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1、編號：
時間：2021年x月x日
書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟
頁碼：第7頁 共7頁
《保險精算學》筆記：生命表函數(shù)與生命表構造
第一節(jié) 生命表函數(shù)
一、生存函數(shù)
1、? 定義：
2、? 概率意義：新生兒能活到 的概率
3、? 與分布函數(shù)的關系：
4、? 與密度函數(shù)的關系：
二、剩余壽命
1、定義：已經活到x歲的人（簡記 ），還能繼續(xù)存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)。
2、剩余壽命的分布函數(shù)
5、? ： ，
它的概率意義為： 將在未來的 年內去世的概率，簡記
3、剩余壽命的生存函數(shù)： ，
它的概率意義為： 能活過 歲的概率，簡記
2、
特別：
（1）
（2）
（3）
（4） ： 將在 歲與 歲之間去世的概率
4、? 整值剩余壽命
（1）定義： 未來存活的完整年數(shù)，簡記
（2）概率函數(shù)：
5、剩余壽命的期望與方差
（1）期望剩余壽命： 剩余壽命的期望值（均值），簡記
（2）剩余壽命的方差：
6、整值剩余壽命的期望與方差
（1）期望整值剩余壽命： 整值剩余壽命的期望值（均值），簡記
（2）整值剩余壽命的方差：
2
三、死亡效力
1、定義： 的人瞬時死亡率，記作
2、死亡效力與生存函數(shù)的關系
3、死亡效力與密度函數(shù)的關系
4、死亡效力表示
3、剩余壽命的密度函數(shù)
記 為剩余壽命 的分布函數(shù)， 為 的密度函數(shù)，則
第二節(jié) 生命表的構造
一、有關壽命分布的參數(shù)模型
1、de Moivre模型（1729）
2、Gompertz模型（1825）
3、Makeham模型（1860）
4、Weibull模型（1939）
二、生命表的起源
??????? 1、參數(shù)模型的缺點
????? ???（1）至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型的擬合效果不令人滿意。
（2）使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產生很大的誤差
（3）壽險中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生
4、命表擬合人類壽命的分布。
（4）在非壽險領域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。
2、生命表的起源
????????? （1）生命表的定義
根據已往一定時期內各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表.
（2）生命表的發(fā)展歷史
1662年,Jone Graunt,根據倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過《生命表的自然和政治觀察》。這是生命表的最早起源。
1693年，Edmund Halley,《根據Breslau城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計》，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。
（3）生命表
5、的特點
構造原理簡單、數(shù)據準確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）
??? 三、生命表的構造
1、原理
在大數(shù)定理的基礎上，用觀察數(shù)據計算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計頻率）
2、常用符號
（1）新生生命組個體數(shù)：
（2）年齡：
（3）極限年齡：
（4） 個新生生命能生存到年齡 的期望個數(shù)：
（5） 個新生生命中在年齡 與 之間死亡的期望個數(shù)：
特別，當 時，記作
（6） 個新生生命在年齡 與 區(qū)間共存活年數(shù)：
（7） 個新生生命中能活到年齡 的個體的剩余壽命總數(shù)：
四、選擇與終極生命表
1、選擇-終極生命構造的原因
6、
（1）需要構造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。
（2）需要構造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失
2、選擇-終極生命表的使用
第三節(jié) 有關分數(shù)年齡的假設
一、使用背景
生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時我們需要分數(shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數(shù)生存數(shù)據,選擇某種分數(shù)年齡的生存分布假定， 估計分數(shù)年齡的生存狀況
??? 二、基本原理
插值法
三、常用假定
1、均勻分布（Uniform Distribution）假定:(線形插值)
2、恒定死亡效力（Constant Force）假定（幾何插值）
3、Balducci假定（調和插值）
四、三個假定下的生命表函數(shù)
函數(shù)
均勻分布假定
恒定死亡效力假定
Balducci假定
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