2）。從豎右列7+2+=18（圖1-2）會(huì)想到，18-7-2=9，在豎右列下面的小方格中應(yīng)填入9（圖1-3）。             從正方形對(duì)角線上的9+6+=18（圖1-3）會(huì)想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中應(yīng)填入3（圖1-4）。從正方形對(duì)角線上的7+6+=18（圖1-3）會(huì)想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中應(yīng)填入5（圖1-4）。                從橫上行3+7=18（圖1-4）會(huì)想到，18-3-7=8，在橫上行中間的小方格中應(yīng)填入8（圖1-5）。又從橫下行5+9=18（圖1-4）會(huì)想到，18-5-9=4，在橫下行中間的小方格中應(yīng)填入4（圖1-5）。圖1-5是填完數(shù)字后的幻方。例2 看每一行的前三個(gè)數(shù)，想一想接下去應(yīng)該填什么數(shù)。（適于二年級(jí)程度）6、16、26、_、_、_、_。9、18、27、_、_、_、_。80、73、66、_、_、_、_。解：觀察6、16、26這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，6、16、26的排列規(guī)律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)大10。觀察9、18、27這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，9、18、27的排列規(guī)律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)大9。觀察80、73、66這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，80、73、66的排列規(guī)律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)小7。這樣可得到本題的答案是：6、16、26、36、46、56、66。9、18、27、36、45、54、63。80、73、66、59、52、45、38。例3 將19這九個(gè)數(shù)字填入圖1-6的方框中，使圖中所有的不等號(hào)均成立。（適于三年級(jí)程度）解：仔細(xì)觀察圖中不等號(hào)及方框的排列規(guī)律可發(fā)現(xiàn)：只有中心的那個(gè)方框中的數(shù)小于周?chē)乃膫€(gè)數(shù)，看來(lái)在中心的方框中應(yīng)填入最小的數(shù)1。再看它周?chē)姆娇蚝筒坏忍?hào)，只有左下角的那個(gè)方框中的數(shù)大于相鄰的兩個(gè)方框中的數(shù)，其它方框中的數(shù)都是一個(gè)比一個(gè)大，而且方框中的數(shù)是按順時(shí)針?lè)较蚺帕性絹?lái)越小。所以，在左下角的那個(gè)方框中應(yīng)填9，在它右鄰的方框中應(yīng)填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。圖1-7是填完數(shù)字的圖形。          例4 從一個(gè)長(zhǎng)方形上剪去一個(gè)角后，它還剩下幾個(gè)角？（適于三年級(jí)程度）解：此題不少學(xué)生不加思考就回答：“一個(gè)長(zhǎng)方形有四個(gè)角，剪去一個(gè)角剩下三個(gè)角。”我們認(rèn)真觀察一下，從一個(gè)長(zhǎng)方形的紙上剪去一個(gè)角，都怎么剪？都是什么情況？（1）從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)堑捻旤c(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下三個(gè)角（圖1-8）。（2）從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)吷先我庖稽c(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下四個(gè)角（圖1-9）。（3）從一個(gè)邊上任意一點(diǎn)向鄰邊上任意一點(diǎn)剪去一個(gè)角，               剩下五個(gè)角（圖1-10）。例5 甲、乙兩個(gè)人面對(duì)面地坐著，兩個(gè)人中間放著一個(gè)三位數(shù)。這個(gè)三位數(shù)的每個(gè)數(shù)字都相同，并且兩人中一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)比另一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)大一半，這個(gè)數(shù)是多少？（適于三年級(jí)程度）解：首先要確定這個(gè)三位數(shù)一定是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示的，不然就沒(méi)法考慮了。甲看到的數(shù)與乙看到的數(shù)不同，這就是說(shuō)，這個(gè)三位數(shù)正看、倒看都表示數(shù)。在阿拉伯?dāng)?shù)字中，只有0、1、6、8、9這五個(gè)數(shù)字正看、倒看都表示數(shù)。這個(gè)三位數(shù)在正看、倒看時(shí)，表示的數(shù)值不同，顯然這個(gè)三位數(shù)不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。如果這個(gè)數(shù)是666，當(dāng)其中一個(gè)人看到的是666時(shí)，另一個(gè)人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以這個(gè)數(shù)是666，也可以是999。*例6 1966、1976、1986、1996、2006這五個(gè)數(shù)的總和是多少？（適于三年級(jí)程度）解：這道題可以有多種解法，把五個(gè)數(shù)直接相加，雖然可以求出正確答案，但因數(shù)字大，計(jì)算起來(lái)容易出錯(cuò)。如果仔細(xì)觀察這五個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)數(shù)是1966，第二個(gè)數(shù)比它大10，第三個(gè)數(shù)比它大20，第四個(gè)數(shù)比它大30，第五個(gè)數(shù)比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計(jì)算：1966+1976+1986+1996+2006=1966×5+10×（1+2+3+4）=9830+100=9930這五個(gè)數(shù)還有另一個(gè)特點(diǎn)：中間的數(shù)是1986，第一個(gè)數(shù)1966比中間的數(shù)1986小20，最后一個(gè)數(shù)2006比中間的數(shù)1986大20，1966和2006這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是1986。1976和1996的平均數(shù)也是1986。這樣，中間的數(shù)1986是這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)。所以，這道題還可以用下面的方法計(jì)算：1966+1976+1986+1996+2006=1986×5=9930例7 你能從400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到啟發(fā)，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得數(shù)嗎？（適于四年級(jí)程度）解：我們仔細(xì)觀察一下算式：400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16不難看出，原來(lái)的被除數(shù)和除數(shù)都乘以4，目的是將除數(shù)變成1后面帶有0的整百數(shù)。這樣做的根據(jù)是“被除數(shù)和除數(shù)都乘以一個(gè)相同的數(shù)（零除外），商不變”。進(jìn)行這種變化的好處就是當(dāng)除數(shù)變成了1后面帶有0的整百數(shù)以后，就可以很快求出商。按照這個(gè)規(guī)律，可迅速算出下列除法的商。（1）600÷25                  （2）900÷25=（600×4）÷（25×4）       =（900×4）÷（25×4）=600×4÷100                   =900×4÷100=24                              =36（3）1400÷25                  （4）1800÷25=（1400×4）÷（25×4）      =（1800×4）÷（25×4）=1400×4÷100                  =1800×4÷100=56                              =72（5）7250÷25=（7250×4）÷（25×4）=29000÷100=290*例8 把11000的數(shù)字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個(gè)長(zhǎng)方形框框出六個(gè)數(shù)，這六個(gè)數(shù)的和是87。如果用同樣的方法（橫著三個(gè)數(shù)，豎著兩個(gè)數(shù)）框出的六個(gè)數(shù)的和是837，這六個(gè)數(shù)都是多少？（適于五年級(jí)程度）解：（1）觀察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大1，第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大2，第四個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大7，第五個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大8，第六個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大9。假定不知道這幾個(gè)數(shù)，而知道上面觀察的結(jié)果，以及框內(nèi)六個(gè)數(shù)的和是87，要求出這幾個(gè)數(shù)，就要先求出六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)：（87-1-2-7-8-9）÷660÷6=10求出第一個(gè)數(shù)是10，往下的各數(shù)也就不難求了。因?yàn)橛猛瑯拥姆椒虺龅牧鶄€(gè)數(shù)之和是837，這六個(gè)數(shù)之中后面的五個(gè)數(shù)也一定分別比第一個(gè)數(shù)大1、2、7、8、9，所以，這六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是：（837-1-2-7-8-9）÷6810÷6=135第二個(gè)數(shù)是：135+1=136第三個(gè)數(shù)是：135+2=137第四個(gè)數(shù)是：135+7=142第五個(gè)數(shù)是：135+8=143第六個(gè)數(shù)是：135+9=144答略。（2）觀察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：上、下兩數(shù)之差都是7；方框中間堅(jiān)行的11和18，分別是上橫行與下橫行三個(gè)數(shù)的中間數(shù)。11=（10+11+12）÷318=（17+18+19）÷3所以上橫行與下橫行兩個(gè)中間數(shù)的和是：87÷329由此可得，和是837的六個(gè)數(shù)中，橫向排列的上、下兩行兩個(gè)中間數(shù)的和是：837÷3279因?yàn)樯稀⑾聝蓚€(gè)數(shù)之差是7，所以假定上面的數(shù)是x，則下面的數(shù)是x+7。x+（x+7）=2792x+7=2792x=279-7=272x=272÷2=136x+7=136+7=143因?yàn)樯弦粰M行中間的數(shù)是136，所以，第一個(gè)數(shù)是：136-1=135第三個(gè)數(shù)是：135+2=137因?yàn)橄乱粰M行中間的數(shù)是143，所以，第四個(gè)數(shù)是：143-1=142第六個(gè)數(shù)是：142+2=144答略。*例9 有一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有幾個(gè)頂點(diǎn)？（適于五年級(jí)程度）解：（1）鋸去一個(gè)頂點(diǎn)（圖1-12），因?yàn)檎襟w原來(lái)有8個(gè)頂點(diǎn)，鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后，增加了三個(gè)頂點(diǎn)，所以，8-1+3=10即鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有10個(gè)頂點(diǎn)。              （2）如果鋸開(kāi)的截面通過(guò)長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1+2=9（個(gè)）（圖1-13）。（3）如果鋸開(kāi)的截面通過(guò)長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1+1=8（個(gè)）（圖1-14）。              （4）如果鋸開(kāi)的截面通過(guò)長(zhǎng)方體的三個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1=7（個(gè)）（圖1-15）。例10 將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體（圖1-16），求這個(gè)物體的表面積S。（適于六年級(jí)程度）解：我們知道，底面半徑為，高為h的圓柱體的表面積是22+2h。                   本題的物體由三個(gè)圓柱組成。如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再把三個(gè)圓柱的表面積加在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個(gè)物體的表面積，這種計(jì)算方法很麻煩。這是以一般的觀察方法去解題。如果我們改變觀察的方法，從這個(gè)物體的正上方向下俯視這個(gè)物體，會(huì)看到這個(gè)物體上面的面積就像圖1-17那樣。這三個(gè)圓的面積，就是底面半徑是1.5米的那個(gè)圓柱的底面積。所以，這個(gè)物體的表面積，就等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。（2×1.52+2×1.5×1）+（2×1×1）+（2×0.5×1）=（4.5+3）+2+=7.5+3=10.5=10.5×3.14=32.97（平方米）答略。*例11 如圖1-18所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角是72°，鑄件長(zhǎng)20厘米。求它的表面積和體積。（適于六年級(jí)程度）解：遇到這樣的題目，不但要注意計(jì)算的技巧，還要注意觀察的全面性，不可漏掉某一側(cè)面。圖1-18表面積中的一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)扇形就容易被漏掉，因而在解題時(shí)要仔細(xì)。求表面積的方法1：3.14×45×2+600+120×3.14=3.14×90+3.14×120+600=3.14×（90+120）+600=659.4+600=1259.4（平方厘米）求表面積的方法2：=3.14×210+600=659.4+600=1259.4（平方厘米）鑄件的體積：=3.14×225×4=3.14×900=2826（立方厘米）答略。第二講 嘗試法解應(yīng)用題時(shí)，按照自己認(rèn)為可能的想法，通過(guò)嘗試，探索規(guī)律，從而獲得解題方法，叫做嘗試法。嘗試法也叫“嘗試探索法”。一般來(lái)說(shuō)，在嘗試時(shí)可以提出假設(shè)、猜想，無(wú)論是假設(shè)或猜想，都要目的明確，盡可能恰當(dāng)、合理，都要知道在假設(shè)、猜想和嘗試過(guò)程中得到的結(jié)果是什么，從而減少嘗試的次數(shù)，提高解題的效率。例1 把數(shù)字3、4、6、7填在圖2-1的空格里，使圖中橫行、堅(jiān)列三個(gè)數(shù)相加都等于14。（適于一年級(jí)程度）解：七八歲的兒童，觀察、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力薄弱，做這種填空練習(xí)，一般都感到困難?？上葐l(fā)他們認(rèn)識(shí)解此題的關(guān)鍵在于試填中間的一格。中間一格的數(shù)確定后，下面一格的數(shù)便可由豎列三個(gè)數(shù)之和等于14來(lái)確定，剩下的兩個(gè)數(shù)自然應(yīng)填入左右兩格了。中間一格應(yīng)填什么數(shù)呢？先看一個(gè)日常生活中的例子。如果我們要從一種月刊全年的合訂本中找到第六期的第23頁(yè)，我們一定要從合訂本大約一半的地方打開(kāi)。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23頁(yè)的地方翻，這樣反復(fù)試探幾次，步步逼近，最后就能找到這一頁(yè)。這就是在用“嘗試法”解決問(wèn)題。本題的試數(shù)范圍是3、4、6、7四個(gè)數(shù)，可由小至大，或由大至小依次填在中間的格中，按“橫行、豎列三個(gè)數(shù)相加都得14”的要求來(lái)逐個(gè)嘗試。                          如果中間的格中填3，則豎列下面的一格應(yīng)填多少呢？因?yàn)?4-5-3=6，所以豎列下面的一格中應(yīng)填6（圖2-2）。下面就要把剩下的4、7，分別填入橫行左右的兩個(gè)格中（圖2-3）。把橫行格中的4、3、7三個(gè)數(shù)加起來(lái)，得14，合乎題目要求。如果中間一格填4、或填6、7都不合乎題目的要求。所以本題的答案是圖2-3或圖2-4。例2 把1、2、311各數(shù)填在圖2-5的方格里，使每一橫行、每一豎行的數(shù)相加都等于18。（教科書(shū)第四冊(cè)第57頁(yè)的思考題，適于二年級(jí)程度）解：圖2-5中有11個(gè)格，正好每一格填寫(xiě)一個(gè)數(shù)。圖2-6中寫(xiě)有A、B、C的三個(gè)格中的三個(gè)數(shù)，既要參加橫向的運(yùn)算，又要參加縱向的運(yùn)算，就是說(shuō)這三個(gè)數(shù)都要被用兩次。因此，確定A、B、C這三個(gè)數(shù)是解此題的關(guān)鍵。                     因?yàn)?11之中中間的三個(gè)數(shù)是5、6、7，所以，我們以A、B、C分別為5、6、7開(kāi)始嘗試（圖2-7）。以6為中心嘗試，看6上、下兩個(gè)格中應(yīng)填什么數(shù)。因?yàn)?8-6=12，所以6上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是12?？紤]6已是111之中中間的數(shù)，那么6上、下兩格中的數(shù)應(yīng)是111之中兩頭的數(shù)。再考慮6上面的數(shù)還要與5相加，6下面的數(shù)還要與7相加，5比7小，題中要求是三個(gè)數(shù)相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1（圖2-8）。6+11+1=18看圖2-8。6上面的數(shù)是11，11左鄰的數(shù)是5，18-11-5=2，所以5左鄰的數(shù)是2（圖2-9）。再看圖2-8。6下面的數(shù)是1，1右鄰的數(shù)是7，18-1-7=10，所以7右鄰的數(shù)是10（圖2-9）?，F(xiàn)在111之中只剩下3、4、8、9這四個(gè)數(shù)，圖2-9中也只剩下四個(gè)空格。在5的上、下，在7的上、下都應(yīng)填什么數(shù)呢？                     因?yàn)?8-5=13，所以5上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是13，3、4、8、9這四個(gè)數(shù)中，只有4+9=13，所以在5的上、下兩格中應(yīng)填9與4（圖2-10）。看圖2-10。因?yàn)?左鄰的數(shù)是4，18-4-6=8，所以6右鄰的數(shù)是8。因?yàn)?8-7-8=3，并且1-11的數(shù)中，只剩下3沒(méi)有填上，所以在7下面的格中應(yīng)填上3。圖2-10是填完數(shù)字的圖形。*例3 在9只規(guī)格相同的手鐲中混有1只較重的假手鐲。在一架沒(méi)有砝碼的天平上，最多只能稱兩次，你能把假手鐲找出來(lái)嗎？（適于三年級(jí)程度）解：先把9只手鐲分成A、B、C三組，每組3只。把A、B兩組放在天平左右兩邊的秤盤(pán)上，如果平衡，則假的1只在C組里；若不平衡，則哪組較重，假的就在哪組里。再把有假手鐲的那組中的兩只分別放在天平的左右秤盤(pán)上。如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，較重的那只是假的。*例4 在下面的15個(gè)8之間的任何位置上，添上+、-、×、÷符號(hào)，使得下面的算式成立。（適于三年級(jí)程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986解：先找一個(gè)接近1986的數(shù)，如：8888÷8+888=1999。1999比1986大13。往下要用剩下的7個(gè)8經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)算得出一個(gè)等于13的算式呢？88÷8=11，11與13接近，只差2。往下就要看用剩下的4個(gè)8經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)算等于2。8÷8+8÷8=2。把上面的思路組合在一起，得到下面的算式：8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986例5 三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是120，求這三個(gè)數(shù)。（適于四年級(jí)程度）解：假設(shè)這三個(gè)數(shù)是2、3、4，則：2×3×4=2424120，這三個(gè)數(shù)不是2、3、4；假設(shè)這三個(gè)數(shù)是3、4、5，則：3×4×56060120，這三個(gè)數(shù)不是3、4、5；假設(shè)這三個(gè)數(shù)是4、5、6，則：4×5×6=1204、5、6的積正好是120，這三個(gè)數(shù)是4、5、6。例6 在下面式子里的適當(dāng)位置上加上括號(hào)，使它們的得數(shù)分別是47、75、23、35。（適于四年級(jí)程度）（1）7×9+12÷3-247（2）7×9+12÷3-2=75（3）7×9+12÷3-2=23（4）7×9+12÷3-2=35解：本題按原式的計(jì)算順序是先做第二級(jí)運(yùn)算，再做第一級(jí)運(yùn)算，即先做乘除法而后做加減法，結(jié)果是：7×9+12÷3-2=63+4-2=65“加上括號(hào)”的目的在于改變?cè)瓉?lái)的計(jì)算順序。由于此題加中括號(hào)還是加小括號(hào)均未限制，因此解本題的關(guān)鍵在于加寫(xiě)括號(hào)的位置?？梢詮募訉?xiě)一個(gè)小括號(hào)想起，然后再考慮加寫(xiě)中括號(hào)。如：（1）7×7=49，再減2就是47。這里的第一個(gè)數(shù)7是原算式中的7，要減去的2是原算式等號(hào)前的數(shù)，所以下面應(yīng)考慮能否把9+12÷3通過(guò)加括號(hào)后改成得7的算式。經(jīng)過(guò)加括號(hào)，（9+12）÷3=7，因此：7×（9+12）÷3-2=47因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)乘以兩個(gè)數(shù)的商，可以用這個(gè)數(shù)乘以被除數(shù)再除以除數(shù)，所以本題也可以寫(xiě)成：7×（9+12）÷3-2=47（2）7×11=77，再減2就得75。這里的7是原算式中的第一個(gè)數(shù)，要減去的2是等號(hào)前面的數(shù)。下面要看9+12÷3能不能改寫(xiě)成得11的算式。經(jīng)嘗試9+12÷3不能改寫(xiě)成得11的算式，所以不能沿用上一道題的解法。7×9+12得75，這里的7、9、12就是原式中的前三個(gè)數(shù)，所以只要把3-2用小括號(hào)括起來(lái)，使7×9+12之和除以1，問(wèn)題就可解決。由此得到：（7×9+12）÷（3-2）=75因?yàn)椋?-2）的差是1，所以根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)，可以先把兩個(gè)加數(shù)分別除以這個(gè)數(shù)，然后把兩個(gè)商相加”這一運(yùn)算規(guī)則，上面的算式又可以寫(xiě)成：7×9+12÷（3-2）=75在上面的這個(gè)算式中，本應(yīng)在7×9的后面寫(xiě)上“÷（3-2）”，因?yàn)槿魏螖?shù)除以1等于這個(gè)數(shù)本身，為了適應(yīng)題目的要求，不在7×9的后寫(xiě)出“÷（3-2）”。（3）25-2=23，這個(gè)算式中，只有2是原算式等號(hào)前的數(shù)，只要把7×9+12÷3改寫(xiě)成得25的算式，問(wèn)題就可解決。又因?yàn)?×9+12=75，75÷3=25，所以只要把7×9+12用小括號(hào)括起來(lái)，就得到題中所求了。（7×9+12）÷3-2=23（4）7×5=35， 7是原算式中的第一個(gè)數(shù)，原算式中的 9+12÷3-2能否改寫(xiě)成得5的算式呢？因?yàn)?7-2=5，要是9+12÷3能改寫(xiě)成得7的算式就好了。經(jīng)改寫(xiě)為（9+12）÷3=7，因此問(wèn)題得到解決。題中要求的算式是：7×（9+12）÷3-2=35*例7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天數(shù)比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他倆共剪了112只羊的羊毛，兩人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪了幾天羊毛？（適于四年級(jí)程度）解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛計(jì)算，一共剪的天數(shù)是：112÷14=8（天）因?yàn)橥趺髅刻旒?0只，李平每天剪12只，一共剪了112只，兩人合起來(lái)共剪了8天，并且李平剪的天數(shù)多，所以假定李平剪了5天。則：12×5+20×（8-5）=120（只）120112，李平不是剪了5天，而是剪的天數(shù)多于5天。假定李平剪了6天，則：12×6+20×（8-6）=112（只）所以按李平剪6天計(jì)算，正滿足題中條件。答：李平剪了6天。*例8 一名學(xué)生讀一本書(shū)，用一天讀80頁(yè)的速度，需要5天讀完，用一天讀90頁(yè)的速度，需要4天讀完?，F(xiàn)在要使每天讀的頁(yè)數(shù)跟能讀完這本書(shū)的天數(shù)相等，每天應(yīng)該讀多少頁(yè)？（適于五年級(jí)程度）解：解這道題的關(guān)鍵是要求出一本書(shū)的總頁(yè)數(shù)。因?yàn)槊刻熳x的頁(yè)數(shù)乘以讀的天數(shù)等于一本書(shū)的總頁(yè)數(shù)，又因?yàn)槊刻熳x的頁(yè)數(shù)與讀完此書(shū)的天數(shù)相等，所以知道了總頁(yè)數(shù)就可以解題了。根據(jù)“用一天讀80頁(yè)的速度，需要5天讀完”，是否能夠認(rèn)為總頁(yè)數(shù)就是 80×5=400（頁(yè)）呢？不能。因?yàn)?天不一定每天都讀80頁(yè)，所以只能理解為：每天讀80頁(yè)，讀了4天還有余下的，留到第五天才讀完。這也就是說(shuō)，這本書(shū)超過(guò)了80×4=320（頁(yè)），最多不會(huì)超過(guò)：90×4=360（頁(yè)）根據(jù)以上分析，可知這本書(shū)的頁(yè)數(shù)在321360頁(yè)之間。知道總頁(yè)數(shù)在這個(gè)范圍之內(nèi)，往下就不難想到什么數(shù)自身相乘，積在321360之間。因?yàn)?7×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321360之間，所以只有每天讀18頁(yè)才符合題意，18天看完，全書(shū)324頁(yè)。答：每天應(yīng)該讀18頁(yè)。*例9 一個(gè)數(shù)是5個(gè)2，3個(gè)3，2個(gè)5，1個(gè)7的連乘積。這個(gè)數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù)。這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是幾？（適于六年級(jí)程度）解：兩位數(shù)按從大到小的順序排列為：99、98、97、9611、10以上兩位數(shù)分解后，它的質(zhì)因數(shù)只能是2、3、5、7，并且在它的質(zhì)因數(shù)分解中2的個(gè)數(shù)不超過(guò)5，3的個(gè)數(shù)不超過(guò)3，5的個(gè)數(shù)不超過(guò)2，7的個(gè)數(shù)不超過(guò)1。經(jīng)嘗試，99不符合要求，因?yàn)樗匈|(zhì)因數(shù)11；98的分解式中有兩個(gè)7，也不符合要求；質(zhì)數(shù)97當(dāng)然更不會(huì)符合要求。而，96=2×2×2×2×2×3所以在這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。答略。*例10 從一個(gè)油罐里要稱出6千克油來(lái)，但現(xiàn)在只有兩個(gè)桶，一個(gè)能容4千克，另一個(gè)能容9千克。求怎樣才能稱出這6千克油？（適于六年級(jí)程度）解：這道題單靠計(jì)算不行，我們嘗試一些做法，看能不能把問(wèn)題解決。已知大桶可裝9千克油，要稱出6千克油，先把能容9千克油的桶倒?jié)M，再設(shè)法倒出9千克油中的3千克，為達(dá)到這一目的，我們應(yīng)使小桶中正好有1千克油。怎樣才能使小桶里裝1千克油呢？（1）把能容9千克油的大桶倒?jié)M油。（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩下1千克油。（5）把小桶中現(xiàn)存的4千克油倒回油罐。此時(shí)油罐外，只有大桶里有1千克油。（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。（7）往大桶倒?jié)M油。（8）從大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒?jié)M。（9）大桶里剩下6千克油。第三講 列舉法解應(yīng)用題時(shí)，為了解題的方便，把問(wèn)題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來(lái)加以分析、解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問(wèn)題的目的。這種分析、解決問(wèn)題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。 用列舉法解應(yīng)用題時(shí)，往往把題中的條件以列表的形式排列起來(lái)，有時(shí)也要畫(huà)圖。例1 一本書(shū)共100頁(yè)，在排頁(yè)碼時(shí)要用多少個(gè)數(shù)字是6的鉛字？（適于三年級(jí)程度）解：把個(gè)位是6和十位是6的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái)，數(shù)一數(shù)。個(gè)位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個(gè)。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個(gè)。10+10=20（個(gè)）答：在排頁(yè)碼時(shí)要用20個(gè)數(shù)字是6的鉛字。*例2 從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過(guò)B市到C市有幾種走法？（適于三年級(jí)程度）解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來(lái)。第一種走法：A B C第二種走法：A B C第三種走法：A B C第四種走法：A B C第五種走法：A B C第六種走法：A B C答：從A市經(jīng)過(guò)B市到C市共有6種走法。*例3 9137=1001425=把+、-、×、÷四種運(yùn)算符號(hào)分別填在適當(dāng)?shù)膱A圈中（每種運(yùn)算符號(hào)只能用一次），并在長(zhǎng)方形中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個(gè)等式都成立。這時(shí)長(zhǎng)方形中的數(shù)是幾？（適于四年級(jí)程度）解：把+、-、×、÷四種運(yùn)算符號(hào)填在四個(gè)圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一討論怎樣填會(huì)特別麻煩。如果用些簡(jiǎn)單的推理，排除不可能的填法，就能使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解答。先看第一個(gè)式子：9137=100如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)填上“÷”號(hào)，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分?jǐn)?shù)；如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)僅填“+”、“-”號(hào)，等式右端得出的數(shù)也小于100，所以在兩個(gè)圓圈內(nèi)不能同時(shí)填“÷”號(hào)，也不能同時(shí)填“+”、“-”號(hào)。要是在等式的一個(gè)圓圈中填入“×”號(hào)，另一個(gè)圓圈中填入適當(dāng)?shù)姆?hào)就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未湊出100。如果在兩個(gè)圈中分別填入“+”和“×”號(hào)，就會(huì)湊出100了。9+13×7=100再看第二個(gè)式子：1425=上面已經(jīng)用過(guò)四個(gè)運(yùn)算符號(hào)中的兩個(gè)，只剩下“÷”號(hào)和“-”號(hào)了。如果在第一個(gè)圓圈內(nèi)填上“÷”號(hào)， 14÷2得到整數(shù)，所以：14÷2-5=2即長(zhǎng)方形中的數(shù)是2。*例4   印刷工人在排印一本書(shū)的頁(yè)碼時(shí)共用1890個(gè)數(shù)碼，這本書(shū)有多少頁(yè)？（適于四年級(jí)程度）解：（1）數(shù)碼一共有10個(gè)：0、1、28、9。0不能用于表示頁(yè)碼，所以頁(yè)碼是一位數(shù)的頁(yè)有9頁(yè)，用數(shù)碼9個(gè)。（2）頁(yè)碼是兩位數(shù)的從第10頁(yè)到第99頁(yè)。因?yàn)?9-9=90，所以，頁(yè)碼是兩位數(shù)的頁(yè)有90頁(yè)，用數(shù)碼：2×90=180（個(gè)）（3）還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701（個(gè)）（4）因?yàn)轫?yè)碼是三位數(shù)的頁(yè)，每頁(yè)用3個(gè)數(shù)碼，100頁(yè)到999頁(yè)，999-99=900，而剩下的1701個(gè)數(shù)碼除以3時(shí)，商不足600，即商小于900。所以頁(yè)碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個(gè)數(shù)碼可以排多少頁(yè)。1701÷3=567（頁(yè)）（5）這本書(shū)的頁(yè)數(shù)：9+90+567=666（頁(yè)）答略。*例5 用一根80厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬都要是5的倍數(shù)。哪一種方法圍成的長(zhǎng)方形面積最大？（適于四年級(jí)程度）解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應(yīng)將符合條件的圍法一一列舉出來(lái)，然后加以比較。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是80厘米，所以長(zhǎng)與寬的和是40厘米。列表3-1：表3-1表3-1中，長(zhǎng)、寬的數(shù)字都是5的倍數(shù)。因?yàn)轭}目要求的是哪一種圍法的長(zhǎng)方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應(yīng)舍去。前三種圍法的長(zhǎng)方形面積分別是：35×5=175（平方厘米）30×10=300（平方厘米）25×15=375（平方厘米）答：當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是25厘米，寬是15厘米時(shí)，長(zhǎng)方形的面積最大。例6 如圖3-2，有三張卡片，每一張上寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字1、2、3，從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排列起來(lái)，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)。請(qǐng)將其中的質(zhì)數(shù)都寫(xiě)出來(lái)。（適于五年級(jí)程度）解：任意抽一張，可得到三個(gè)一位數(shù)：1、2、3，其中2和3是質(zhì)數(shù)；任意抽兩張排列，一共可得到六個(gè)不同的兩位數(shù)：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是質(zhì)數(shù)；三張卡片可排列成六個(gè)不同的三位數(shù)，但每個(gè)三位數(shù)數(shù)碼的和都是1+2+3=6，即它們都是3的倍數(shù)，所以都不是質(zhì)數(shù)。綜上所說(shuō)，所能得到的質(zhì)數(shù)是2、3、13、23、31，共五個(gè)。*例7 在一條筆直的公路上，每隔10千米建有一個(gè)糧站。一號(hào)糧站存有10噸糧食，2號(hào)糧站存有20噸糧食，3號(hào)糧站存有30噸糧食，4號(hào)糧站是空的，5號(hào)糧站存有40噸糧食?，F(xiàn)在要把全部糧食集中放在一個(gè)糧站里，如果每噸1千米的運(yùn)費(fèi)是0.5元，那么糧食集中到第幾號(hào)糧站所用的運(yùn)費(fèi)最少（圖3-3）？（適于五年級(jí)程度）解：看圖3-3，可以斷定糧食不能集中在1號(hào)和2號(hào)糧站。下面將運(yùn)到3號(hào)、4號(hào)、5號(hào)糧站時(shí)所用的運(yùn)費(fèi)一一列舉，并比較。（1）如果運(yùn)到3號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）=100+100+400=600（元）（2）如果運(yùn)到4號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10=150+200+150+200=700（元）（3）如果運(yùn)到5號(hào)糧站，所用費(fèi)用是：0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）=200+300+300=800（元）800700600答：集中到第三號(hào)糧站所用運(yùn)費(fèi)最少。*例8 小明有10個(gè)1分硬幣，5個(gè)2分硬幣，2個(gè)5分硬幣。要拿出1角錢(qián)買(mǎi)1支鉛筆，問(wèn)可以有幾種拿法？用算式表達(dá)出來(lái)。（適于五年級(jí)程度）解：（1）只拿出一種硬幣的方法：全拿1分的：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）全拿2分的：2+2+2+2+2=1（角）全拿5分的：5+5=1（角）只拿出一種硬幣，有3種方法。（2）只拿兩種硬幣的方法：拿8枚1分的，1枚2分的：1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）拿6枚1分的，2枚2分的：1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）拿4枚1分的，3枚2分的：1+1+1+1+2+2+2=1（角）拿2枚1分的，4枚2分的：1+1+2+2+2+2=1（角）拿5枚1分的，1枚5分的：1+1+1+1+1+5=1（角）只拿出兩種硬幣，有5種方法。（3）拿三種硬幣的方法：拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：1+1+1+2+5=1（角）拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：1+2+2+5=1（角）拿出三種硬幣，有2種方法。共有：3+5+2=10（種）答：共有10種拿法。*例9 甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P(pán)。到現(xiàn)在為止，甲賽了4盤(pán)，乙賽了3盤(pán)，丙賽了2盤(pán)，丁賽了1盤(pán)。問(wèn)小強(qiáng)賽了幾盤(pán)？（適于五年級(jí)程度）解：作表3-2。表3-2 甲已經(jīng)賽了4盤(pán)，就是甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)各賽了一盤(pán)，在甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)相交的那些格里都打上；乙賽的盤(pán)數(shù)，就是除了與甲賽的那一盤(pán)，又與丙和小強(qiáng)各賽一盤(pán)，在乙與丙、小強(qiáng)相交的那兩個(gè)格中都打上；丙賽了兩盤(pán)，就是丙與甲、乙各賽一盤(pán)，打上；丁與甲賽的那一盤(pán)也打上。丁未與乙、丙、小強(qiáng)賽過(guò)，在丁與乙、丙與小強(qiáng)相交的格中都畫(huà)上圈。根據(jù)條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強(qiáng)與甲、乙各賽一盤(pán)，未與丙、丁賽，共賽2盤(pán)。答：小強(qiáng)賽了2盤(pán)。*例10 商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買(mǎi)9千克餅干，為了便于攜帶要求不開(kāi)箱。營(yíng)業(yè)員有多少種發(fā)貨方式？（適于五年級(jí)程度）解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。表3-3答：不開(kāi)箱有7種發(fā)貨方式。*例11 運(yùn)輸隊(duì)有30輛汽車(chē)，按130的編號(hào)順序橫排停在院子里。第一次陸續(xù)開(kāi)走的全部是單號(hào)車(chē)，以后幾次都由余下的第一輛車(chē)開(kāi)始隔一輛開(kāi)走一輛。到第幾次時(shí)汽車(chē)全部開(kāi)走？最后開(kāi)走的是第幾號(hào)車(chē)？（適于五年級(jí)程度）解：按題意畫(huà)出表3-4列舉各次哪些車(chē)開(kāi)走。表3-4從表3-4中看得出，第三次開(kāi)走后剩下的是第8號(hào)、16號(hào)、24號(hào)車(chē)。按題意，第四次8號(hào)、24號(hào)車(chē)開(kāi)走。到第五次時(shí)汽車(chē)全部開(kāi)走，最后開(kāi)走的是第16號(hào)車(chē)。答：到第五次時(shí)汽車(chē)全部開(kāi)走，最后開(kāi)走的是第16號(hào)車(chē)。*例12 在甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放大米，甲倉(cāng)存90袋，乙倉(cāng)存50袋，甲倉(cāng)每次運(yùn)出12袋，乙倉(cāng)每次運(yùn)出4袋。運(yùn)出幾次后，兩倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等？（適于五年級(jí)程度）解：根據(jù)題意列表3-5。表3-5從表3-5可以看出，原來(lái)甲乙兩倉(cāng)庫(kù)所存大米相差40袋；第一次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米袋數(shù)相等。40-32=832-24=824-16=8從這里可以看出，每運(yùn)走一次，兩倉(cāng)庫(kù)剩下大米袋數(shù)的相差數(shù)就減少8袋。由此可以看出，兩倉(cāng)庫(kù)原存大米袋數(shù)的差，除以每次運(yùn)出的袋數(shù)差就得出運(yùn)幾次后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等。（90-50）÷（12-4）=5（次）答：運(yùn)出5次后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等。*例13 有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組。這時(shí)，三組的人數(shù)一樣多。問(wèn)原來(lái)各組有多少個(gè)小朋友？（適于五年級(jí)程度）解：三個(gè)小組共72人，第三次并入后三個(gè)小組人數(shù)相等，都是72÷3=24（人）。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組時(shí)，第一組應(yīng)是24÷2=12（人），第三組應(yīng)是（24+12）=36（人），第二組人數(shù)仍為24人；在第二次第二組未把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組之前，第三組應(yīng)為36÷2=18（人），第二組應(yīng)為（24+18）=42（人），第一組人數(shù)仍是12人；在第一次第一組未把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組之前，第二組的人數(shù)應(yīng)為42÷2=21（人），第一組人數(shù)應(yīng)為12+21=33（人），第三組應(yīng)為18人。這33人、21人、18人分別為第一、二、三組原有的人數(shù)，列表3-6。表3-6答：第一、二、三組原有小朋友分別是33人、21人、 18人第四講 綜合法從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關(guān)系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關(guān)系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法叫做綜合法。 以綜合法解應(yīng)用題時(shí)，先選擇兩個(gè)已知數(shù)量，并通過(guò)這兩個(gè)已知數(shù)量解出一個(gè)問(wèn)題，然后將這個(gè)解出的問(wèn)題作為一個(gè)新的已知條件，與其它已知條件配合，再解出一個(gè)問(wèn)題一直到解出應(yīng)用題所求解的未知數(shù)量。運(yùn)用綜合法解應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)明確通過(guò)兩個(gè)已知條件可以解決什么問(wèn)題，然后才能從已知逐步推到未知，使問(wèn)題得到解決。這種思考方法適用于已知條件比較少，數(shù)量關(guān)系比較簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。例1 甲、乙兩個(gè)土建工程隊(duì)共同挖一條長(zhǎng)300米的水渠，4天完成任務(wù)。甲隊(duì)每天挖40米，乙隊(duì)每天挖多少米？（適于三年級(jí)程度）解：根據(jù)“甲、乙兩個(gè)土建工程隊(duì)共同挖一條長(zhǎng)300米的水渠”和“4天完成任務(wù)”這兩個(gè)已知條件，可以求出甲乙兩隊(duì)每天共挖水渠多少米（圖4-1）。300÷4=75（米）根據(jù)“甲、乙兩隊(duì)每天共挖水渠75米”和“甲隊(duì)每天挖40米”這兩個(gè)條件，可以求出乙隊(duì)每天挖多少米（圖4-1）。75-40=35（米）綜合算式：300÷4-40=75-40=35（米）答：乙隊(duì)每天挖35米。例2 兩個(gè)工人排一本39500字的書(shū)稿。甲每小時(shí)排3500字，乙每小時(shí)排3000字，兩人合排5小時(shí)后，還有多少字沒(méi)有排？（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)甲每小時(shí)排3500字，乙每小時(shí)排3000字，可求出兩人每小時(shí)排多少字（圖4-2）。3500+3000=6500（字）根據(jù)兩個(gè)人每小時(shí)排6500字，兩人合排5小時(shí)，可求出兩人5小時(shí)已排多少字（圖4-2）。6500×5=32500（字）根據(jù)書(shū)稿是39500字，兩人已排32500字，可求出還有多少字沒(méi)有排（圖4-2）。39500-32500=7000（字）綜合算式：39500-（3500+3000）×5=39500-6500×5=39500-32500=7000（字）答略。例3 客車(chē)、貨車(chē)同時(shí)由甲、乙兩地出發(fā)，相向而行。客車(chē)每小時(shí)行60千米，貨車(chē)每小時(shí)行40千米，5小時(shí)后客車(chē)和貨車(chē)相遇。求甲、乙兩地之間的路程。（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)“客車(chē)每小時(shí)行60千米”和“貨車(chē)每小時(shí)行40千米”這兩個(gè)條件，可求出兩車(chē)一小時(shí)共行多少千米（圖4-3）。60+40=100（千米）根據(jù)“兩車(chē)一小時(shí)共行100千米”和兩車(chē)5小時(shí)后相遇，便可求出甲、乙兩地間的路程是多少千米（圖4-3）。100×5=500（千米）綜合算式：（60+40）×5=100×5=500（千米）答：甲、乙兩地間的路程是500千米。例4 一個(gè)服裝廠計(jì)劃做660套衣服，已經(jīng)做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，問(wèn)平均每天要做多少套？（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)“已經(jīng)做了5天，平均每天做75套”這兩個(gè)條件可求出已做了多少套（圖4-4）。75×5=375（套）根據(jù)“計(jì)劃做660套”和“已經(jīng)做了375套”這兩個(gè)條件，可以求出還剩下多少套（圖4-4）。660-375=285（套）再根據(jù)“剩下285套”和“剩下的要3天做完”，便可求出平均每天要做多少套（圖4-4）。285÷3=95（套）綜合算式：（660-75×5）÷3=285÷3=95（套）答略。例5 某裝配車(chē)間，甲班有20人，平均每人每天可做72個(gè)零件；乙班有24人，平均每人每天可做68個(gè)零件。如果裝一臺(tái)機(jī)器需要12個(gè)零件，那么甲、乙兩班每天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺(tái)機(jī)器？（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)“甲班有20人，平均每人每天可做72個(gè)零件”這兩個(gè)條件可求出甲班一天生產(chǎn)多少個(gè)零件（圖4-5）。72×20=1440（個(gè)）根據(jù)“乙班有24人，平均每天每人可做68個(gè)零件”這兩個(gè)條件可求出乙班一天生產(chǎn)多少個(gè)零件（圖4-5）。68×24=1632（個(gè)）根據(jù)甲、乙兩個(gè)班每天分別生產(chǎn)1440個(gè)、1632個(gè)零件，可以求出甲、乙兩個(gè)班一天共生產(chǎn)多少個(gè)零件（圖4-5）。1440+1632=3072（個(gè)）再根據(jù)兩個(gè)班一天共做零件3072個(gè)和裝一臺(tái)機(jī)器需要12個(gè)零件這兩條件，可求出兩個(gè)班一天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺(tái)機(jī)器。3072÷12=256（臺(tái)）綜合算式：（72×20+68×24）÷12=（1440+1632）÷12=3072÷12=256（臺(tái)）答略。例6 一個(gè)服裝廠計(jì)劃加工2480套服裝，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，還要加工多少天才能完成任務(wù)？（適于四年級(jí)程度）解：根據(jù)每天加工100套，加工20天，可求出已經(jīng)加工多少套（圖4-6）。100×20=2000（套）根據(jù)計(jì)劃加工2480套和加工了2000套，可求出還要加工多少套（圖4-6）。2480-2000=480（套）根據(jù)原來(lái)每天加工100套，現(xiàn)在每天多加工20套，可求出現(xiàn)在每天加工多少套（圖4-6）。100+20=120（套）根據(jù)還要加工480套，現(xiàn)在每天加工120套，可求出還要加工多少天（圖4-6）。48O÷120=4（天）綜合算式：（2480-100×20）÷（100+20）=480÷120=4（天）答略。剛開(kāi)始學(xué)習(xí)以綜合法解應(yīng)用題時(shí)，一定要畫(huà)思路圖，當(dāng)對(duì)綜合法的解題方法已經(jīng)很熟悉時(shí)，就可以不再畫(huà)思路圖，而直接解答應(yīng)用題了。解：此題先后出現(xiàn)了兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。=49.5（千克）答略。解：此題先后出現(xiàn)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量：“甲塊地產(chǎn)高粱的重量”和“乙塊地產(chǎn)高粱的重量”。將題中已知條件的順序變更一下：丙塊地產(chǎn)高粱450千克，丙塊地比乙條件，可求出乙塊地產(chǎn)高粱是：（這里乙塊地的產(chǎn)量是標(biāo)準(zhǔn)量1）（這里甲塊地的產(chǎn)量是標(biāo)準(zhǔn)量1）綜合算式：=546（千克）答略。第五講 分析法從求解的問(wèn)題出發(fā)，正確選擇所需要的兩個(gè)條件，依次推導(dǎo)，一直到問(wèn)題得到解決的解題方法叫分析法。用分析法解應(yīng)用題時(shí)，如果解題所需要的兩個(gè)條件，（或其中的一個(gè)條件）是未知的，就要分別求解找出這兩個(gè)（或一個(gè)）條件，一直到所需要的條件都是已知的為止。分析法適于解答數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題。例1 玩具廠計(jì)劃每天生產(chǎn)200件玩具，已經(jīng)生產(chǎn)了6天，共生產(chǎn)1260件。問(wèn)平均每天超過(guò)計(jì)劃多少件？（適于三年級(jí)程度）解：這道題是求平均每天超過(guò)計(jì)劃多少件。要求平均每天超過(guò)計(jì)劃多少件，必須具備兩個(gè)條件（圖5-1）：實(shí)際每天生產(chǎn)多少件；計(jì)劃每天生產(chǎn)多少件。計(jì)劃每天生產(chǎn)200件是已知條件。實(shí)際每天生產(chǎn)多少件，題中沒(méi)有直接告訴，需要求出來(lái)。要求實(shí)際每天生產(chǎn)多少件，必須具備兩個(gè)條件（圖5-1）：一共生產(chǎn)了多少件；已經(jīng)生產(chǎn)了多少天。這兩個(gè)條件都是已知的：一共生產(chǎn)了1260件；已經(jīng)生產(chǎn)了6天。分析到這里，問(wèn)題就得到解決了。此題分步列式計(jì)算就是：（1）實(shí)際每天生產(chǎn)多少件？1260÷6=210（件）（2）平均每天超過(guò)計(jì)劃多少件？210-200=10（件）綜合算式：1260÷6-200=210-200=10（件）例2 四月上旬，甲車(chē)間制造了257個(gè)機(jī)器零件，乙車(chē)間制造的機(jī)器零件是甲車(chē)間的2倍。四月上旬兩個(gè)車(chē)間共制造多少個(gè)機(jī)器零件？（適于三年級(jí)程度）解：要求兩個(gè)車(chē)間共制造多少個(gè)機(jī)器零件，必須具備兩個(gè)條件（圖5-2）：甲車(chē)間制造多少個(gè)零件；乙車(chē)間制造多少個(gè)零件。已知甲車(chē)間制造257個(gè)零件，乙車(chē)間制造多少個(gè)零件未知。下面需要把“乙車(chē)間制造多少個(gè)零件”作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。這兩個(gè)條件（圖5-2）是：甲車(chē)間制造多少個(gè)零件；乙車(chē)間制造的零件是甲車(chē)間的幾倍。這兩個(gè)條件都是已知的：甲車(chē)間制造257個(gè)，乙車(chē)間制造的零件數(shù)是甲車(chē)間的2倍。分析到此，問(wèn)題就得到解決了。此題分步列式計(jì)算就是：（1）乙車(chē)間制造零件多少個(gè)？257×2=514（個(gè)）（2）兩個(gè)車(chē)間共制造零件多少個(gè)？257+514=771（個(gè)）綜合算式：257+257×2=257+514=771（個(gè)）答略。例3 某車(chē)間要生產(chǎn)180個(gè)機(jī)器零件，已經(jīng)工作了3天，平均每天生產(chǎn)20個(gè)。剩下的如果每天生產(chǎn)30個(gè)，還需要幾天才能完成？（適于四年級(jí)程度）解：要求還需要幾天才能完成，必須具備兩個(gè)條件（圖5-3）：還剩下多少個(gè)零件；每天生產(chǎn)多少個(gè)零件。在這兩個(gè)條件中，每天生產(chǎn)30個(gè)零件是已知條件，還剩多少個(gè)零件未知。先把“還剩多少個(gè)零件”作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。要算出還剩下多少個(gè)零件，必須具備的兩個(gè)條件（圖5-3）是：要生產(chǎn)多少個(gè)零件；已經(jīng)生產(chǎn)了多少個(gè)零件。要生產(chǎn)180個(gè)零件是已知條件，已經(jīng)生產(chǎn)多少個(gè)零件未知。然后把“已經(jīng)生產(chǎn)多少個(gè)零件”作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。要算出已生產(chǎn)多少個(gè)零件，必須知道的兩個(gè)條件（圖5-3）是：每天生產(chǎn)多少個(gè)零件；生產(chǎn)了幾天。這兩個(gè)條件題中都已經(jīng)給出：每天生產(chǎn)20個(gè)零件，生產(chǎn)了3天。分析到此，問(wèn)題就得到解決。   上面的思考過(guò)程，分步列式計(jì)算就是：（1）已經(jīng)生產(chǎn)了多少個(gè)零件？20×3=60（個(gè)）（2）剩下多少個(gè)零件？180-60=120（個(gè)）（3）還要幾天才能完成？120÷30=4（天）綜合算式：（180-20×3）÷30=（180-60）÷30=120÷30=4（天）答略。例4 王明買(mǎi)了24本筆記本和6支鉛筆，共花了9.60元錢(qián)。已知每支鉛筆0.08元，每本筆記本多少錢(qián)？（適于五年級(jí)程度）解：要算出每本筆記本多少錢(qián)，必須具備兩個(gè)條件（圖5-4）：買(mǎi)筆記本用了多少錢(qián)；買(mǎi)了多少本筆記本。從題中已知買(mǎi)了24本筆記本，買(mǎi)筆記本用的錢(qián)數(shù)未知。先把買(mǎi)筆記本用的錢(qián)數(shù)作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。要算出買(mǎi)筆記本用多少錢(qián)，必須知道的兩個(gè)條件（圖5-4）是：買(mǎi)筆記本、鉛筆共用多少錢(qián)；買(mǎi)鉛筆用多少錢(qián)。已知買(mǎi)筆記本、鉛筆共用9.60元，買(mǎi)鉛筆用去多少錢(qián)未知。然后找出“買(mǎi)鉛筆用多少錢(qián)”所需要的兩個(gè)條件。要算出買(mǎi)鉛筆用多少錢(qián)，必須知道的兩個(gè)條件（圖5-4）是：買(mǎi)多少支鉛筆；每支鉛筆多少錢(qián)。這兩個(gè)條件在題中都是已知的：買(mǎi)6支鉛筆，每支0.08元。分析到此，問(wèn)題就得到解決。此題分步列式計(jì)算就是：（1）買(mǎi)鉛筆用去多少元？0.08×6=0.48（元）（2）買(mǎi)筆記本用去多少元？9.60-0.48=9.12（元）（3）每本筆記本多少元？9.12÷24=0.38（元）列綜合算式計(jì)算：（9.60-0.08×6）÷24（9.60-0.48）÷24=9.12÷24=0.38（元）答：每本筆記本0.38元。例5 倉(cāng)庫(kù)里共有化肥2520袋，兩輛車(chē)同時(shí)往外運(yùn)，共運(yùn)30次，每次甲車(chē)運(yùn)51袋。每次甲車(chē)比乙車(chē)多運(yùn)多少袋？（適于五年級(jí)程度）解：求每次甲車(chē)比乙車(chē)多運(yùn)多少袋，必須具備兩個(gè)條件（圖5-5）：甲車(chē)每次運(yùn)多少袋；乙車(chē)每次運(yùn)多少袋。甲車(chē)每次運(yùn)51袋已知，乙車(chē)每次運(yùn)多少袋未知。先找出解答“乙車(chē)每次運(yùn)多少袋”所需要的兩個(gè)條件。要算出乙車(chē)每次運(yùn)多少袋，必須具備兩個(gè)條件（圖5-5）：兩車(chē)一次共運(yùn)多少袋；甲車(chē)一次運(yùn)多少袋。甲車(chē)一次運(yùn)51袋已知；兩車(chē)一次共運(yùn)多少袋是未知條件。然后把“兩車(chē)一次共運(yùn)多少袋”作為一個(gè)問(wèn)題，并找出解答這個(gè)問(wèn)題所需要的兩個(gè)條件。要算出兩車(chē)一次共運(yùn)多少袋，必須具備兩個(gè)條件（圖5-5）：一共有多少袋化肥；兩車(chē)共運(yùn)多少次。這兩個(gè)條件都是已知的：共有2520袋化肥，兩車(chē)共運(yùn)30次。分析到此，問(wèn)題就得到解決。此題分步列式計(jì)算就是：兩車(chē)一次共運(yùn)多少袋？2520÷30=84（袋）乙車(chē)每次運(yùn)多少袋？84-51=33（袋）每次甲車(chē)比乙車(chē)多運(yùn)多少袋？51-33=18（袋）綜合算式：51-（2520÷30-51）=51-33=18（袋）答略。*例6 把627.5千克梨裝在紙箱中，先裝7箱，每箱裝梨20千克，其余的梨每箱裝37.5千克。這些梨共裝多少箱？（適于五年級(jí)程度）解：要算出共裝多少箱，必須具備兩個(gè)條件（圖5-6）：先裝多少箱。后裝多少箱。