回歸模型-華東理工大學數學建模.ppt
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2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,第七章回歸模型,7.1回歸分析7.2一元線性回歸模型及其參數估計7.3多元線性回歸7.4非線性回歸7.5預測區(qū)間,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,在客觀現(xiàn)實世界中，事物的發(fā)展變化往往受到其他因素的影響，即是由其他事物的發(fā)展變化所造成的，事物之間的這種關系稱為因果關系。因果關系可分為兩類:,回歸分析,確定性關系,確定性關系,因果關系,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,所謂確定性關系是指在相互聯(lián)系的變量中，某一個變量的值可由其余變量的值精確求出，變量之間的這種關系稱為確定性關系即函數關系。如，一個地區(qū)某產品銷售率q與該產品實際銷售量Ｑ與該地區(qū)人數Ｎ之間有如下關系：q＝Ｑ/Ｎ。所以，q、Ｑ、Ｎ之間的關系屬確定性關系。,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,非確定性關系：變量之間雖然存在一定的聯(lián)系，但其中一個變量的值卻不能由其余變量的值精確地求出。其原因是它們之間的這種聯(lián)系，由于受到隨機因素的影響而并非一成不變，呈現(xiàn)出不確定性。它們之間的關系不能用精確的數學表達式來表達。通常只能將有關變量的實驗數據，用數理統(tǒng)計方法找到它們之間的關系。變量之間的這種非確定性關系稱為相關關系或回歸關系。如，汽車配件銷售額與車擁有量之間的關系；貨幣流通量與社會商品零售總額、工農業(yè)總產值、貨幣流通速度等變量間的關系，均屬于相關關系。,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,在對經濟問題的研究中，不僅要分析該問題的基本性質，也需要對經濟變量之間的數量關系進行具體分析。常用的分析方法有回歸分析、相關分析、方差分析等方法。這些方法中應用最廣泛的是回歸分析?；貧w分析就是應用數理統(tǒng)計方法，對變量的大量實驗統(tǒng)計數據進行分析處理，找到變量之間的聯(lián)系方式并進行預測分析的方法。它是經濟預測中一種重要的、應用廣泛的預測方法。在回歸分析中，常常把預測變量稱為因變量，而把影響預測變量的因素稱為自變量。,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,回歸分析的步驟為：（1）根據自變量和因變量的一組實驗數據，確定自變量和因變量之間的數學關系式（稱為實驗公式或回歸方程）。（2）對回歸方程中的參數進行估計和統(tǒng)計檢驗，分析影響因素（自變量）與預測目標（因變量）之間關系強弱和影響程度。（3）利用回歸方程，預測因變量的值，并分析研究預測結果的誤差范圍和精度?；貧w分析分為線性回歸和非性回歸。而線性回歸又可分為一元線性回歸和多元線性回歸。,（,,,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,設x為自變量,y為因變量，y與x之間滿足如下線性關系：……………..(1)其中為隨機變量。若為n次獨立實驗的觀察值，則…………….(2),“一元線性回歸模型”及其參數估計,,,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,稱(2)為一元線性回歸模型.“一元”是指只有一個自變量X,這個自變量X是引起因變量Y變化的部分原因.“線性”它一方面指因變量Y與自變量X之間為線性關系,即另一方面也指因變量Y與參數a,b之間為線性關系,即,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,模型假設條件,(1)誤差項的數學期望(均值)為零.即(2)不同的誤差項和之間互相獨立.即(3)誤差項的方差與n無關,為一常數.即,,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,(4)自變量與誤差項不相關.即(5)為服從正態(tài)分布的隨機變量.即,,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,綜上所述,一元線性回歸模型可以歸結為,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,模型的參數最小二乘估計,問題：設x與y之間的線性關系為（１）式，如何由一組統(tǒng)計值（xi,yi）,i=1,2…n.來建立起y與x之間的線性統(tǒng)計模型（線性回歸方程）。如何確定參數，使直線盡可能靠近所有的點（xi,yi）。即如何去尋找擬合散布點的直線？擬合一條直線的準則是什么？,,,,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,擬合直線的的準則,直線外一點到直線上的點的距離有三種特殊情況：１.點到直線的垂直距離；２.點到直線的垂直坐標距離；３.點到直線的水平坐標距離；,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,準則：,１.使達到最小值；２.使達到最小值；３.使達到最小值；４.使達到最小值；,,,最小二乘準則,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,最小二乘準則尋找擬合直線,假設分別為模型參數a,b的估計值。擬合直線為其中，為的估計值。它可按如下方法求得，。由令則可將ei殘差看成隨機誤差項的估計值。令Q：殘差平方和.則最小二乘準則就是求Ｑ的最小值。,,,,,殘差,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,為使Ｑ達到最小，令,,,,,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,解之得：,,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,其中,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,,例１：某市自行車配件銷售額y（萬元）與自行車保有量x（萬輛）歷年統(tǒng)計數據如下所示，運用一元線性回歸方法，建立自行車配件銷售額與自行車保有量之間的回歸模型。若該市自行車保有量近幾年按每年8%遞增，試預測該市1993年及1994年自行車配件銷售額。,,,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,,解：樣本個數n=13,由表中數據經計算可得：,,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,代入（３）式得，=3.7955,=3.9403.所以回歸預測方程為=3.9403+3.9755x…………(4)由給方程即可對1993年、1994年的自行車配件銷售額進行預測，由題意可知，近幾年自行車保有量每年遞增8％，所以1993年、1994年該市自行車保有量分別為：26.611.08＝28.7388（萬輛）26.611.08*1.08＝31.09379（萬輛）,,,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,將上述數據代入（4）式，得1993年、1994年該市自行車配件銷售額的預測值分別為：=3.9403+3.795528.7388=113.0184(萬元)=3.9403+3.795531.0379=121.7446(萬元)值得注意，在求得回歸模型參數的估計值后還應該分析研究模型參數的估計值是否與實際經濟現(xiàn)象相吻合。例如b的符號及大小是否與所討論的經濟問題相符。若所研究的是某機械產品配件銷售額y與該機械保有量x之間的關系，,,,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,在一般情況下，保有量增加則其配件銷售額增加，而保有量減少其配件銷售額也將減少，所以這時回歸模型的參數b應為正，若b<0，則意味著保有量增加（減少）而其配件銷售額卻反而減少（或增加），這與一般正常規(guī)律相矛盾。又如在某產品的需求量y對該產品的價格x的回歸模型中，在一般情況下，價格上升則需求下降，而價格下降則需求上升，所以回歸參數b1,則說明b的大小與實際情況或經濟規(guī)律不相符。凡是出現(xiàn)上述類似情況，所得回歸模型都是不適用的，必須檢查其產生的原因，重新建模。,2020/5/19東華理工學院數信學院信息技術系,數學建模,由回歸方程求得的預測值是y的回歸估計值，稱為點估計。但在實際問題中，不但需要求出y的預測估計值，更重要的是需要知道y的實際值與預測值之間的誤差有多大，即需要知道y的實際值偏離預測值的范圍。為此只要能估計出y的實際值可能的取值范圍及其可靠程度即可。該范圍一般用區(qū)間表示，稱為預測區(qū)間。對預測區(qū)間估計過程稱為區(qū)間估計。其方法是由一組統(tǒng)計數據（xi,yi）(i=1,2…n)確定一個區(qū)間（），對于給定的值a（0
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