2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)課件 新人教A版選修2-3.ppt

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第一章,計(jì)數(shù)原理,1．3二項(xiàng)式定理,1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),自主預(yù)習(xí)學(xué)案,,楊輝回到家后，反復(fù)琢磨，終于發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，并總結(jié)成四句話：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出．”就是說：先把1～9九個(gè)數(shù)依次斜排，再把上1下9兩數(shù)對調(diào)，左7右3兩數(shù)對調(diào)，最后把2,4,6,8向外面挺出，這樣三階幻方填好了．楊輝還系統(tǒng)研究了四階幻方至十階幻方，并且他還發(fā)現(xiàn)了著名的楊輝三角．那么，楊輝三角與二項(xiàng)式定理中的二項(xiàng)展開式有何關(guān)系呢？,相等,和,等距離,2n,2n－1,1．二項(xiàng)式(x－1)n的奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是64，則n等于()A．5B．6C．7D．8[解析]二項(xiàng)式(a＋b)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，∴2n－1＝64，∴n＝7.故選C．,C,2．(2017全國卷Ⅲ理，4)(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A．－80B．－40C．40D．80,C,3．已知(1＋2x)n的展開式中所有系數(shù)之和等于729，那么這個(gè)展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是()A．56B．160C．80D．180,B,96,互動探究學(xué)案,命題方向1?與楊輝三角有關(guān)的問題,如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10，…，記這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，求S19．,典例1,,[思路分析]由數(shù)列的項(xiàng)在楊輝三角中的位置，將項(xiàng)還原為二項(xiàng)式系數(shù)，然后結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)求和．,『規(guī)律總結(jié)』解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路,,,,〔跟蹤練習(xí)1〕在“楊輝三角”中，從第2行開始，每一個(gè)數(shù)都是它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，它開頭幾行如圖所示．則在“楊輝三角”中第______行會出現(xiàn)三個(gè)相鄰的數(shù)，其比為3∶4∶5．,62,,命題方向2?求二項(xiàng)展開式中系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),(1＋2x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)．,典例2,,命題方向3?有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)和展開式的系數(shù)和的問題,[思路分析]用賦值法求各系數(shù)的和．,典例3,,〔跟蹤練習(xí)3〕(2016深圳高二檢測)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7．求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|．[解析]令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1①令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37②,(1)二項(xiàng)式展開時(shí)，在指數(shù)不太大的情況下，直接利用楊輝三角展開比較簡便．由于楊輝三角僅僅反映了二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律，因此還應(yīng)該理解并掌握指數(shù)變化的規(guī)律．如(a＋b)6的展開式中a的指數(shù)，由首項(xiàng)的6次逐項(xiàng)下降為0次，b的指數(shù)由首項(xiàng)的0次逐項(xiàng)上升為6次，各項(xiàng)中a，b的指數(shù)和為6，恰好等于二項(xiàng)式的指數(shù)．(2)二項(xiàng)式系數(shù)僅指項(xiàng)的組合數(shù)，解決有關(guān)二項(xiàng)式系數(shù)的問題時(shí)，往往運(yùn)用組合數(shù)公式．,楊輝三角的應(yīng)用,如圖所示，在楊輝三角中，猜想第n條和第(n＋1)條斜線上各數(shù)之和與第(n＋2)條斜線上各數(shù)之和的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．,典例4,,[思路分析]利用“先從特殊到一般，再由一般到特殊”的思想發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后再證明它的一般性．,『規(guī)律總結(jié)』破解此類題的關(guān)鍵：一是歸納思想，即由前面幾行所得的結(jié)果猜想出一般的結(jié)論；二是性質(zhì)的應(yīng)用，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，證明所猜想的結(jié)論是正確的．,注意區(qū)分項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)的次數(shù),典例5,[點(diǎn)評]在二項(xiàng)展開式中，要正確理解與區(qū)分：(一)第n項(xiàng)，第n項(xiàng)的次數(shù)，第n項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(二)項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)的次數(shù)(如奇數(shù)項(xiàng)與奇次方項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)與偶次方項(xiàng))．,〔跟蹤練習(xí)4〕(2016湖北十堰月考)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，則a2＋a4＋…＋a12＝_______．,364,1．(2018蚌埠一模)已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，則a2＝()A．18B．24C．36D．56,B,D,3．(2018諸暨市二模)已知x5＝a5(2x＋1)5＋a4(2x＋1)4＋…＋a1(2x＋1)＋a0，則a5＝______，a4＝________．,4．對二項(xiàng)式(1－x)10，(1)展開式的中間項(xiàng)是第幾項(xiàng)？寫出這一項(xiàng)；(2)求展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和；(3)求展開式中除常數(shù)項(xiàng)外，其余各項(xiàng)的系數(shù)和．,