立體幾何問題研究ppt課件

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立體幾何問題研究,1,一、點 、直線和平面的位置關系,立體幾何的基本元素點、線、面的相關位置和性質是研究空間圖形的基礎，它們是由希爾伯特公理體系為依據(jù)而推導得到的結果；,2,結合公理： 1、對于任意兩點，存在著過兩點的直線； 2、過不同兩點僅有一直線； 3、一直線上至少有兩點；至少有三點不同在一直線上； 4、過不在一直線上的三點必有一平面；每個平面上至少有一點； 5、過不在一直線上三點僅有一平面； 6、若一直線的兩點在一平面上，則此直線的所有點都在此平面上； 7、若兩平面有一公共點，則至少還有另一個公共點； 8、至少有四點不在一平面上；,3,公理1 如果一條直線上有兩點在一個平面上，則這條直線上的所有點都在此平面上； 公理2 如果兩個平面有一個公共點，那么它們就相交于過這點的一條直線； 公理3 經(jīng)過不在一條直線上的三點，有且僅有一個平面；,4,空間中兩條直線有異面、相交、平行三種關系 在空間中，通過已知直線外一點，有且僅有一條直線和已知直線平面。這和平面中是一樣的。 直線與平面的位置關系有：在平面上、相交、平行 通過平面外一點有無窮多條直線與已知平面平行； 通過直線外一點有無窮多個平面與已知直線平行，它們都通過與該直線平行的同一直線； 若一直線垂直于平面內的兩條相交直線，則必垂直于平面內的所有直線； 過一點和一直線垂直的平面有且僅有一個； 過一點而和一平面垂直的直線有且只有一條；,5,兩平面有兩種可能位置關系：相交于一直線、平行； 如果一平面內的兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行； 過平面外一點，有且僅有一個平面和已知平面平行； 垂直于同一直線的兩平面平行； 給定兩條異面直線，則有一對且只有一對平行平面存在通過其中一線而平行于另一線； 如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于這個平面； 如果一個平面通過另一個平面的一條垂線，那么它垂直于這個平面； 如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線，必垂直于另一個平面； 如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于這個平面。,6,直線、平面平行、垂直關系的對偶性：把命題中某一直線（平面）換以平面（直線），同時把與這一直線（平面）有關的平行（垂直）關系換以垂直（平行）關系，所得的命題與原命題同真?zhèn)巍?例： 命題1 通過空間一點能作且僅能作一直線b與已知直線a平行； 命題2 通過空間一點能作且僅能作一平面β與已知直線a垂直； 命題3 通過空間一點能作且僅能作一平面β與已知 平面α平行 命題2是命題1關于直線b的對偶命題；命題1稱為命題2關于平面β的對偶命題；命題3是命題2關于直線a的對偶命題；命題2稱為命題3關于平面α對偶命題。,7,三垂線定理 若平面上的直線垂直于斜線的射影，則它也垂直于斜線； 逆定理 若平面上的直線垂直于斜線，那么它也垂直于斜線上的射影； 平面α的斜線與其在α上的射影所成的角小于它跟α上任何其他直線間的角。,8,有公共邊緣的兩半平面構成二面角；從棱上任一點，在每一面上作垂直于棱的射線，這兩射線形成二面角的平面角。 兩條異面直線有唯一的一條公共垂直相交線； 兩異面直線的距離，即指它們的公垂線段的長度。,9,二、多面體,歐拉公式：設凸多面體的頂數(shù)為V，面數(shù)為F，棱數(shù)為E，則V+F-E=2 若一凸多面體各面是全等的正多邊形，且各二面角是相等，則稱為正多面體 正多面體至多有五種（4、6、8、12、20）,10,三、例題,例1 如圖，過正方形ABCD的頂點A作PA⊥平在ABCD，設PA=AB=a (1)求二面角B-PC-D的大小；（2）求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小,11,例2 如圖，在長方形ABCD中，AB=a,BC=b(ab),把這個長方形沿對角線AC折成等于φ的二面角，求這時頂點B，D間的距離。,12,例3 如圖， 已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，B1C1=A1C1，M，N分別是A1B1，AB的中點，求證：平面AMC1∥平面NB1C,13,例4 已知正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，M，N分別為對角線AE和BD上的點，且AM=DN，求證：MN ∥平面BFC,14,例5 已知直三棱柱A1B1C1-ABC中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B， M，N分別是A1B1，AB的中點，求證： A1B ⊥B1C,15,例6 已知直線l與平面α內的三條共點直線所成的角相等，求證：l⊥ α,16,例7 在直三棱柱ABC- A1B1C1 ABC- A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=Rt ∠,側棱AA1=2，D，E分別是CC1和A1B的中點，E在平面ABD上的射影是三角形ABD的重心G,17,例8 在棱長為a的正方體A1B1C1D1-ABCD中， A1B1C1D1-ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和BC的中點，（1）求二面角B-FB1-E的大??； （2）求點D到平面B1EF的距離；（3）在棱DD1上是否存在一點M，使BM⊥平面B1EF？若能，試確定點M的位置，否則，請說明理由。,18,19,例9 已知ABCD是邊長為4的正方形，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，GC垂直于平面ABCD，且GC=2，求點B到平面EFG的距離。,20,21,22,例10 已知平行六面體 A1B1C1D1-ABCD的底面ABCD是菱形，且∠C1CB= ∠C1CD= ∠BCD=600。當CD/CD1的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD？,23,