八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第1章 三角形的證明 1.3 線段的垂直平分線 第1課時(shí) 線段的垂直平分線課件 北師大版.ppt

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1.3線段的垂直平分線,第一章三角形的證明,第1課時(shí)線段的垂直平分線,1.理解線段垂直平分線的概念；2.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；（重點(diǎn)）3.能運(yùn)用線段的垂直平分線的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行證明或計(jì)算.（難點(diǎn)）,學(xué)習(xí)目標(biāo),導(dǎo)入新課,問題引入,某區(qū)政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等？,A,B,C,觀察：已知點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線l對(duì)稱，如果線段AA′沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90，即直線l既平分線段AA′，又垂直線段AA′.,,●,●,,l,A,A′,D,2,1,(A),講授新課,我們把垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.,由上可知：線段是軸對(duì)稱圖形，線段的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.,知識(shí)要點(diǎn),如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點(diǎn)，請(qǐng)你量一量線段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的長(zhǎng)，你能發(fā)現(xiàn)什么？請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．,探究發(fā)現(xiàn),P1A____P1B,P2A____P2B,P3A____P3B,＝,＝,＝,作關(guān)于直線l的軸反射（即沿直線l對(duì)折），由于l是線段AB的垂直平分線，因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合.從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.,活動(dòng)探究,猜想：點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離分別相等．,命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.,由此你能得到什么結(jié)論？,你能驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？,如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA=PB．,證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．,驗(yàn)證結(jié)論,微課--證明線段垂直平分線的性質(zhì),線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.,線段垂直平分線的性質(zhì)定理：,總結(jié)歸納,例1如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長(zhǎng)為35cm，則BC的長(zhǎng)為(),A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm,典例精析,C,解析：∵△DBC的周長(zhǎng)為BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm).故選C.,方法歸納：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長(zhǎng)．,練一練：1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長(zhǎng)為（）A.6B.5C.4D.3,2.如圖②所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E,△BCE的周長(zhǎng)等于18cm,則AC的長(zhǎng)是.,B,10cm,圖①,定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.,逆命題,到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.,它是真命題嗎？你能證明嗎？,想一想：如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？,記得要分點(diǎn)P在線段AB上及線段AB外兩種情況來(lái)討論,（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，,∵PA=PB，,∴點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，,顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上；,（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí)，如右圖所示.,∵PA=PB，,∴△PAB是等腰三角形.,過頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，,∴底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.,即PC⊥AB，且AC=BC.,∴直線PC是線段AB的垂直平分線，,此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.,微課--線段垂直平分線的逆命題,到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.,線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：,應(yīng)用格式：∵PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．,作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.,,總結(jié)歸納,例2：已知：如圖△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.,證明：∵AB=AC，∴A在線段BC的垂直平分線（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線.∴直線AO是線段BC的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.,利用三角形的全等證明,證明：延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO（SSS）.∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，∴AO⊥BC．∵OB＝OC，OD＝OD，∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.∴BD＝CD.∴直線AO垂直平分線段BC.,試一試：已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.,證明：,∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,,∴DE=CE(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）.,∴OE是CD的垂直平分線.,當(dāng)堂練習(xí),,1.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB；C．AB與CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB．,A,2.已知線段AB，在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點(diǎn)的組合共有種.,無(wú)數(shù),3.下列說法：①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；④若EA＝EB，則經(jīng)過點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有（填序號(hào)）.,①②③,4.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連接BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長(zhǎng)是cm.,16,5.已知：如圖，點(diǎn)C，D是線段AB外的兩點(diǎn)，且AC=BC，AD=BD，AB與CD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO.,證明：∵AC=BC，AD=BD，,∴CD為線段AB的垂直平分線.,又∵AB與CD相交于點(diǎn)O，,課堂小結(jié),線段的垂直平分的性質(zhì)和判定,性質(zhì),到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上,,內(nèi)容,,判定,內(nèi)容,作用,,線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,作用,見垂直平分線，得線段相等,判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上,