高考數(shù)學人教A版(理)一輪復習:第九篇 第2講 圓的方程
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第2講 圓的方程 A級 基礎(chǔ)演練(時間:30分鐘 滿分:55分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.(2013·濟寧一中月考)若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,則a的值為 ( ). A.-1 B.1 C.3 D.-3 解析 化圓為標準形式(x+1)2+(y-2)2=5,圓心為(-1,2).∵直線過圓心,∴3×(-1)+2+a=0,∴a=1. 答案 B 2.(2013·太原質(zhì)檢)設(shè)圓的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若00,所以原點在圓外. 答案 B 3.圓(x+2)2+y2=5關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為 ( ). A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5 解析 由題意知所求圓的圓心坐標為(0,-2),所以所求圓的方程為x2+(y+2)2=5. 答案 D 4.(2013·鄭州模擬)動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍,則動點P的軌跡方程為 ( ). A.x2+y2=32 B.x2+y2=16 C.(x-1)2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16 解析 設(shè)P(x,y),則由題意可得:2=,化簡整理得x2+y2=16,故選B. 答案 B 二、填空題(每小題5分,共10分) 5.以A(1,3)和B(3,5)為直徑兩端點的圓的標準方程為________. 解析 由中點坐標公式得AB的中點即圓的圓心坐標為(2,4),再由兩點間的距離公式得圓的半徑為=,故圓的標準方程為(x-2)2+(y-4)2=2. 答案 (x-2)2+(y-4)2=2 6.已知直線l:x-y+4=0與圓C:(x-1)2+(y-1)2=2,則圓C上各點到l的距離的最小值為________. 解析 由題意得C上各點到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去半徑,即-=. 答案 三、解答題(共25分) 7.(12分)求適合下列條件的圓的方程: (1)圓心在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0相切于點P(3,-2); (2)過三點A(1,12),B(7,10),C(-9,2). 解 (1)法一 設(shè)圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, 則有 解得a=1,b=-4,r=2. ∴圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. 法二 過切點且與x+y-1=0垂直的直線為y+2=x-3,與y=-4x聯(lián)立可求得圓心為(1,-4). ∴半徑r==2, ∴所求圓的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. (2)法一 設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 則 解得D=-2,E=-4,F(xiàn)=-95. ∴所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-95=0. 法二 由A(1,12),B(7,10), 得AB的中點坐標為(4,11),kAB=-, 則AB的垂直平分線方程為3x-y-1=0. 同理得AC的垂直平分線方程為x+y-3=0. 聯(lián)立得 即圓心坐標為(1,2),半徑r==10. ∴所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=100. 8.(13分)已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(-1,0)和B(3,4),線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D,且|CD|=4. (1)求直線CD的方程; (2)求圓P的方程. 解 (1)直線AB的斜率k=1,AB的中點坐標為(1,2), ∴直線CD的方程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0. (2)設(shè)圓心P(a,b),則由P在CD上得a+b-3=0. ① 又直徑|CD|=4,∴|PA|=2, ∴(a+1)2+b2=40, ② 由①②解得或 ∴圓心P(-3,6)或P(5,-2), ∴圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40. B級 能力突破(時間:30分鐘 滿分:45分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2013·東莞調(diào)研)已知圓C:x2+y2+mx-4=0上存在兩點關(guān)于直線x-y+3=0對稱,則實數(shù)m的值為 ( ). A.8 B.-4 C.6 D.無法確定 解析 圓上存在關(guān)于直線x-y+3=0對稱的兩點,則x-y+3=0過圓心,即-+3=0,∴m=6. 答案 C 2.圓心為C的圓與直線l:x+2y-3=0交于P,Q兩點,O為坐標原點,且滿足·=0,則圓C的方程為 ( ). A.2+(y-3)2= B.2+(y+3)2= C.2+(y-3)2= D.2+(y+3)2= 解析 法一 ∵圓心為C, ∴設(shè)圓的方程為2+(y-3)2=r2. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2). 由圓方程與直線l的方程聯(lián)立得:5x2+10x+10-4r2=0, ∴x1+x2=-2,x1x2=. 由·=0,得x1x2+y1y2=0,即: x1x2-(x1+x2)+=+=0, 解得r2=,經(jīng)檢驗滿足判別式Δ>0. 故圓C的方程為2+(y-3)2=. 法二 ∵圓心為C, ∴設(shè)圓的方程為2+(y-3)2=r2, 在所給的四個選項中只有一個方程所寫的圓心是正確的,即2+(y-3)2=,故選C. 答案 C 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋,則圓C的方程為________. 解析 由題意知,此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0),P(4,0),Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,又△OPQ為直角三角形,故其圓心為斜邊PQ的中點(2,1),半徑為=,∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5. 答案 (x-2)2+(y-1)2=5 4.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1,點A(-1,0),B(1,0),點P是圓上的動點,則d=|PA|2+|PB|2的最大值為________,最小值為________. 解析 設(shè)點P(x0,y0),則d=(x0+1)2+y+(x0-1)2+y=2(x+y)+2,欲求d的最值,只需求u=x+y的最值,即求圓C上的點到原點的距離平方的最值.圓C上的點到原點的距離的最大值為6,最小值為4,故d的最大值為74,最小值為34. 答案 74 34 三、解答題(共25分) 5.(12分)(2013·大連模擬)已知圓M過兩點C(1,-1),D(-1,1),且圓心M在x+y-2=0上. (1)求圓M的方程; (2)設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動點,PA,PB是圓M的兩條切線,A,B為切點,求四邊形PAMB面積的最小值. 解 (1)設(shè)圓M的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), 根據(jù)題意得: 解得a=b=1,r=2, 故所求圓M的方程為(x-1)2+(y-1)2=4. (2)因為四邊形PAMB的面積 S=S△PAM+S△PBM=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|, 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以S=2|PA|, 而|PA|==, 即S=2. 因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直線3x+4y+8=0上找一點P,使得|PM|的值最小, 所以|PM|min==3, 所以四邊形PAMB面積的最小值為 S=2=2=2. 6.(13分)(2013·南昌模擬)已知圓C過點P(1,1),且與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對稱. (1)求圓C的方程; (2)設(shè)Q為圓C上的一個動點,求·的最小值. 解 (1)設(shè)圓心C(a,b),則解得 則圓C的方程為x2+y2=r2,將點P的坐標代入得r2=2, 故圓C的方程為x2+y2=2. (2)設(shè)Q(x,y),則x2+y2=2,且·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2, 令x=cos θ,y=sin θ, ∴·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2 =2sin-2, 所以·的最小值為-4. 特別提醒:教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計·高考總復習》光盤中內(nèi)容.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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