蘭州大學(xué)2005年數(shù)學(xué)分析考研試題及解答

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蘭州大學(xué)2005年數(shù)學(xué)分析考研試題及解答 一、 判斷題 1 設(shè)數(shù)列數(shù)滿足：對(duì)任意正整數(shù)，，則收斂。 解 錯(cuò)。 例如：對(duì)，對(duì)任意正整數(shù)，就有 ， 但發(fā)散。 2 設(shè)在上Riemann可積，則在上一定有原函數(shù)。 解 錯(cuò)。 例如：，顯然在上可積，但不存在在上可導(dǎo)，且，，的函數(shù)，即在上不存在原函數(shù)。 3 設(shè)在區(qū)間上處處可導(dǎo)，則在上一定Riemann可積。 解 錯(cuò)。 例如：，顯然在上連續(xù)，在上可積， 在上處處可導(dǎo)， ， 但在上無(wú)界，在上不可積。 4 若二元函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)的所有方向?qū)?shù)都存在。 解 正確。已有的定理結(jié)論。 5 設(shè)積分收斂，是上的單調(diào)有界函數(shù)，則收斂。 解 正確。這就是著名的Abel判別法。 二 計(jì)算題。 1 求。 解 由， ， 及夾逼定理，知 。 2 求。 解 。 3 求級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)。 解 記，則，， 當(dāng)時(shí) ，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂； 當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散； 當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。 所以該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? ， 4 級(jí)數(shù)積分，其中為橢圓沿逆時(shí)針?lè)较颉? 解 ， ， 取任意小，，則 。 5 求，其中是平面中的曲線線繞軸所生成的旋轉(zhuǎn)曲面在的部分的外側(cè)。 解 ， ， 由高斯公式，得 。 3 敘述函數(shù)列在上不一致收斂到的分析定義，并用定義證明在上不一致收斂。 解 函數(shù)列在上不一致收斂到的分析定義：存在，對(duì)任意正整數(shù)，存在,使得 ， 在上不一致收斂。 事實(shí)上，， 而，所以在上不一致收斂。 4 設(shè)在上一致連續(xù)，在上連續(xù)，且。 證明：在上一致連續(xù)。 證明 令，則在上連續(xù)，又存在，所以在上一致連續(xù)，故在上一致連續(xù)。 5 設(shè)平面截三軸于三點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是三角形上一點(diǎn)，以為對(duì)角線，三坐標(biāo)平面為三面作一長(zhǎng)方體，試求其最大體積。 解 以為對(duì)角線，三坐標(biāo)平面為三面的長(zhǎng)方體體積 ， 其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，。 6 設(shè)是閉區(qū)間上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，記，假設(shè)且對(duì)，成立，證明：（1）是有限集；（2）中使的點(diǎn)的個(gè)數(shù)與的點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多相差1，即成立。 證明 （1）斷言對(duì)，存在，使得時(shí)，，事實(shí)上，由，知，存在，使得時(shí)，有，而，是有界閉集，有界是必然的。 因?yàn)?，閉性亦顯然，因?yàn)? 對(duì)，存在，，，，于是有，上述的開集族就覆蓋了有界閉集。 根據(jù)有限覆蓋定理，存在有限個(gè)開集，使得，而； （2）不妨設(shè)（1）中構(gòu)造的單增，即，斷言，事實(shí)上，不妨設(shè)，則因在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，而，任意，（否則，由連續(xù)函數(shù)介值定理，即導(dǎo)出矛盾）。明顯的，，又，所以。這樣，我們從第一個(gè)零點(diǎn)開始討論，知道是交替等于1或-1的， 故。 7．⑴解常微分方程； ⑵已知函數(shù)二次可導(dǎo)，且滿足，求。 解（1）由， ， ， ， 于是， ， （2）由， 得， ，， ， ， 易知，齊次方程的通解為。 容易驗(yàn)證是一個(gè)特解,， 通解， 再由初始條件，，可知，， 故原積分方程的解為。 6